多項式曲面高程擬合方法探討

吳揚揚

摘要：本文主要介紹了多項式曲面法的基本原理，然后分別采用一次、二次、三次多項式曲面法對具體區域的高程數據進行計算，通過對高程擬合的精度進行對比和分析，總結多項式曲面高程擬合方法的應用特點。

關鍵詞：多項式曲面； 高程擬合；精度

GPS高程擬合是大地水準面精化的主要內容，是大地測量學研究的基本內容。GPS高程擬合涉及到三類高程系統，分別為正高系統、正常高系統和大地高系統。正高是以大地準面為基準的高程，正常高是以似大地水準面為基準的高程，大地高是以參考橢球面為基準的高程[1]。我國通常采用正常高系統。

正常高和大地高之間的差距叫做高程異常。大地高H、正常高h和高程異常之間的關系為：

H=h+ε

（1） 本文主要結合具體算例，分別采用一次、二次、三次多項式曲面法進行高程擬合，總結多項式曲面擬合方法的特點。

1 多項式曲面擬合法

多項式曲面擬合的數學模型為：

（2）

式中εi為i點的高程異常值，其坐標為（ ）， （ ）為模型參數。式（2）對應的誤差方程為：

（3）

其中 為已知聯測點i的高程異常值。如果有n個已知點，那么m次多項式可以改寫成矩陣形式：

（4）

其中m，n需滿足條件 ，令 ，在式（3.12）中，

， ，

，根據最小二乘原理可得：

（5）

根據式（5）求出模型參數后即可確定模型式（2），然后根據式（2）即可求出待求點的高程異常。

有時實際計算中為了保證計算的穩定性，我們采用區域中心點的坐標（x0，y0）作為原點，用坐標差來代替原始坐標參與計算，即將模型表示成（△xi，△yi）的函數，其中 ， 。

常用的多項式曲面擬合方法有一次曲面擬合（平面擬合）、二次曲面擬合、三次曲面擬合。

2 算例分析

某區域大約50km2，該區域聯測了21個控制點，其正常高和大地高都是通過觀測計算獲得的，那么該區域的高程異常數據可以通過計算獲得。采用多項式曲面擬合法（一次，二次，三次）擬合該區域的控制點，針對區域內的9個點，10個點，11個點，12個點，13個點作為參加擬合的已知的控制點，其余的點作為檢核點，計算各自的內符合精度和外符合精度，因為三次曲面模型的必要條件是10個點，所以三次曲面模型不參與9個點和10個點的擬合，如表1，表2，表3，表4，表5所示。

綜合上述各表可以看出，對于該區域來說，相比一次曲面擬合法和二次曲面擬合法，多項式三次曲面擬合法的內符合精度和外符合精度較高，高程異常的殘差比較小，擬合效果會更好。

3結束語

已知控制點的個數的選擇對于擬合精度有著一定的影響，從本文算例各表的比較中可以發現點數的不同對內符合精度和外符合精度的影響。測區中聯測GPS水準點的點數，應根據實際測區的大小，測區內控制點的密度情況而決定，但布設的點數不能少于選用計算模型中未知參數的個數。多項式曲面高程擬合方法根據區域的具體情況選擇適合的次數，高程擬合的精度可以達到厘米級。

參考文獻：

[1] 劉大杰，施一民.全球定位系統（GPS）的原理與數據處理.上海：同濟大學出版社，2006，15～16

[2] 劉誼，汪民主.GPS高程二次曲面擬合及其程序[J].礦山測量，2004，（2）：12～14

[3] 鄭紅曉，雷偉偉.二次曲面擬合法在區域似大地水準面精化中的應用[J].鐵道勘察，2008，（2）：24～27

（作者簡介：沈陽市勘察測繪研究院有限公司）