微積分思想在幾何中的應用

趙佳

摘 要：微積分思想在幾何中的應用主要分為一元函數微分學、二元函數微分學、定積分和二重積分分別在幾何中的應用.一元函數微分學可以求平面曲線的切線和法線方程;二元函數微分學可以求空間曲面的切線、法平面、法線、切平面;定積分可以求平面曲線的弧長，平面圖形的面積，空間立體的體積;二重積分可以求曲頂柱體的體積和平面區域的面積.

關鍵詞：微分學 積分學 幾何 應用

一、微分學在幾何中的應用

微分學在幾何中的應用主要包括一元函數微分學在幾何中的應用和二元函數微分學在幾何中的應用.本文以一元函數微分學在幾何中的應用為例進行說明。

一元函數微分學主要包括導數與微分兩個基本概念，下面主要介紹導數在幾何中的應用.

1.導數的定義及其幾何意義

定義1 ?設函數在點的某一鄰域內有定義，當自變量在點處取得一增量（且仍在該鄰域內）時，相應的函數也有增量

如果極限存在，則稱函數在點處可導，并稱此極限值為在處的導數，記作，或|，即。[1]

導數的幾何意義：函數在處的導數是曲線在點處切線的斜率.

2.一元函數微分學在幾何中的應用：主要介紹利用導數幾何意義求平面曲線切線和法線方程，主要分為用隱函數、用顯函數和用參數方程表示平面曲線的切線與法線方程。文中以用顯函數表示的平面曲線的切線與法線方程為例。

如果函數在點處可導，則曲線在點處的切線斜率為，切線方程為

如果，則法線斜率為，法線方程為

若，則法線方程為

例：求三次曲線在點處的切線方程與法線方程.[3]

解：由導數的幾何意義知，所求切線的斜率為函數在的導數值，即

||

由直線的點斜式方程，得所求切線方程為

即

曲線在點處的法線斜率為

法線方程為

即

結論：微積分在幾何中的應用主要分為一元函數微分學、二元函數微分學、定積分、二重積分分別在幾何中的應用，這些應用主要包括求平面曲線的切線方程和法線方程;求空間曲面的切線和法平面方程，法線和切平面方程;求平面曲線的弧長，平面圖形的面積，空間立體的體積;求曲頂柱體的體積：求平面區域的面積等等。本文以微分學在幾何中的應用中一元函數微分學為例進行剖析，當然，微積分還有其他應用，這就需要我們不斷地去探索，去研究 。

參考文獻

[1]李安平，王國正，董福安，高等數學[M]，西安：西安工業大學出版社，（2000）：29-80.

[2]王金金，李廣民，任春麗等，高等數學[M]，北京：清華大學出版社，（2007）：51-321.