結構動力響應數值計算方法對比分析

李涵

摘要：中心差分法、紐馬克法、威爾遜-法是結構動力學中常用的三種方法，為了系統的比較其優缺性，本文針對一個雙自由度的體系，首先根據已知條件計算出振動微分方程，運用Matlab計算出可求出12個步長內相應的位移值，即精確解。然后分別運用中心差分法，紐馬克法，威爾遜-法求出其近似解;最后通過三種方法的近似解與精確解相對比，進而分析出三種計算方法的優缺性，為結構動力計算提供依據。

關鍵詞：動力計算、中心差分法、紐馬克法、威爾遜-法

1、動力體系概況

2、精確解推導

針對該雙自由度體系，理論推導出系統的位移表達式，通過代入各時刻周期得出位移在各時刻的具體數值，即位移精確解。

對位移方程求一階導數得出速度方程，求二階導數求出加速度方程。代入各時刻的周期值，通過Matlab計算得出位移、速度、加速度的數值如下：

3、三種數值計算方法

3.1、中心差分法

中心差分法是基于用有限差分代替位移對時間的求導，對位移一階求導得到速度，對位移二階求導得加速度。通過Matlab計算出前4個步長所對應的位移響應。

3.2、紐馬克法

紐馬克-β法是一種將線性加速度方法普遍化的方法。通過Matlab計算出前4個步長所對應的位移響應。

3.3威爾遜-法

通過Matlab計算出前4個步長所對應的位移響應。

4、近似解與精確解對比分析

從上述結構的位移、速度、加速度可以看出，三種方法都能大致表示該體系大體運動趨勢，并且誤差較小。其中，在描述物體位移時，中心差分法較后兩種方法更為精確。然而在描述速度和加速度時，中心差分法表現出了較大的誤差，而紐馬克和威爾遜法則能更詳盡的表征物體速度和加速度。

5、結論

中心差分法、紐馬克法和威爾遜-θ法均是結構動力計算中的常用方法。本文針對具體的計算實例，分別計算出三種方法的動力響應結果，并與精確解進行對比。經過分析，中心差分法能更精確的表示物體位移響應，而紐馬克和威爾遜法在表征物體速度和加速度方面相較于中心差分法更為精確，三種方法，各有其優缺點，應視具體情況采用相應的計算方法。

參考文獻：

[1]多高層建筑結構地震反應非線性分析統一算式[J]. 曹征良，李愛群. ?深圳大學學報. 1999（01）

[2]地震工程中動力方程求解的逐步積分方法[J]. 李小軍. ?工程力學. 1996（02）

[3]高等結構動力學[M]. 天津大學出版社 ， 唐友剛編著， 2002

[4]李仲人，盧磊.結構動力響應數值計算方法簡介[J].山西建筑，2007（31）：66-67.