測(cè)量模態(tài)不確定的梁式結(jié)構(gòu)隨機(jī)有限元模型修正

陳輝 張衡 李燁君

摘要： 針對(duì)測(cè)量模態(tài)不確定導(dǎo)致的結(jié)構(gòu)修正參數(shù)隨機(jī)的實(shí)際情況，提出了一個(gè)隨機(jī)模型修正方法。該方法以隨機(jī)有限元法為基礎(chǔ)，將結(jié)構(gòu)修正參數(shù)表示為多變量非正交多項(xiàng)式展開(kāi)式，建立了表達(dá)隨機(jī)響應(yīng)和待修正參數(shù)之間精確關(guān)系的隨機(jī)模型修正方程。采用混合攝動(dòng)-伽遼金方法對(duì)該方程進(jìn)行求解，得到了修正參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征。數(shù)值算例表明，采用測(cè)量的前三階豎向位移模態(tài)信息對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行修正，所提方法的修正結(jié)果與蒙特卡洛方法模擬結(jié)果一致，但耗時(shí)較少。采用修正參數(shù)計(jì)算得到的隨機(jī)響應(yīng)和測(cè)量結(jié)果吻合很好，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 模型修正; 隨機(jī)結(jié)構(gòu); 測(cè)量模態(tài); 高階攝動(dòng)-伽遼金; 隨機(jī)有限元

中圖分類號(hào)： TU317+.1; TU311.3 ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A ?文章編號(hào)： 1004-4523（2019）04-0653-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.012

引 言

在建筑結(jié)構(gòu)中，要準(zhǔn)確地進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析，首先必須建立結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。目前普遍采用的是有限元法。如果有限元模型是正確的，那么一般認(rèn)為預(yù)測(cè)的結(jié)果會(huì)比測(cè)量結(jié)果更為準(zhǔn)確。因?yàn)榇蠖鄶?shù)情況下人們不會(huì)懷疑通用的數(shù)值分析結(jié)果例如有限元計(jì)算結(jié)果的正確性。另一方面，隨著現(xiàn)代測(cè)量?jī)x器的測(cè)量精度越來(lái)越高，如果測(cè)量結(jié)果與真實(shí)結(jié)果出現(xiàn)誤差，一般認(rèn)為建模是有問(wèn)題或不準(zhǔn)確的（如沒(méi)有正確考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取，邊界條件不符合實(shí)際等），因此需要借助測(cè)量結(jié)果來(lái)修正建立的有限元模型[1]。然而，受環(huán)境（溫度、濕度、振動(dòng)）、測(cè)量軟件、測(cè)試人員經(jīng)驗(yàn)的影響，測(cè)量結(jié)果具有不確定性或隨機(jī)性，而不確定性或隨機(jī)性的測(cè)量結(jié)果必然會(huì)導(dǎo)致修正結(jié)構(gòu)模型出現(xiàn)不確定性或隨機(jī)性，因此開(kāi)展隨機(jī)模型修正具有重要意義[2]。根據(jù)結(jié)構(gòu)隨機(jī)測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)反演不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)的過(guò)程稱為隨機(jī)模型修正。通常的隨機(jī)模型修正方法是讓測(cè)量統(tǒng)計(jì)值和預(yù)測(cè)統(tǒng)計(jì)值之間的誤差最小化來(lái)實(shí)現(xiàn)。國(guó)內(nèi)不少學(xué)者已經(jīng)從不同角度采用多種方法對(duì)其展開(kāi)了研究和探索。1998年，美國(guó)加州理工的J L Beck教授及其合作者考慮到前述確定性模型修正中存在的問(wèn)題，開(kāi)始將貝葉斯方法應(yīng)用到線彈性土木結(jié)構(gòu)的隨機(jī)模型修正中來(lái)[3-4]。該方法最大的特點(diǎn)是采用隨機(jī)抽樣的方式抽取待修正參數(shù)的樣本，通過(guò)比較所抽取樣本對(duì)應(yīng)的響應(yīng)是否與測(cè)量結(jié)果一致來(lái)得到修正參數(shù)。這樣可以避免逆向求解時(shí)的方程病態(tài)問(wèn)題。但是抽樣過(guò)程中重復(fù)計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)會(huì)非常耗時(shí)，這對(duì)于大型結(jié)構(gòu)是不可接受的。同時(shí)當(dāng)修正參數(shù)太多時(shí)，傳統(tǒng)的吉布斯（Gibbs）抽樣方法或MH（Metropolis-Hasyings）抽樣方法限制了該方法的使用。近年來(lái)，Ren建立了結(jié)構(gòu)響應(yīng)（頻率）和修正參數(shù)之間關(guān)系的高斯替代模型，并在貝葉斯方法中引入了高效的DRAM抽樣方法對(duì)一座人行天橋進(jìn)行了修正[5]。另外，攝動(dòng)法因?yàn)榭梢院芎玫劂暯哟_定性有限元而受到了廣泛的關(guān)注和研究[6-7]。該方法中運(yùn)用一階泰勒展開(kāi)的隨機(jī)有限元法居多。當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性較小或輸入輸出關(guān)系為線性時(shí)，攝動(dòng)法可以獲得令人滿意的修正結(jié)果。但當(dāng)輸入輸出為非線性關(guān)系時(shí)，只用輸出（修正參數(shù)）隨機(jī)量的1，2階矩來(lái)做模型修正就會(huì)丟失高階矩信息，必然會(huì)產(chǎn)生修正誤差，當(dāng)非線性程度較高且輸入隨機(jī)量（測(cè)量數(shù)據(jù)）的變異性較大時(shí)，這種誤差會(huì)更大。同時(shí)，現(xiàn)有的攝動(dòng)法大多數(shù)都是通過(guò)迭代優(yōu)化來(lái)修正參數(shù)的，沒(méi)有建立從概率上描述輸入輸出關(guān)系的精確模型?？紤]到確定性有限元模型修正的自然推廣，本文采用隨機(jī)有限元方法進(jìn)行有限元模型修正[8]，并采用混合攝動(dòng)-伽遼金法及正則化技術(shù)對(duì)修正方程進(jìn)行求解[9]。

在實(shí)際測(cè)量中不可避免地存在測(cè)量誤差，假定頻率測(cè)量誤差服從均值為零，變異系數(shù)為0.02的β分布，這是一種實(shí)際測(cè)量中測(cè)量變異性較大的情況。

同時(shí)假定振型各節(jié)點(diǎn)誤差服從均值為零，變異系數(shù)為0.02的β分布。選定所有單元的剛度作為修正對(duì)象。實(shí)際模態(tài)測(cè)試中，測(cè)量信息往往有限，同時(shí)高階模態(tài)測(cè)量誤差較大。結(jié)合工程實(shí)際，選取低階測(cè)量模態(tài)（前3階）作為有效的測(cè)量信息，各階完整模態(tài)用測(cè)量的豎向位移模態(tài)擴(kuò)階得到[15-16]。用所提出的方法對(duì)固支梁進(jìn)行模型修正。同時(shí)進(jìn)行十萬(wàn)次的蒙特卡洛模擬（MC）得到統(tǒng)計(jì)修正結(jié)果，用于與本文方法進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算得到各單元修正系數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如圖2所示。

從圖2中可以看出，本文方法得到的統(tǒng)計(jì)修正結(jié)果和十萬(wàn)次的蒙特卡洛模擬得到的結(jié)果基本一致，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性。值得一提的是，本文所提出的方法僅用了不到十次的有限元模型計(jì)算。從圖2（a）可以看出，各單元修正系數(shù)的均值與假定的工況一致。同時(shí)，在圖2（b）中可以看出，除了3，4，5單元的標(biāo)準(zhǔn)差接近0.02之外，1，2，6，7單元的修正系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差均接近0.01。這些結(jié)果表明，由于測(cè)量誤差的存在，實(shí)際上沒(méi)有發(fā)生變化的單元彈性模量修正值也出現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)差。這種現(xiàn)象主要是由模擬測(cè)量的誤差引起的，并且在隨機(jī)模型修正中通常不可避免。利用所提出的方法和MC方法，1，3，4，5單元的修正系數(shù)的概率密度函數(shù)如圖3所示。從圖3中可以看出，所提的方法得到的修正系數(shù)的概率密度函數(shù)曲線與MC方法的概率密度函數(shù)曲線非常吻合。

進(jìn)一步驗(yàn)證模型修正結(jié)果的有效性。將本文提出的方法得到的統(tǒng)計(jì)修正參數(shù)代入式（20）并求解，可以得到修正后結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)。表1比較了修正前后結(jié)構(gòu)頻率均值的誤差。結(jié)果表明結(jié)構(gòu)的測(cè)量頻率均值和修正頻率均值誤差幾乎為零。但是對(duì)于模型修正，僅比較均值無(wú)法有效說(shuō)明修正結(jié)果的可靠性，需要從全概率上進(jìn)行充分的比較，比較結(jié)果如圖4所示。圖4顯示前5階修正后的計(jì)算頻率與仿真的測(cè)量結(jié)果非常吻合。另外，前5階修正后的計(jì)算振型的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別繪制在圖5和6中。從圖5中可以看出，本文方法修正的振型均值與模擬的測(cè)量振型均值結(jié)果幾乎一致。從圖6中還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于前5階振型，修正的振型標(biāo)準(zhǔn)差非常接近于模擬測(cè)量振型的標(biāo)準(zhǔn)差。這些結(jié)果都驗(yàn)證了所提出的隨機(jī)模型修正方法的有效性。

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于隨機(jī)有限元方法的隨機(jī)模型修正方法。該方法建立了隨機(jī)模型修正的新框架，包括隨機(jī)模型修正方程的建立，隨機(jī)修正方程的求解，以及修正結(jié)果的驗(yàn)證。它可以看作是確定性有限元模型修正方法在概率領(lǐng)域中的自然擴(kuò)展。

從建立的隨機(jī)模型修正方程，可以看出修正系數(shù)的不確定性來(lái)自隨機(jī)測(cè)量誤差。混合攝動(dòng)-伽遼金法和正則化技術(shù)保證了隨機(jī)修正方程解的精確性和唯一性。仿真算例說(shuō)明，用該方法修正后的有限元模型能很好地重現(xiàn)隨機(jī)測(cè)量結(jié)果。在獲得修正系數(shù)的過(guò)程中，本文提出的方法僅需要不高于十次的有限元計(jì)算，就可以達(dá)到和十萬(wàn)次確定性的蒙特卡洛模擬相同的結(jié)果，顯示出所提出方法的高效性。

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