水-橢圓柱體相互作用分析的精確和簡化模型

王丕光 黃義銘 趙密

摘要： 針對柔性橢圓柱體在水中的振動問題，提出一種代替水-結構動力相互作用的附加質量模型。基于橢圓柱體動水壓力的計算公式建立了水中橢圓柱體的自由振動方程，進一步推導了水中橢圓柱體自振頻率和振型的解析公式;基于振型疊加法推導了水中橢圓柱體地震動力反應的計算公式;通過附加質量代替水-結構相互作用，提出了水中橢圓柱體自振頻率的計算公式;通過曲線擬合給出了附加質量的簡化計算公式，該簡化公式數學表達簡單，適用于工程應用。

關鍵詞： 動水壓力; 橢圓柱體; 地震反應; 振型疊加法; 附加質量

中圖分類號： TU311.3; U443.1 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）04-0619-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.008

引 言

隨著經濟的發展和技術的進步，中國已經建成或正致力于建造一大批近海結構物[1-3]。近海結構一般都處于深水環境中，在動力分析時需要考慮水體和結構的動力相互作用，該動力相互作用不僅會改變結構的動力特性，還會對結構產生附加動水壓力作用。研究表明地震作用下結構與水體的動力相互作用會對水中結構的動力反應產生較大影響[4-5]。

實際工程中，存在各種截面形式的柱體結構，如圓形、橢圓形和矩形等。國外學者針對水-圓柱結構的動力相互作用問題已經進行了一系列的研究。Liaw和Chopra[6]于1974年基于輻射波浪理論推導了圓柱結構的動水壓力公式，研究結果表明，對于細長結構可以忽略水體壓縮性的影響;表面波僅在低頻時對動水壓力的影響比較明顯。忽略水體壓縮性和表面波時該動水壓力可視為部分水體質量與結構加速度的乘積，這部分水體稱為“附加質量”。Han和Xu[7]基于梁單元理論，提出了計算水中圓柱結構自振頻率的簡化公式。Goyal和Chopra[8]提出了取水塔結構動水壓力的附加質量簡化計算方法。另外，Williams[9]和Tanaka等[10]分別采用邊界積分方法和解析法研究了水平地震作用下水中圓柱結構的動力反應。

中國學者也對深水橋墩的地震動水壓力進行了研究。賴偉等[11]提出了一種圓形橋墩上地震動水壓力的半解析半數值方法;黃信和李忠獻[12-13]討論了自由表面波、水體壓縮性和水底吸收邊界對圓形橋墩地震動水壓力的影響;杜修力等[14-15]提出了可壓縮水體條件下圓柱結構地震動水壓力的時域算法和時域簡化公式;李喬等[16]和江輝等[17]提出了圓形橋墩動水壓力的簡化計算公式。

上述情況表明，目前對于地震作用下水與圓柱結構的動力相互作用問題已經取得了可供實際應用的研究成果，但還鮮見對水與橢圓柱體結構動力相互作用的研究。本文將利用分布參數體系，研究齊水面橢圓柱體結構體系的自由振動和強迫振動，討論水-結構相互作用對柱體結構動力特性和動力反應的影響。

1 橢圓柱體的動水壓力計算公式

橢圓柱體結構與水體相互作用的模型如圖1所示，a和b分別表示橢圓半長軸和半短軸，h為水深。直角坐標系下，z軸沿柱體軸線向上，坐標原點位于柱體底部;假定地基為剛性，地面加速度為g=Uge-iωt，ω為荷載頻率。水體假定為不可壓縮的小擾動流體，并忽略表面重力波的影響。

2.2 結果分析

通過自振頻率降低率討論水-結構相互作用對柔性橢圓柱體結構自振頻率的影響，自振頻率降低率定義為結構無水頻率和有水頻率的差值與無水頻率的比值。本文算例中，取結構的密度ρs=2450 kg/m3、彈性模量E=30000 MPa、阻尼比為0.05、水深為20 m。

圖2為橢圓長短軸比不同情況下結構的一階頻率降低率隨寬深比的變化。沿長軸時寬深比為2b/h，沿短軸時寬深比為2a/h。由圖2可以看出，水-結構相互作用降低了結構的自振頻率;隨著寬深比的增大，水體對結構自振頻率的影響逐漸減小;沿長軸方向振動時，隨著長短軸比的增大，水體對結構自振頻率的影響逐漸減小;沿短軸方向振動時，隨著長短軸比的增大，水體對結構自振頻率的影響逐漸增大;長短軸比一定時，水-結構相互作用對橢圓柱體沿短軸方向結構自振頻率的影響更大。水-結構相互作用對長、短軸方向動力特性影響的差異性主要是由于沿長軸和短軸振動時截面剛度的不同引起的。

圖3和4分別為橢圓柱體沿長軸和短軸方向振動情況下結構的前3階振型，圖中長短軸比取3。由圖中可以看出，水體對結構一階振型的影響可忽略，對高階振型的影響較大;水體對沿短軸方向振動時的結構高階振型影響明顯大于對沿長軸方向振動時的結構高階振型影響。

3 橢圓柱體的地震動力反應

采用振型疊加法來求解地震作用下橢圓柱體的動力反應。

3.1 無水情況

橢圓柱體在水中振動的自振頻率，可通過式（15）計算得到，但是該公式需要通過程序來實現，很難應用于工程實際。為了解決這一難題，本文基于附加質量的概念，給出了一個水中橢圓柱體結構自振頻率的簡化計算公式。

4.1 沿長軸方向

5 結 論

本文推導了橢圓柱體結構在水中自由振動時自振頻率和振型的解析公式，并基于振型疊加法建立了橢圓柱體結構地震反應的計算公式。由于自振頻率解析公式計算過程復雜，不便于工程應用，本文進一步基于水體附加質量的概念提出了水中橢圓柱體結構自振頻率的簡化計算公式。

分析結果表明水-結構相互作用降低了結構的自振頻率，改變了結構的高階振型，增大了結構的動力反應。隨著寬深比的增大，水體對結構自振頻率的影響逐漸減小;隨著長短軸比的增大，水體對沿長軸方向結構自振頻率的影響逐漸減小、對沿短軸方向結構自振頻率的影響逐漸增大;長短軸比一定時，水體對橢圓柱體沿短軸方向結構自振頻率和高階振型的影響更大。

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Abstract： A model of added mass representation for a flexible elliptical cylinder vibrating in water is presented to simulate the fluid-structure dynamic interaction. Based on the formula of the hydrodynamic pressure on elliptical cylinder， the free vibration equation for an elliptical cylinder in water is given. Further， the analytical solutions of the natural frequencies and mode shapes for the elliptical cylinder vibrating in water are derived. The expression for calculating the seismic response of the cylinder surrounded by water is obtained by the mode superposition method. Using the added mass representation， the formula for calculating the fundamental frequency of the elliptical cylinder in water is proposed. A simple formula for evaluating the natural frequency is proposed by curve fitting method. The mathematical expression of the formula is very simple and it is suitable for engineering application.

Key words： hydrodynamic pressure; elliptical cylinder; earthquake response; mode superposition method; added mass

作者簡介： 王丕光（1985-），男，助理研究員。電話：15210945945; E-mail： wangpiguang1985@126.comZ ··y^