基于小擾動(dòng)線性模型的橫側(cè)向各種模態(tài)特性的分析

李俊財(cái) 王健

摘 要：通過(guò)使用 Matlab/simulink 軟件，搭建仿真程序，實(shí)現(xiàn)對(duì)各種橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的模擬情況下的飛行器模型進(jìn)行仿真。利用水平無(wú)側(cè)滑飛行條件φ=β≡0 和p=r≡0，可以將飛行器運(yùn)動(dòng)方程解耦為不依賴于縱向運(yùn)動(dòng)方程的橫側(cè)向方程。對(duì)該方程，進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，可以獲得關(guān)于飛行器橫側(cè)向的線性動(dòng)態(tài)方程。

關(guān)鍵詞：線性動(dòng)態(tài)方程;特征值;仿真引言

橫航向小擾動(dòng)方程的矩陣形式

飛機(jī)是一個(gè)氣動(dòng)力學(xué)的產(chǎn)物，由于其運(yùn)動(dòng)環(huán)境的特殊性，做出實(shí)物實(shí)驗(yàn)的可能性低且成本較高，目前國(guó)內(nèi)外都通過(guò)軟件仿真的形式來(lái)獲得其在特定條件下的運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，本文就基于小擾動(dòng)線性模型的橫側(cè)向各種模態(tài)特性進(jìn)行分析。

1 飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)的各種模態(tài)

飛機(jī)的橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)有滾轉(zhuǎn)模態(tài)、螺旋模態(tài)和荷蘭滾模態(tài)。

（1）滾轉(zhuǎn)模態(tài)

滾轉(zhuǎn)收斂模態(tài)是快速收斂的非周期運(yùn)動(dòng)。對(duì)應(yīng)特征方程絕對(duì)值最大的實(shí)根，該模態(tài)是快速收斂的非周期運(yùn)動(dòng)。對(duì)于一般飛機(jī)，正迎角下往往具有較大的滾轉(zhuǎn)阻尼，而繞 ox 軸的慣性矩卻是三個(gè)自由度最小的，使飛機(jī)受擾動(dòng)時(shí)引起的滾轉(zhuǎn)角速度很快在氣動(dòng)阻尼力矩作用下消失。

（2）螺旋模態(tài)

飛行器在飛行過(guò)程中，橫側(cè)向容易發(fā)生的一種不穩(wěn)定狀態(tài)，學(xué)術(shù)上稱為螺旋模態(tài)。這種運(yùn)動(dòng)模態(tài)的時(shí)間常數(shù)（周期）很大，是一種緩慢收斂或發(fā)散的運(yùn)動(dòng)，對(duì)飛機(jī)有一定的影響，應(yīng)作為飛機(jī)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)。

（3）荷蘭滾模態(tài)

荷蘭滾模態(tài)也稱為振蕩模態(tài)，是橫航向動(dòng)穩(wěn)定性的三種典型模態(tài)之一，對(duì)應(yīng)于橫航向小擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的一對(duì)復(fù)根。其主要運(yùn)動(dòng)特征是：滾轉(zhuǎn)阻尼運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，滾轉(zhuǎn)角、側(cè)滑角和偏航角呈頻率較高的周期性變化。特點(diǎn)：飛機(jī)一面左右偏航，一面來(lái)回滾轉(zhuǎn);飛機(jī)向左轉(zhuǎn)時(shí)，偏航角速度小于 0;基本處于右滾狀態(tài)，滾轉(zhuǎn)角大于 0。原因：飛機(jī)的航向慣性阻尼力矩與靜穩(wěn)定力矩不平衡，引起繞 y 軸的振蕩運(yùn)動(dòng)，使側(cè)滑角周期變化，引起周期性變化的滾轉(zhuǎn)力矩，使?jié)L轉(zhuǎn)角、滾轉(zhuǎn)角速度周期運(yùn)動(dòng)。

2 通過(guò)對(duì)橫側(cè)向線性模型矩陣的提取，得到橫側(cè)向線性模型的相應(yīng) A，B 矩陣

因?yàn)樵趯?shí)際橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)中不依賴于偏航角（滾轉(zhuǎn)角，側(cè)滑角，滾轉(zhuǎn)角速率，偏航角速率），所以將第二個(gè)變量偏航角剔除得到相應(yīng)的與四個(gè)變量相關(guān)的新矩陣

得到4個(gè)狀態(tài)量與2個(gè)控制變量，建立橫側(cè)向線性模型：

得A，B矩陣后，寫(xiě)出4個(gè)狀態(tài)量同兩個(gè)控制變量的矩陣算法，得出結(jié)果。

3 根據(jù)已知的 A 矩陣計(jì)算橫側(cè)向模型的特征值：

eig（A）可得，有以下四個(gè)特征根：

-0.2450 + 2.8973i -0.2450 - 2.8973i -2.5560 -0.0105

4 計(jì)算各種模態(tài)的相應(yīng)特征值并求解對(duì)應(yīng)的周期、頻率和阻尼比：

（1）運(yùn)用函數(shù) damp 計(jì)算對(duì)應(yīng)的頻率和阻尼比：[Wn，p，Z]=damp（A）;可得到：頻率

Wn=2.9076 2.9076 2.5560 0.0105 阻尼比：0.0843 0.0843 1.0000 1.0000.

進(jìn)而可得 3 種模態(tài)下的對(duì)應(yīng) T 和阻尼比以及特征值：

模態(tài) ? ? ? 特征值 ? ? ? ?周期T 阻尼比

荷蘭滾 - 0.2450±2.8973j? 0.3439 0.0843

滾轉(zhuǎn)? ? - 2.5560 0.3912? ? ? 1

螺旋? ? ? ? - 0.0105 ? ? ? 95.5013 1

5 搭建仿真模型，對(duì)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)情況下的各個(gè)變量進(jìn)行仿真：

給定四個(gè)變量初始條件分別為 x =[β，φ，p，r]T=[0.1? 0.2? 0.1? 0.1]，給定輸入為階躍響應(yīng)。

6 結(jié)論

（1）三組特征值對(duì)應(yīng)了飛機(jī)橫側(cè)向運(yùn)動(dòng)的荷蘭滾模態(tài)、滾轉(zhuǎn)模態(tài)、螺旋模態(tài)。荷蘭滾模態(tài)周期短、阻尼大;滾轉(zhuǎn)阻尼模態(tài)對(duì)應(yīng)了一個(gè)大的負(fù)根，受機(jī)翼產(chǎn)生的較大阻尼力矩的阻止而很快結(jié)束，一個(gè)小的正根對(duì)應(yīng)著螺旋模態(tài)的特點(diǎn)。

（2）三種模態(tài)中各個(gè)變量的占比也不同，荷蘭滾和螺旋模態(tài)中通常包含著很小的側(cè)滑。荷蘭滾模態(tài)幾乎是圍繞著穩(wěn)定坐標(biāo)系 x 軸的純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，而螺旋模態(tài)則是由帶有滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的偏航運(yùn)動(dòng)組成的。螺旋模態(tài)通常是不穩(wěn)定的，包含著不斷增加的偏航角和滾轉(zhuǎn)角以及向下增大坡度的螺旋運(yùn)動(dòng)。