“勾股定理”教學談初中數學拓展課的拓展途徑

王曉迪

研究背景

初中數學教學中，面向全體學生全面發展的同時，兼顧學生未來的發展需要，適度拓展數學知識。拓展型課程在開闊學生的視野，增長他們的數學興趣方面起到了很好的載體作用。所以要立足教材，并對教材進行剖析和重新組織，用聯系、運動、變化的觀點去研究各知識點之間的轉化，展示給學生一個動態的“知識生長”過程，促進學生認知結構的形成和發展。

拓展型課程的實施實現了學生知識的深度和廣度的提升，是培養學生個性發展和能力發展的輔助途徑。數學拓展課程的開展則有助于改善基礎課程的，拓展知識的不足。拓展課程相對基礎課程而言，最顯著的特點就是知識點的拓展，知識點是構成學習內容的相對獨立的最小單元，依據學生所需具備的技能可將知識點學習的程度分成不同的水平：有的只需要知道，有的需要認識、了解，有的需要理解，有的需要掌握，有的需要運用。在基礎課程里，數學教材中的教學內容是由必須要學習的知識所組成，它要求知識點的學習程度以理解和掌握為主，了解和應用也比較重要。基礎課程將知識點簡化和精細后便于學生學習和掌握，然而僅僅通過基礎課程來學習數學會給學生留下偏離數學本質的印象，這樣的現狀難以滿足學生學習數學的需求，更達不到接受數學文化熏陶的效果。以下結合初中數學相關知識對“勾股定理”的知識點進行適度拓展，本文將從“勾股定理”的教學入手探討知識點拓展的方法，以上海版教材為指導。

一、知識點的拓展要立足于學生的知識基礎

知識點的拓展要立足于學生的知識基礎，所以在確定拓展的知識點目標的時候首要明確的就是學生通過基礎課程已經掌握的知識有哪些，《勾股定理》是教材19.9的內容，學生通過課本的學習已經能夠理解用面積割補的方法證明勾股定理，初步掌握了勾股定理，能用勾股定理解決基本的有關計算或證明的問題。比并從學習中獲得“探索—研究—運用—反思”的過程經理，現將思路總結如下

教材從七年級第二學期關于“無理數 ”的的相關知識引入，引發學生研究勾股定理的興趣。讓學生初步體會面積割補方法，層層遞進引導學生觀察圖形（從圖1到圖3）從特殊到一般的變化，幫助學生形成研究的思路。最后得出勾股定理的結論。這種證法，就是趙爽的證法。這對學生理解割補證明勾股定理提供了思路，也為勾股定理的證明大多與圖形的面積有關做了鋪墊。

二、知識點的拓展要符合學生數學學習的認知結構

本文作者受到這一思路的啟發，立足于學生現有知識點開設了這節數學拓展課下面為拓展知識教學片段（授課對象為八年級學生）

問題一：如圖4探索：現有一張很大的格點坐標紙，其中有一個格，直角三角形，以直角三角形的三條邊向外作正方形，請同學們計算三個正方形的面積？（此問題來自課后習題）

結論：圖4學生通過數出格子的面積容易正方形A與正方形B的面積，但正方形C的面積學生得出較為困難，可引導學生將其放置在更大的正方形中利用圖形的割補求出其面積，這樣學生可得到得到大正方形的面積等于其他兩個小正方形面積的和即得到結論 拓展課由此引入，因為除了以直角三角形各邊為底所做的正方形滿足結論外，所做的其他圖形也滿足結論，目的是由此可以拓展出新的知識：給定一個直角三角形，以它的斜邊上所畫的任何圖形的面積，等于在它兩條直角邊上所畫的與其相似的圖形的面積之和.

問題二：給定一個直角三角形，以它的三條邊為基準向形外分別作圓（以邊長為直徑）、扇形（以邊作為扇形的半徑畫圓心角為 的扇形），以三邊為斜邊做等腰直角三角形，圖形A、B、C是否存在 ？

到此筆者觀查到，選用探究格點三角形面積作為輔助，學生很容易就可以得到既定的結論。這無疑加快了學生研究問題的進程。同時對課后練習125頁第3題學生的解答提供了幫助。容易接受，又可以使拓展課是對課堂教學內容的拓展這一利益凸顯。通過問題二學生已經感受到結論是成立的，學生任然能夠得出相應的結論德國數學家希爾伯特說過：在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.把一般問題特殊化，抽象問題具體化，是使問題快速獲解的重要策略。

研究的過程繼續深入

問題三：如果想得到 這一結論，對于以直角三角形三邊為邊向外延伸的圖形的形狀都什么要求嗎？說說你的猜想

學生觀察得出結論：只要形狀相同三角形的三邊為基準都可以得到 這個結論，這里引申了相似性的定義，為學生今后所要學習的面積的比等于相似比的平方埋下伏筆。

三、知識點的拓展要結合生活中的實際應用

數學知識在實際生活中的應用，是數學知識點拓展的一個重要方面，能激發學生學習數學的興趣，掌握數學原理的實質內涵。本節課上，通過兩個案例來說明數學知識的實際作用：

例1 我國大約成書于西漢時期（公元前1世紀）的數學書《周髀算經》上說，夏禹在實際大地測量中已經初步運用這個定理。這本書上還記載，有個叫陳子的數學家，應用這個定理來測量太陽的高度、太陽的直徑和天地的長闊等。

例2 日常生活中的家庭裝修時，工人為了判斷一個墻角是否標準直角，可以分別在墻角向兩個墻面量出3米，4米，并標記在一個點，然后量這兩點間距離是否是5米。如果超出一定誤差，則說明墻角不是直角。再例如要在 A點樹立一電線桿，保證電線桿是垂直地面的，可以在A點附近B、C兩點把從桿頂引下來的兩根繩固定在B、C各點，并按照勾股定理算出繩子的長度，就能保證電線桿是垂直地面了。

從上述可知，關于勾股定理知識點的拓展是拓展課教學的一個很好的例子。當然勾股定理的拓展也不僅僅是筆者應用的這一種方法。教師在備課時可以從不用的角度給出相應的主題。一個知識點的增加可以在空間及思維上進行無限地拓展，由此形成一個專題。拓展課程知識點的選取可參照教材內容，注重課內基礎知識的銜接與延伸，鏈接生活實際，把相關數學知識作為一個整體展示給學生以彌補教材的不足。只要我們長期堅持，不斷積累和摸索就會使教師和學生都從中有所收獲。