論求解圓錐曲線的切線及相關問題的常用結論及推導

沈兆益

摘 要：本文探討過一點求圓錐曲線的切線方程和切點弦的解法推導。若點在圓錐曲線上，可使用隱函數求導的方式得到相對簡便且接近的切線方程和切點弦結論。若果點在圓錐曲線外，可以使用二次方程有唯一解，其Δ=0的結論，推導出切線方程。

關鍵詞：圓錐曲線 切線方程 隱函數求導

求解過某一點的圓錐曲線切線方程及相關問題題型，是在高等數學的學習中使用隱函數求導需要解決的常規問題，也是中學的解析幾何的常見的較為困難的解題類型。解決這一類性的問題，常用到一個有趣的式子：Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F，簡便起見，把它表示為L（x，y）。

一、已知圓錐曲線上一點，求切線方程

如果已知的是圓錐曲線上一點，求解通過該點的圓錐曲線切線，通常使用隱函數求導的方法，對圓錐曲線求導，得到通過該點的導數，即為切線斜率，而后得到切線方程。這是學習了微積分以后，可以使用的方法。

如：已知圓方程為：（x-a）2+（y-b）2=r2，過圓上一點（m，n）求圓的切線。

使用隱函數求導，得到：2（x-a）+2（y-b）y=0，整理可得：，代入點（m，n），得到切線斜率為：，切線方程為，若（m，n）為具體數值，即可進行化簡得到最終切線的方程。但學生若是尚未接觸到微積分的知識，就需要使用其他的方法，如：圓心與切點的連線與切線垂直，因此切線斜率為連線斜率的的負倒數，圓心與切點連線斜率為，同樣得到切線斜率為，從而求解切線方程。

如果是求解橢圓、雙曲線，拋物線的切線，使用隱函數求導同樣能夠處理，但對于沒有學習過微積分知識的學生來說，題目就更難解決了。但若使用隱函數的求導，不難發現圓錐曲線的切線方程結論，是很便于記憶的。

從圓的切線方程中

便不難發現，它可以改變為：

（x-m）（m-a）+（y-n）（n-b）=0（1），

且由于（m，n）為（x-a）2+（y-b）2=r2上的點，

因此有（m-a）2+（n-b）2=r2（2）.

將（1）式加（2）式，提取公因式，得到：（m-a）（m-a+x-m）+（n-b）（n-b+y-n）=r2。

整理可得：（m-a）（x-a）+（n-b）（y-b）=r2同樣為圓的切線，并且很容易記憶。將圓方程中的（x-a）2換為（x-a）（m-a），（y-b）2換為（y-b）（n-b）即可。

對于一般類型的圓錐曲線，同樣使用隱函數求導的方法，推導過圓錐曲線上一點的切線方程。

設圓錐曲線方程為：Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，圓錐曲線上有一點（m，n）對圓錐曲線方程求x的隱函數導數，2Ax+2By+2Bxy+2Cyy+2D+2Ey=0

得到切線斜率為：，經過（m，n）的切線為：

左右兩邊乘以分母Bm+Cn+E并移項，得到：

（y-n）（Bm+Cn+E）+（x-m）（Am+Bn+D）=0將和，分別乘以后面的因子，得到：

（Bmy+Cny+Ey）-（Bmn-Cn2+En）+（Amx+Bnx+Dx）-（Am2+Bmn+Dm）=0，

整理可得：

（Bmy+Cny+Ey+Amx+Bnx+Dx）-（Am2+2Bmn+Cn2+Dm+En=0。

由于為圓錐曲線上的點，即有：

（Am2+2Bmn+Cn2+2Dm+2En+F）=0，利用這一結論在式子中配湊，得到：

（Bmy+Cny+Ey+Amx+Bnx+Dx+Dm+En+F）-（Am2+2Bmn+Cn2+2Dm+2En+F）=0

整理可得：Amx+Bmy+Bnx+Cny+Dx+Dm+Ey+En+F=0，

即為：

Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F=0

L（x，y）=0。

該式可簡單記為L（x，y）=0，記憶方法可以采用：

點（m，n）為圓錐曲線Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0上一點，將圓錐曲線一般方程中的x2換為xm，y2換為ym，xy換為my+nx，x換為，y換為，就得到切線方程。

因此，不難得到經過圓錐曲線上一點（m，n）的切線方程情況

圓錐曲線 切線方程

橢圓：

雙曲線：

雙曲線：

拋物線：y2=2px yn=p（x+m）

拋物線：x2=2py xm=p（y+n）

二、已知圓錐曲線外一點，過該點做兩條圓錐曲線的切線，求切點弦所在直線方程

而如果點（m，n）為圓錐曲線Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0外一點，過該點的兩條切線的切點弦所在直線方程同樣為L（x，y）=0，即Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F=0。

證明過程為：設過圓錐曲線外一點（m，n）的兩條切線與圓錐曲線Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0分別相切于點（x1，y1）和（x2，y2）。

利用由前文的推導，經過（x1，y1）的切線為： Ax1x+B（x1y+y1x）+Cy1y+D（x+x1）+E（y+y1）+F=0。

經過（x2，y2）的切線為：

Ax2x+B（x2y+y2x）+Cy2y+D（x+x2）+E（y+y2）+F=0，

（m，n）為這兩條切線交點，即有：

Ax1m+B（nx1+y1m）+Cy1+D（m+x1）+E（n+y1）+F=0，

且Ax2m+B（x2n+y2m）+Cy2n+D（m+x2）+E（n+y2）+F=0，由此可得：（x1+y1）和（x2，y2）都在直線：Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F=0上。

即L（x，y）=0為Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0的切點弦所在直線方程。

三、過圓錐曲線內一點所在直線與圓錐曲線兩交點作切線，切線交點所形成的軌跡

類似的，若果（m，n）為圓錐曲線Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0內一點，過（m，n）的的直線交圓錐曲線于兩點（x1，y1）和（x2，y2），兩點的切線交點形成的軌跡同樣為L（x，y）=0，即Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F=0。

證明過程：設過（m，n）的直線交圓錐曲線于兩點（x1，y1）和（x2，y2），經過（x1，y1）和（x2，y2）的切線交點為（x0，y0） （x0，y0）：利用由前文的推導得到，經過圓錐曲線外一點（x0，y0）兩條切線的切點弦所在直線方為：Ax0x+B（x0y+y0x）+Cy0y+D（x+x0）+E（y+y0）+F=0，且點（m，n）為切點弦上的一點。因此將（m，n）代入直線方程，即：Ax0m+B（x0n+y0m）+Cy0n+D（m+x0）+E（n+y0）+F=0，可知：（x0，y0）為直線：Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F=0上的點，即L（x，y）=0上的點。因此，切線交點形成的軌跡同樣為L（x，y）=0。

四、過圓錐曲線外一點的切線方程

（m，n）為圓錐曲線F（x，y）=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0外一點，過（m，n）的圓錐曲線切線滿足方程：

L2（x，y）=F（x，y）F（m，n）。

證明過程為：

已知（m，n）為圓錐曲線F（x，y）

=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0外一點，設（x，y）為過點（m，n）的圓錐曲線切線上任一點，切線與圓錐曲線的交點可使用定比分點的形式表達為，因為切線與圓錐曲線只有一個交點，因此，的值唯一。將切點坐標代入圓錐曲線方程，即為：

左右兩邊同時乘以（1+λ）2，得到：A（m+λx）2+2B（m+λx）（n+λy）+C（n+λy）2+2D（m+λx）（1+λ）+2E（n+λy）（1+λ）+F（1+λ）2=0

展開后，有

λ2（Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F）+2λ[Amx+B（my+nx）+Cny+D（x+m）+E（y+n）+F+（Am2+2Bmn+cn2+2Dm+2En+F）=0，即λ2F（x，y）+2λL（x，y）+F（m，n）=0

對λ解一元二次方程，λ只有唯一解，即⊿=0，得到L2（x，y）=F（x，y）F（m，n），且 L2（x，y）=F（x，y）F（m，n）

可分解為兩條切線方程相乘的形式，因式分解后得到切線方程。

例如：求過橢圓外一點（4，0）的橢圓切線方程。

解：，，

代入L2（x，y）=F（x，y）F（m，n），得到：

即：，整理得到x2-8x+16-4y2=0

因式分解為：（x-4）2-4y2=0，即（x-4+2y）（x-4-2y）=0

由此可得到切線方程為x-4+2y=0和x-4-2y=0

特別的，通過觀察L2（x，y）=F（x，y）F（m，n），可以發現，如果（m，n）在圓錐曲線F（x，y）=0上，就有F（m，n）=0。代入后，L2（x，y）=F（x，y）F（m，n）就會變為L（x，y）=0，與前文所證明的結論一致。

在研究圓錐曲線的切線及其相關問題中，L（x，y），即Amx+B（nx+ym）+Cny+D（m+x）+E（n+y）+F是一個常用而且便于記憶的式子，在求解此類題目中若能靈活使用L（x，y），能夠提高此類問題的解題效率。

參考文獻

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[2]邱維聲.解析幾何[M].北京大學出版社.2015.

[3]陳勁松，李世臣.經過圓錐曲線外一點的切線方程[J].數學教學通訊（教師版）.2011.