采用小波變換改進(jìn)遞歸最小二乘（RLS）算法

【摘 ?要】自適應(yīng)濾波是信號處理的重要基礎(chǔ)，近年來發(fā)展速度很快，在各個(gè)領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。盡管使用用于白噪聲輸入的RLS算法獲得快速初始自適應(yīng)收斂速率，但是對于彩色輸入信號觀察到慢收斂。在本文中，我們推導(dǎo)出一種新的比例型RLS算法，該算法采用小波變換和稀疏自適應(yīng)子濾波器，數(shù)字網(wǎng)絡(luò)回波消除器應(yīng)用的仿真結(jié)果說明了當(dāng)采用該方法時(shí)所提出的收斂性改善。

【關(guān)鍵詞】自適應(yīng)濾波;RLS算法;小波變換;收斂性

眾所周知，當(dāng)系數(shù)的數(shù)量非常大時(shí)，自適應(yīng)濾波算法的收斂變慢。然而，在諸如數(shù)字網(wǎng)絡(luò)和聲學(xué)回聲消除器的許多應(yīng)用中，被建模的系統(tǒng)具有稀疏脈沖響應(yīng)，即，其大多數(shù)系數(shù)具有小幅度。傳統(tǒng)的自適應(yīng)技術(shù)，例如最小均方（LMS）和遞歸最小二乘（RLS）算法，沒有考慮這種系統(tǒng)的稀疏特性。為了改善這些應(yīng)用的收斂性，最近提出了采用小波變換改進(jìn)遞歸最小二乘（RLS）算法，它采用各個(gè)步長來更新不同的系數(shù)。對于具有較大幅度的系數(shù)，適應(yīng)步長變得更大，導(dǎo)致最重要系數(shù)的更快收斂。

RLS（遞推最小二乘法）算法的關(guān)鍵是用二乘方的時(shí)間平均的最小化鋸帶最小均方準(zhǔn)則，并按時(shí)間進(jìn)行迭代計(jì)算。對于非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)處理，最合適的方法是采用最小二乘自適應(yīng)濾波器。它使誤差的總能量最小。RLS算法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻譜特性無關(guān)，但其缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度很高，對于N階的濾波器，RLS算法的計(jì)算量為O（N2）[1，2]為了對非平穩(wěn)信號進(jìn)行跟蹤，RLS算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子λ。該遺忘因子的引入，使RLS算法能夠?qū)Ψ瞧椒€(wěn)信號進(jìn)行跟蹤。

由于設(shè)計(jì)簡單、性能最佳，其中RLS濾波器具有穩(wěn)定的自適應(yīng)行為而且算法簡單，收斂性能良好。

這里討論RLS算法收斂特性兩個(gè)方面的問題：一是從均值的意義上討論 的收斂性;二是從均方值的意義上討論誤差 的收斂性。為了討論進(jìn)行這樣的討論，必須對輸入過程的類別作出規(guī)定。

在最小二乘法（RLS）算法引入了 的意義。統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算是從零時(shí)刻開始的，如果不引入遺忘因子，所有采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)對當(dāng)前估計(jì)量估計(jì)的貢獻(xiàn)是相等的，在時(shí)變條件下，這顯然不合理，因?yàn)殡x當(dāng)前時(shí)刻比較遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，其信道與當(dāng)前信道時(shí)域相關(guān)度越低，而通過引入0到1之間的取值 ，可以令離當(dāng)前時(shí)刻越遠(yuǎn)的采樣數(shù)據(jù)對統(tǒng)計(jì)量估計(jì)的貢獻(xiàn)越小，由此可以實(shí)現(xiàn)對時(shí)變信道的有效跟蹤。另外，通過調(diào)節(jié) 的大小，可以使算法適用于不同的信道時(shí)變速率環(huán)境。例如，信道時(shí)變速率較慢時(shí)可選用較大的 ，反之則選用較小的 。

結(jié)論

遞推最小二乘法即RLS算法，是最小二乘法的遞推形式引出一種自適應(yīng)算法，它是嚴(yán)格以最小二乘方準(zhǔn)則為依據(jù)的算法。其主要優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻譜特性無關(guān)。主要缺點(diǎn)是每次迭代計(jì)算量很大（對于 階橫向?yàn)V波器，計(jì)算量數(shù)量級為 ）。

RLS算法與LMS算法的基本差別如下：LMS算法中的步長參數(shù) 被 （即輸入向量的相關(guān)矩陣的逆）代替這一改進(jìn)對平穩(wěn)環(huán)境下RLS算法的收斂性能有如下深刻的影響。指數(shù)加權(quán)因子 的作用和 的作用類似：RLS算法的收斂速度比LMS算法快一個(gè)數(shù)量級。RLS算法的收斂速度隨著 的變小而加快，但穩(wěn)定性相對減弱。反之，收斂速度減慢，穩(wěn)定性加強(qiáng)。在本文中，我們提出了一種新的比例自適應(yīng)算法，它采用小波變換和稀疏子濾波器。步長標(biāo)準(zhǔn)化考慮了每個(gè)子濾波器系數(shù)的值以及相應(yīng)頻帶中的輸入信號功率。仿真結(jié)果表明，所提出的方法比NLMS具有明顯更快的收斂速度。

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作者簡介：

肖偉，湖南懷化人，1971年10月出生，國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)博士研究生，湖南師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，研究方向?yàn)橐苿佑?jì)算與智能計(jì)算。

湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目，編號：2018JJ3351