指數(shù)函數(shù)應(yīng)用性的進一步探討

趙金榮

摘 要：形如的指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用范圍非常廣泛，除了可以用來對人口的增長、銀行計息、放射性元素的衰變等進行建模外，還可用于自然科學和社會科學的更廣的領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù);溫室效應(yīng);衰變估算

1958年，C.D.Keeling of the Scripps Institution of Oceanography開始了一系列辛勤地測量工作，他持續(xù)測量了當時一個遙遠的地方，也就是現(xiàn)在的夏威夷的Mauna Loa Observatory大氣中二氧化碳的濃度. 他的觀測活動一直持續(xù)到現(xiàn)在，觀察數(shù)據(jù)說明，此處大氣中二氧化碳的濃度呈現(xiàn)指數(shù)增長。Keeling的觀測活動在世界各地不同地區(qū)，且在越來越短的時間段內(nèi)進行著。而在所有的觀測數(shù)據(jù)中均顯示出各地大氣中二氧化碳的濃度都呈現(xiàn)很明顯的指數(shù)增長趨。這些文字摘自Gordon Macdonald在《溫室效應(yīng)的科學依據(jù)》一文，這是來自全球變暖的挑戰(zhàn)，Dean Edwin Abrahamson， ed.（Washington， D.C.：Island Press， 1989）

引用紐約時報，2001年6月7號首頁一篇主題是“專家告訴布什全球變暖變得越來越嚴重”的文章--美國的頂端科學家們組成的專家組今天聲稱全球變暖是一個實際問題，而且這個問題正在惡化。來自于國家科學學術(shù)協(xié)會—由11名領(lǐng)軍大氣研究的科學家組成—一個更具有預見性的報告，包括一些原來的質(zhì)疑派，重申了這個科學界的主流觀點，即地球大氣正在變暖，人類活動付大部分的責任.報告中提到“溫室氣體由于人類的活動的結(jié)果在大氣中積累，使得表面空氣溫度和大洋下層面的溫度上升.”--紐約時報文章，Katharine Q.Seelye 和Andrew C.Revkin，2001，6，7.

二氧化碳，單個最重要的溫室氣體，對地球變暖付一半的責任，是人類過度釋放的結(jié)果，而且對將來預測的變暖中付一半的責任.目前（1988）的濃度大約是每百萬中350份（ppm），而且以0.4%每年的速率上升。我們在這里先不討論溫室效應(yīng)對人類生存的重要性，而來說一下如何用數(shù)學知識來具體說明大氣中二氧化碳的濃度呈現(xiàn)指數(shù)增長是什么意思，以及這類知識在現(xiàn)實中還有哪些應(yīng)用。

一、指數(shù)函數(shù)預測二氧化碳濃度

在報紙上和日常的演講中，“指數(shù)增長”常很輕易地用于描述涉及快速增長的任何情景.但是，從科學上講，指數(shù)增長指的是某些特定地能夠用形如y=aebx （b是正數(shù)，是常數(shù)）形式的增長.在社會學中，社會學家們會使用函數(shù)N（t）=NOekt 描述人口的增長模式.同樣，使用這個函數(shù)也可以為大氣中的二氧化碳的濃度增長建模。據(jù)統(tǒng)計，工業(yè)化以前全球年均大氣二氧化碳濃度為278ppm（1ppm為百萬分之一），而2012年是全球年均大氣二氧化碳濃度為393.1ppm，到2014年4月，北半球大氣中月均二氧化碳濃度首次超過400ppm。如果設(shè)大氣中的二氧化碳的濃度在持續(xù)以指數(shù)形式以0.4%每年的速度上升，如何預測何時二氧化碳的濃度可能達到600ppm？（這個預測值將會是工業(yè)革命前估測的濃度的大約兩倍.） 據(jù)科學家們研究發(fā)現(xiàn)，大氣中二氧化碳的濃度隨時間的變化規(guī)律可以近似用函數(shù)N（t）=NOekt表示，按照這個函數(shù)關(guān)系，要確定當大氣中二氧化碳的濃度為N=600多對應(yīng)的時間，需要使用前提條件：當t=0時，對應(yīng)著1988年，此時二氧化碳的濃度是NO=350 ，取常數(shù)k=0.004 ，經(jīng)過計算可以得到與N=600 對應(yīng)的時間大約是1988年后135年后是2123年.利用這種方式可以得出結(jié)論：如果二氧化碳的水平持續(xù)以每年0.4%的速度增長，那么大約2125年，大氣中二氧化碳的濃度將會達到600ppm.

二、指數(shù)函數(shù)在經(jīng)濟學上應(yīng)用

使用同樣形式的函數(shù)也可以用于描述一筆金額在連續(xù)復合計息的情況下增長的模式.如果 元的本金存入銀行的儲蓄賬戶，年利率是6%，連續(xù)復合計息.與此同時，另一筆 的本金存入另一賬戶，年利率也是6%，但是復息一年一次.使用繪圖軟件確定賬戶1中的余額超過賬戶2中余額至少10元所需要的時間.在描述這個過程中，繪圖軟件繪制的是函數(shù)y=100e006t 的圖像。同樣，這類函數(shù)還會用在經(jīng)濟學的其他領(lǐng)域，在這里我們不再詳細描述，令人驚奇的是S=Pert ，這個式子的簡潔美是由于無理數(shù)e的出現(xiàn)而形成的。更令人驚奇的是誰會想到e這個數(shù)，會出現(xiàn)在商業(yè)理論中？無理數(shù)e是瑞士數(shù)學家Leonhard Euler（1707-1783）引入的，為宇宙中屈指可數(shù)的幾個常數(shù)之一。他為什么要選擇使用字母e呢？關(guān)于這點沒有一個統(tǒng)一地說法。一個觀點認為，Euler選擇這個字母是因為e是指數(shù)函數(shù)這個單詞的第一個字母。更普遍的原因，可能是 這個字母是字母表中首個“沒有過的”字母，因為a，b，c，和d經(jīng)常出現(xiàn)在數(shù)學表達中。看上去Euler會選擇字母e不太可能是因為這個字母是他名字的第一個字母。因為在很多的情況下，在形容Euler時，常常會說：他是一個非常平和的人。這些話摘自Eli Maor， e：一個數(shù)的故事。

三、指數(shù)函數(shù)描述放射性元素的衰變

更令人驚奇的是，用樣的基本函數(shù)也能用于描述放射性衰變的規(guī)律，不過這里的 .科學家們是如何確定描述放射性衰變的規(guī)律，用這個函數(shù)適當呢？關(guān)于這一點可能有兩個原因：一個經(jīng)驗性的解釋，一個是理論性解釋.早在1900-1903年期間，物理學家Ernest Rutherford （1908年諾貝爾物理獎獲得者）和化學家Frederick Soddy（1921年諾貝爾獎獲得者）開展試驗測量放射型衰變.他們發(fā)現(xiàn)了形如N（t）=NOekt ，k<0 的公式確實適合描述他們的測量數(shù)據(jù).而從理論的角度，可以解釋為衰變速率在 時必須正比于目前放射性物質(zhì)的量N（t） .在這個情況下，可以用微積分證明指數(shù)衰變適用.

科學美國人1976年1月刊，有一篇有關(guān)核能的文章.文章的作者是Hans Bethe（1906-1992），諾貝爾物理學獎獲得者.文章中的觀點之一是，Bethe教授討論了核能發(fā)電設(shè)備產(chǎn)生的放射性廢物的處理方式（通過填埋）.討論中特別的一種產(chǎn)物之一就是钚—239。

钚—239的半衰期接近25，000年，需要經(jīng)過10個半衰期的時間才能使得這類物質(zhì)的放射性是原來的千分之一.由此，填埋的廢物在生物圈中的存留時間是25萬年.這個時間就是根據(jù)形如N（t）=NOekt 的函數(shù)進行預測的。如果用NO 表示钚-239在t=0 時的初始量，用N表示時間為t時的量表示為N（t）=NOekt ，要確定當 的時間t。通過使用指數(shù)函數(shù)

以及對數(shù)計算，可以得到的時間是249，114.6年，但在給定的時間規(guī)模內(nèi)，以這種形式來表示無疑是滑稽可笑的.由此，把答案四舍五入至最接近千年的數(shù)，得到的就是249，000年后，钚的放射性才能降低到原來的千分之一.這個結(jié)果與Bethe教授的專業(yè)估算值，10個半衰期，或250，000年是一致的。

形如N（t）=NOekt 的指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用遠不止于此。

參考文獻：

[1]Dean Edwin Abrahamson， ed.，《這是來自全球變暖的挑戰(zhàn)》，Washington， D.C.：Island Press， 1989

[2] Phillip Gillett，《微積分和分析幾何學》，第3版，Lexington，Mass.：D.C.Heath，1988

[3] [1] 微積分初步-問題引導法，第6版，David Cohen， Ted Lee， David Sklar，2005 Thomson Brooks/Cole， a part of The ThomsonCorporation.