多層次城市軌道交通網絡時間-拓撲 可達性分布規律研究

萬傳風 冷順多 秦暄陽 趙小軍

摘 要：根據城市軌道交通網絡速度等級的差異與換乘特性，劃分多層次城市軌道交通體系，結合線網可達性的時間因素和拓撲因素，構建時間-拓撲可達性模型，采用深度優先搜索算法計算網絡的時間-拓撲可達性。采用分形理論研究線網可達性的分布特征，根據分形規律將線網的可達性分布劃分為不同圈層區域，根據不同區域線網可達性分布特征差異和分布特點，從提升線網可達性的角度，給出對未來線網規劃的建議。

關鍵詞：城市軌道交通;可達性;復雜網絡;雙目標最短路徑

中圖分類號：U121;U239.5

截至2018年12月31日，我國內地開通并運營城市軌道交通的城市為35個，運營線路里程達5766.6km，擁有龐大的城市軌道交通規模。軌道交通網絡的可達性是衡量1個線網形態的重要指標，也是城市發展的重要指示標準。

在城市軌道交通網絡可達性研究方面，Y Song等人利用時間可達性探究了首爾市30年來地鐵網絡的演變過程。Andrzej Soczówka對波蘭城市卡托維茲衛星城的公共交通網絡可達性進行了分析研究，采用距離等值線、平均出行時間及各個社區被公交網絡連接的次數對各社區的可達性進行綜合評價。張亦漢等以廣州地鐵為研究對象，以平均加權時間為指標，分析了廣州市地鐵網絡的可達性。郭謙，吳殿廷等以候車時間、運行時間和換乘時間組成線路的單程通達時間，構建了基于通達時間的可達性指標。

由于城市空間龐大，處在城市各個位置的人群對于城市軌道交通可達性的關注度不同，因此進行兼顧城市軌道交通網絡換乘可達性和時間可達性結合的研究是非常必要的。本文以北京市未來城市軌道交通規劃線網為研究對象，計算站點的時間-拓撲可達性，研究線網可達性的分布特征，劃分可達性分布圈層，研究線網時間-拓撲可達性分布規律。

1 時間-拓撲復合可達性模型

1.1 模型構建

時間可達性能夠突出不同層次線網的速度差異，換乘網絡的拓撲可達性能夠體現城市軌道交通的換乘特性，因此綜合考慮時間因素及換乘因素構建復合城市軌道交通網絡可達性模型。

時間可達性采用距離測算法，拓撲可達性采用最短距離矩陣法。這2種算法除單位有差別外，在本質上是一樣的，只是一個用于幾何網絡，一個用于拓撲網絡。在本節研究中，綜合考慮時間長度和拓撲長度的最優距離采取最短距離測算方法。其可達性表達式為：

（1）

式（1）中，Ai為節點i在城市軌道交通網絡中的可達性指標，lij為節點i與節點j間綜合考慮了時間因素和換乘因素的最短路徑的長度，n為城市軌道交通網絡的節點數量。

lij用公式表示為：

（2）

式（2）中，為節點i與節點j間第k條路徑的時間長度歸一化后的值，為節點i與節點j間第k條路徑的拓撲長度歸一化后的值，λ1、λ2分別為時間長度和拓撲長度的權重，表示時間因素和換乘因素在綜合可達性中的重要程度。

1.2 求解

求解問題的數學模型如下。有網絡G =（N，E），其中N為網絡的節點集合，E為網絡中邊的集合，在此假設N = n，E = m。fu（i，j）≥0（u = 1，2），為節點i到節點j的第u個目標值。求起點O到終點D的2個目標值下的最優路徑。

研究采用線性加權法解決雙目標最短路徑問題，將雙目標函數的各目標按相應的準則加權后以某種方式進行求和，將雙目標最優化問題轉化為單目標最優化問題，并做出評價函數u（f（x）），再對評價函數進行單目標最小化計算。表達式為：

（3）

定義1：若有決策變量x∈X，滿足約束條件gi（x）≤0和hj（x）= 0，則稱x為可行解。

定義2：由X中所有的可行解組成的集合稱為可行解集合。

由定義1和定義2可知，式中X={x∈Rn|gi（x）≤0，hj（x）= 0}，為可行解的集合;λi >0（i = 1，2）為各目標函數的權重值，且有λ1 + λ2 = 1。

提出以網絡拓撲直徑長度為限制條件的算法思路，城市軌道交通網絡模型的拓撲直徑表達的含義是線網中保證任意2點間可達的最少換乘次數。添加合理的限制條件，能使原始算法得到改進，使得設計算法在大規模的城市軌道交通網絡應用中得以實現。

基于以上的分析定義，設計求解城市軌道交通網絡時間-拓撲最短路的算法，進而計算出既能體現線網層次差異帶來的時間影響，又能體現城市軌道交通換乘特點的時間-拓撲可達性。

2 實例驗證

2.1 線網層次劃分

以北京市為例進行實例研究。選取北京市軌道交通第二期建設規劃（2015年—2021年）項目中目標線網的方案（不含單獨收費的機場專用線）作為分析對象。

方案中目標線網含線路32條，總規模約1 200 km，車站508座，根據不同線路的運行速度差異，目標線網劃分為快線A、快線B、普線A和普線B共4個層次。如圖1所示。

為了更加直觀地說明問題，對相同速度等級的線路統一賦值，如表1整理所示。

2.2 北京市軌道交通線網時間-拓撲可達性分析

對時間-拓撲可達性公式中2個權重參數采用熵權法進行標定。

熵權法是一種客觀賦權方法，利用不同指標的熵值所提供的信息量大小來決定指標權重。此次研究中的指標為時間可達性指標與拓撲可達性指標，這里使用的時間可達性指標是在拓撲距離限制下的時間可達性指標。在時間-拓撲可達性算法介紹中，提到了以網絡的拓撲直徑c作為限制條件來搜索站點間的路徑集合。研究對象中線網的拓撲直徑以5作為臨界值，既滿足網絡中任意點間可達，又體現出人們在出行過程中，若換乘次數過多將不會選擇該路徑出行的實際意義。具體步驟如下。

第1步：計算整理樣本數據。

以北京規劃線網中的508個站點為樣本，計算出樣本在限制條件下的時間可達性值和拓撲可達性值組成原始數據矩陣R = [ rij ]508×2（ i = 1，…，508;j = 1，2），其中ri1表示站點i的時間可達性值，ri2表示站點i的拓撲可達性值。

消除指標間的量綱差異，進行歸一化，得到矩陣R' = [ r'ij ]508×2，計算站點限制條件下的時間可達性和拓撲可達性在樣本中的比重 yij。

（4）

第2步：計算限制條件下時間可達性和拓撲可達性的信息熵 ej。

（5）

K為常數，計算公式為：

第3步：確定信息熵冗余度fj。

fj = 1- ej? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

信息熵冗余度是指信息的重復度，取決于其信息熵與1之間的差值，信息熵冗余度越大，表明其重要性越高。

第4步：計算權重。

依據指標的信息熵冗余度來確定指標的權重 λj，指標的信息熵冗余度越大，該指標的重要性越強，權重值也越高，計算公式為：

（7）

本文按照上述步驟，編寫Matlab程序，計算出時間因素與拓撲因素的權重值分別為λ1 = 0.5681，λ2 = 0.4319。

將權重賦值時間-拓撲可達性算法當中，用C++語言編寫代碼運行，得到網絡所有站點對間的雙目標最短路徑，并輸出所有站點對間雙目標最短路徑的時間距離和拓撲距離，將時間距離和拓撲距離去量綱化，計算出雙目標最短路徑的綜合值l ij = λ1×tij' + λ 2×dij'，最終利用式（1）計算出網絡中所有站點的時間-拓撲可達性。

這里列舉網絡中可達性最好的20個車站和最差的20個車站，如表2所示。

由表2中數據驗證得出以下結論。

（1）時間-拓撲可達性排名前20位的車站均是換乘站，且除了西單站、東單站、張自忠路站，其余車站都是6號線和R1線上的車站，其中有10個車站是6號線上的站點，7個是R1線上的站點。6號線雖然不是快線，但是其連接線路比較多，出行路徑多，拓撲可達性和時間可達性都比較高。R1線為穿越城市核心區的東西向徑向線，屬于快線范疇，與1號線平行共走廊，具有時間和拓撲的雙重優勢。

（2）時間-拓撲可達性最差的20個站點都隸屬于外圍線路，且除了閻村東站是房山線和燕房線的換乘站外，其余各站均為非換乘站，時間可達性和拓撲可達性都比較差，其中時間可達性和拓撲可達性均最差的燕房線，時間-拓撲可達性也最差。

再根據時間-拓撲可達性公式計算出網絡中所有站點的時間-拓撲可達性，借助Arcgis將離散站點的數據連續化表達，生成綜合可達性的等值線圖，如圖2所示。

從圖2中能夠總結出線網時間-拓撲可達性空間分布的結論：

（1） 線網的時間-拓撲可達性呈現“中心-邊緣”的圈層分布趨勢：可達性的空間分布自線網中心向邊緣以不規則圈層的形式逐漸衰減;

（2）線網的時間-拓撲可達性呈現沿快線“凸起”形態，體現出快線的速度優勢;

（3）線網的時間-拓撲可達性在中心城區外呈現“東高西低”的形態。

2.3 北京市軌道交通線網時間-拓撲可達性分布規律

由于站點和線路數目較多，借助分形理論對線網的整體特征進行研究，探索可達性分布規律。

描述分形體分形特征的數學指標是分形維數，利用半徑維數進行城市軌道交通網絡形態描述是行之有效的。假設城市區域的面積為S，城市軌道交通網絡分布在城市空間內，若線網的可達性值是分形的，那么城市軌道交通網絡的可達性值與城市區域面積存在以下數學關系，如式（8）所示：

A（S）1/D∝S 1/2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

式（8）中，A（S）為城市范圍內軌道交通網絡可達性值之和，D為可達性分布-半徑維數。

如果城市區域為半徑為r的圓形區域，那么半徑r與可達性值A（S）的關系如式（9）所示：

r 1/1∝A（S）1/D∝S 1/2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （9）

因為S∝r 2，則以上關系可化為公式（10）：

A（r）= C×r DA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（10）

式（10）中，A（r）為半徑為r的城市范圍內軌道交通網絡可達性值之和，C為常數，DA為該城市軌道交通網絡的可達性分布-半徑維數。式（10）表示城市軌道交通網絡的可達性分布具有自相似的分形特性，DA反映城市軌道交通網絡可達性從城市中心向城市外圍區域的變化趨勢。對式（10）求導，可得城市軌道交通網絡可達性值的分布密度，如式（11）所示：

ρA（r）∝r DA - d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （11）

式（11）中，d = 2 時，表示歐式維數。當DA<2時，城市軌道交通網絡的可達性從城市中心向城市外圍逐漸遞減;當DA = 2時，城市軌道交通網絡的可達性均勻分布;當DA>2時，城市軌道交通網絡可達性從城市中心區域向城市外圍逐漸增加。一般情況下，從城市中心出發可達性分布-半徑維數DA越接近2，則表明城市軌道交通網絡的可達性越好，線網越完善。

將天安門西站作為北京城市中心點，采用真實半徑R = 2km自天安門西站做同心圓，且同心圓的半徑等差，均為2km，如圖3所示。從天安門西站向外圍同心圓環編號k = 1，2，…，n。則有半徑為r的圓內的城市軌道交通可達性值之和為：

（12）

式（12）中，A（k）為第k個圓環內的城市軌道交通可達性值之和。有關系式：

ln A（r）= ln C + DA ln r? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

對ln A（r）與ln r做線性回歸，得到的回歸方程系數即為可達性分布-半徑維數DA。將點對（r，A（r））描繪在雙對數坐標系上，若點對呈現對數線性分布或者存在無標度區，則表示城市軌道交通網絡的可達性是分形分布的，直線的斜率就是分形維數。

研究范圍劃分為24個環帶，計算各環帶的可達性指數，初始數據計算結果如表2所示。

對表2中數據取對數后進行線性回歸分析，根據計算的自變量及常數項的未標準化系數，得到ln A （r）與ln r的回歸方程如式（14）所示，復相關系數為R2 = 0.881。

ln A （r）= 1.026 ln r + 3.386? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（14）

ln A （r）、ln r的關系擬合曲線如圖4所示。

回歸方程擬合直線的斜率即為可達性分布-半徑維數，即DA = 1.026，該值小于2，表示北京市軌道交通網絡的可達性分布自城市中心向外圍逐漸遞減，且遞減速率較快，但觀察擬合直線，發現擬合效果并不理想，且擬合度值相對較低，線性關系不嚴謹，得到的DA值不能很好地說明可達性分布與半徑的分形特征。

觀察擬合關系圖，發現散點趨勢中有2個明顯的拐點，分別在第5個點和第15個點處，將散點趨勢分為3個無標度區，分別對3段區間內的半徑及可達性分布值進行回歸分析，根據計算出的回歸方程繪制出擬合曲線，如圖5所示。

由圖5可以看出，北京市軌道交通網絡可達性的分布出現了3個明顯的無標度區，表明有合理的分形意義，且3個回歸方程的擬合系數分別為R2 = 0.998、R2 = 0.995及R2 = 0.960，表明各區間線性關系嚴謹，分形具有明顯的統計學意義。

2個拐點分別對應的真實半徑為R = 10km，及R = 30km，表示在以天安門西站為圓心，10km范圍內的軌道交通可達性的分布具有相同的分形特征，10～30km的范圍內城市軌道交通的可達性分布具有相同的分形意義，30～48km內的可達性分布具有相同的分形特征。

根據可達性分布的明顯差異，可將線網劃分為3個圈層區域，如圖6所示。

第1圈層——以天安門西站為中心的10km的圓域范圍，該范圍內的可達性分布與半徑的回歸方程為：

y = 1.816 x + 2.256? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （15）

從回歸方程中可知，這一圈層范圍內可達性分布-半徑擬合直線的斜率為1.816，即可達性分布-半徑維數DA = 1.816，表明半徑10km范圍內的線網可達性自城市中心點向外圍逐漸降低;該值比較接近2，說明線網可達性自中心向外圍衰減的速率緩慢，網絡形態主要是以“棋盤狀”為主，這一范圍內的可達性分布相對比較均勻，城市軌道交通網絡發育較為完善，供給能力強。

第2圈層——半徑10～30km的范圍，該范圍內的可達性分布與半徑的回歸方程為：

y = 0.651 x + 4.469? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （16）

從回歸方程可以看出，該范圍內可達性分布-半徑分維DA = 0.651，表明城市軌道交通網絡的可達性在該圈層內向外逐漸衰減，且衰減速率較快，這一范圍的城市軌道交通網絡密度相對較低，可達性相對較差，線網形態以“放射狀為主”，可達性分布不均勻，造成可達性的衰減速率較大。該范圍的城市形態以近郊區的城市組團為主，城市軌道交通線路多為郊區線路中心城線路的延伸線，主要為近郊區重要組團與中心城間的通勤服務為主。

第3圈層——半徑30～50km的范圍，該范圍內的可達性分布與半徑的回歸方程為：

y = 0.086 x + 5.988? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （17）

由回歸方程可知，該范圍的可達性分布-半徑維數DA = 0.086，該范圍除了燕房線、平谷線中段、15號線東部延伸線和昌平線北部區段以外，沒有城市軌道交通線路服務。隨著北京通州副中心的建設，位于該圈層內的距離通州副中心較近的燕郊和潮白新城可規劃城市軌道交通線路，吸引燕郊和潮白新城的通勤客流，發揮截流作用，避免大規?？土鲗χ行某堑臎_擊。

綜上分析可知，北京規劃線網可達性存在分形現象，而且是分段分形的，根據分形規律可將線網的可達性分布劃分為3個圈層區域。不同圈層區域線網可達性分布特點不同，供給能力差異性大，因此在線網規劃中，可以根據不同區域內城市軌道交通的分布特點，針對性地進行規劃。

3 研究結論

根據以上的分析研究，結合線網可達性總體分布特點，從線網的可達性角度出發，對城市軌道交通線網規劃提出以下建議。

（1）可達性第1圈層為高密度發展的城市中心區域，線網發達，可達性自中心向外圍減緩速率慢，供給能力強。這一圈層未來應以線網加密完善為主，補充城市中心重要功能區的城市軌道交通服務，線網層次應以普線網為主。

（2）可達性第2圈層是城市的近郊區范圍，線網形態在該圈層內主要以“放射狀”為主，該圈層內城市軌道交通存在可達性衰減速率快，交通供給能力不足的特點。這一圈層分布著大量的近郊區城市組團，因此這一圈層是未來城市軌道交通發展的重點。這一圈層的軌道交通規劃應以快線為主，優先考慮貫穿中心城區的徑向線，提升重要節點可達性的同時，增強線網整體的可達性;若線網穿越中心城區工程難度大，應將快線盡可能的向中心城區延伸，增加換乘路徑，或在中心城區邊緣連接多條可達性較高的線路。為改善這一圈層的線網可達性，提升城市軌道交通線網的供給能力，除新修線路增強軌道交通服務外，還應規劃外圍聯絡線，加強放射線路間的直接聯系，降低可達性的衰減速率。

（3）由于可達性第3圈層外可能會分布著遠郊區新城，因此在規劃中這一圈層可繼續擴大到70km范圍，這一范圍內對出行時間要求較高，應該主要發展以市郊鐵路、軌道交通快線為主導方式的城市軌道交通，增強點對點的通達能力。線網規模的增加，勢必會造成線網可達性的降低，但也不可一味的向中心城區延伸，避免造成對中心城區的客流沖擊，可在中心城區外圍盡量銜接第2圈層中徑向線的延伸線路，增加出行路徑，降低對線網整體可達性的影響。

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收稿日期 2019-06-21

責任編輯 胡姬