正密堆積的情形與性質研究

摘要：文章主要基于一類特殊而又典型的球體密堆積問題，定義了這類球體的密堆積──正密堆積，計算并證明了正密堆積只可能出現的3種情形. 在此基礎上，結合首先推導的圓錐型立體角與其正投影的平面角之間的換算關系，歸納了正密堆積的3個重要性質.分析其性質和相關學科的發展，展望了正密堆積可應用的領域.由此，展現了正密堆積問題的基礎性和重要意義.

關鍵詞：密堆積;正密堆積;立體角;球體;外切;半徑之比

0、引言

有一類有趣的問題，叫做“牛頓數問題”. 牛頓數，是與一個 維球外切的等維球的個數. 很明顯，二維的牛頓數是6，牛頓認為三維牛頓數是12，卻沒證明. 直到1953年，科特.舒特等人才證明了三維牛頓數是12. 2003年，奧萊格.穆辛證明了四維牛頓數為24. 五維及以上的牛頓數，只求解了部分. 目前，許多相關研究都集中在越來越高維的牛頓數上，而忽略了同一維度下，不同半徑之比的球相切問題. 而本文的目的就是：詳細探究一類不同半徑之比的三維球體的密堆積問題. 這是一類基礎的問題，無論是在數學理論中，還是物理應用中，都起著基石的作用.

1、圓錐型立體角與其正投影的平面角度數之間的換算關系

球體正密堆積時，其外球的球心做頂點構成的是正多面體，并且每一面都是正三角形，每一條邊只參與兩個正三角形的構成. 又由于所有外球緊密堆積，所以任意兩相切的外球，都有且僅有另外兩個外球與這兩個球同時相切.

最后，對球體的正密堆積問題的研究及應用做一些展望. 由于球體正密堆積時，外球的分布高度對稱[3]，這可用于空間分形與自相似領域. 本文研究的是球體密堆積的一類，但卻是特殊而又重要的一類. 從正密堆積問題著手，可深入探究所有球體的密堆積問題.另外，我們都知道，數學的模型大多都能運用于物理領域.球的密堆積問題正可運用于固體物理的晶體結構方面[4].如討論不同原子組合成分子時，將不同原子看著不同半徑的球體，利用球體的正密堆積性質，可為解決相關問題提供新思路[5]. 因此，球體的正密堆積問題非常基礎，其應用的范圍也將非常廣泛，對球體的正密堆積問題研究具有非常重要的意義.

參考文獻：

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[2]歐陽光中，朱學炎，金福臨等.數學分析（上冊）[M].第三版北京：高等教育出版社，2007：337-339.

[3]張文靜，湯華彪，朱艷艷等.淺談質心分數坐標在等徑圓球密堆積空隙中的應用[J].大學化學，2018，33（9）：95-104.

[4]黃昆，韓汝琦.固體物理學[M].北京：高等教育出版社，1988：3-5，15.

[5]趙述敏，胡志剛.橢球顆粒隨機緊密堆積實驗研究[J].西安交通大學學報，2016，50（9）：140-145.

作者簡介：張書瑞，出生年月：1997.09.03，性別：男，民族：漢，籍貫：重慶市墊江縣，學歷：本科在讀，研究方向：理論物理、數學物理方法等.