利用耦合系統自由振動響應識別結構被控模態和TMD參數

溫青 華旭剛 王修勇

摘要： 準確從安裝TMD后的結構-TMD耦合系統中識別結構被控模態和TMD參數是TMD現場調試的必需條件。針對TMD現場調試中參數識別問題，提出了一種通過結構-TMD耦合系統自由振動試驗識別結構被控模態的模態質量、頻率和阻尼比以及TMD頻率和阻尼比的方法。該方法首先采用隨機子空間算法評估耦合系統的離散狀態空間模型，然后將其減縮和轉化為結構被控模態和TMD耦合的兩自由系統連續狀態空間模型;最后，利用連續狀態矩陣，識別結構被控模態的模態質量、頻率和阻尼比以及TMD頻率和阻尼比。數值分析研究結果表明：1）該方法抗噪能力強;2）TMD與原結構各模態耦合越強，質量比識別結果誤差越大，其他參數識別結果均滿足工程要求。通過單層框架結構試驗研究，驗證了該方法的可行性。

關鍵詞： 參數識別; TMD-結構耦合系統; 模態分析; 狀態空間; 自由振動測試

中圖分類號： TU311.3; TU352.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2019）04-0565-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.04.002

引 言

舒適性是結構設計的重要指標，結構的大幅振動會引起人體不適甚至心理恐慌。因此，對于存在大幅振動的結構，需要采取控制措施，抑制結構振動。安裝調諧質量阻尼器（TMD）減振系統是一種常見的提高結構舒適性的被動耗能減振方法。該方法已經廣泛應用于人行橋人致振動控制和高聳結構風致振動控制，如葡萄牙Pedro e Inês人行橋[1]、綿陽一號橋人行橋[2]、合肥跨懷寧路人行橋[3]、臺北101大樓[4]、廣州電視塔[5]、上海中心大廈[6]等。

根據控制目標的不同，采用相應的TMD參數優化設計方法，設計TMD的質量、頻率和阻尼比[7]。然而，不管采用何種參數優化方法，準確獲得結構的模態質量、頻率和阻尼比，以及準確調試TMD的頻率和阻尼比是保證TMD減振效率的關鍵。在實際工程中，結構的模態質量常采用有限元方法評估，試驗方法通常采用強迫振動試驗，該方法能有效評估結構的模態質量[8]，但是該方法需要專門的激振設備，成本較高，且對大型結構不適用。結構的頻率和阻尼比可以通過環境振動測試或自由振動測試評估[9-11]。用于TMD優化設計的結構模態參數應該為結構正常運營狀態下的模態參數，然而，TMD的安裝有時與結構的施工同步，用于TMD優化設計的結構動力參數無法事先準確獲得，需要在安裝TMD后測試結構模態參數，并據此對TMD進行調試。小型TMD可以在工廠組裝好，能準確調試其頻率和阻尼比，而大型TMD，如重達660 t的臺北101大廈TMD[4]、重達1000 t的上海中心大廈TMD[6]等，或者安裝于狹窄空間的TMD，如安裝于橋梁鋼箱梁內的TMD[2]，只能在現場組裝，因此，TMD的頻率和阻尼比有時需要在現場調試，TMD的參數偏離會影響減振效率[12]。

安裝TMD后，結構和TMD構成一個耦合振動系統，傳統的參數識別方法只能評估耦合系統的模態參數，而不能通過耦合系統的響應識別結構被控模態參數和TMD物理參數。安裝于結構上，TMD既是一種減振裝置，又可以作為一種激振裝置。通過搖動TMD可以激勵結構大幅振動。Porras等[13]提出了利用TMD作為振子的基于自由振動測試的結構模態質量識別方法。Hwang等[14-15]通過模型減縮方法，利用TMD的運動質量已知識別了結構的模態質量。但是，這些方法均沒有討論結構被控模態和TMD的頻率和阻尼比識別。

鑒于此，本文提出了一種通過測試結構和TMD耦合系統的自由振動響應，識別結構被控模態的模態質量、頻率和阻尼比以及TMD頻率和阻尼比的方法。本文首先建立了結構-TMD耦合系統的自由振動的狀態空間模型，提出了基于狀態空間的參數識別方法;然后，采用數值方法，驗證了提出方法的可行性，分析了不同TMD參數、噪聲和結構模態耦合程度對識別結果的影響;最后，通過單層框架試驗，驗證了該方法的可行性。

在實際測試中，噪聲不可避免。噪聲分兩部分模擬：1）零均值高斯白噪聲激勵，模擬環境激勵，作用于結構上;2）測量噪聲，用零均值高斯白噪聲模擬，疊加在結構和TMD的響應上。噪聲水平由噪信比R確定，R=σy/σx。R1為激勵噪聲，由僅在激勵噪聲作用下結構響應的均方根σy與無噪聲時結構響應的均方根σx確定。R2為測試噪聲，由測試噪聲信號的均方根σy與無噪聲時結構響應的均方根σx確定。

有噪聲時，分析了不同噪信比對識別結構的影響。分析時，μ=1.00%，ζ0=6.09%，采樣時長為12 s。圖3為R1=10%和R2=10%時的穩態圖。圖中，有2條明顯的穩定軸，對應的頻率約為1.431和1.555 Hz，等于結構-TMD耦合系統的模態頻率。由于采樣時間太短，同一噪信比下，不同的噪聲得到不同的結果，因此，對同一噪信比進行了1000個工況分析，識別的結果如表2所示。表中，識別結果表示為均值±均方根。識別結果表明，即使在較大的噪聲干擾下，該方法也能較為準確地識別參數。在R1=20%和R2=20%內，識別的頻率均值誤差不超過0.1%，質量比均值誤差不超過1.5%。識別的TMD阻尼比均值誤差很小，而識別的結構阻尼比ζ1均值誤差較大。由式（19）可知，ζ1的識別與ωr，μ，ζ0和ω0相關，因此，這些參數的識別誤差都會傳遞給ζ1，導致其識別誤差較大。隨著噪信比的增大，識別結果的離散性越來越大。激勵噪聲是影響參數識別精度的主要原因。

2.2.1 多點彈性支撐連續梁

多點彈性支撐連續梁模型如圖4所示。該結構跨徑12 m，跨中均布的23個剛度k均為200 N/m的彈簧。主梁為寬0.1 m、高0.012 m的矩形鋼板，鋼材的密度ρ=7850 kg/m3，彈性模量E=2.06×1011 Pa，主梁的抗彎慣性矩I=0.144×10-7 m4。結構的阻尼采用Rayleigh阻尼模擬，即C=αM+βK，其中M為結構的一致質量矩陣，K為剛度矩陣。設定第2階和第4階的模態阻尼比均為0.50%，反推Rayleigh阻尼常數，得：α=0.0582，β=3.4897×10-4。結構的動力特征如表3所示。結構各階模態質量均為56.5 kg。模態振型為簡諧函數曲線。

在結構跨中安裝一個TMD控制結構的第1階模態。 質量比取1%， TMD質量為0.565 kg， 按照最大位移最小化方法，設計TMD最優頻率和阻尼比分別為1.045 Hz和6.09%。TMD剛度k0為24.347 N/m，阻尼系數c0為0.4 N·s/m。安裝TMD后，結構-TMD耦合系統的模態特征如表3所示。安裝TMD后，在原結構第1階模態的附加出現兩階模態，且這兩階模態的阻尼比很大。TMD與原結構其他模態耦合程度很小。

2.2.2 TMD頻率對識別結果的影響

不同TMD頻率下識別的結果如表4所示。頻率比為TMD的頻率與結構被控模態頻率的比值。由表4可知： （1）TMD的頻率顯著影響質量比的識別結果，TMD頻率偏離結構頻率越大，質量比識別誤差越大;（2）TMD頻率偏離略微影響結構頻率的識別;（3）TMD頻率偏離基本不影響TMD頻率、阻尼比以及結構阻尼比的識別精度。當TMD頻率與結構被控模態頻率接近時，能獲得更好的識別結果。

2.2.3 模態耦合程度對識別結果的影響

在理論推導過程中，由式（4）推導式（6）時，引入了假設：耦合系統中原結構第n個自由度位置的位移僅有第r階模態參與，即xn=φnrqr。對于單自由的結構，該假設顯然成立;而對于多自由度系統，結構各位置的響應通常為多模態疊加，該假設不成立。因此，本節分析了多模態振動和模態耦合程度對識別結果的影響。

首先，分析了多模態振動對識別結果的影響。多模態狀態通過調整結構初始位移實現。令TMD初始位移x00為0.01 m，結構1/4跨初始位移xQ0分別為0.000，0.005，0.010和0.020 m，TMD和結構初始速度均為0。不同初始條件下結構的功率譜如圖 5所示。由圖可知：隨著1/4跨位置初始位移增大，主梁跨中位移響應高階模態參與程度越來越高。不同的多模態參與下，各工況識別結果如表 5所示。由表可知，多模態振動對識別結果沒有影響。

然后，通過改變TMD安裝位置，分析了耦合程度對識別結果的影響。TMD布置于跨中時，TMD只與原結構奇數階模態發生耦合，耦合程度最小。將TMD布置于其他位置時，TMD會與更多的原結構模態耦合。將TMD布置于跨中，識別了原結構的第1階和第3階模態，將TMD布置于1/4跨識別了原結構第2階模態，將TMD布置于1/8跨識別了原結構第4階模態。識別結果如表 6所示。表中，識別的原結構第2階和第4階模態的質量比誤差明顯大于第1和第3階模態。

通過以上的分析可知：結構多模態振動不影響參數的識別結果，即耦合系統的振動形式不影響識別結果，但是，TMD與原結構的模態耦合程度會影響質量比的識別，對其他參數的識別影響很小。本文提出的方法使用耦合系統的模態參數重構狀態矩陣，再由狀態矩陣識別參數。系統的多模態振動不會改變耦合系統的模態參數特征，因此，多模態振動不影響參數識別。然而，不同的耦合程度，耦合系統的模態參數不同，導致評估的狀態矩陣不同，因此，耦合程度影響識別結果。由仿真分析可知：TMD與結構耦合的模態越少，識別的質量比精度越高。

3 單層框架結構試驗研究

在試驗室進行了如圖 6所示單層框架結構和TMD系統試驗研究。單層框架結構可以視為一個單自由度的系統，通過在結構的平臺上增減質量可以調整結構的模態質量。TMD采用懸臂梁結構，如圖 7所示。懸臂梁一端固定一個集中質量塊，另一端固結在底座上。TMD的頻率通過改變懸臂長度調節。為了調節TMD的阻尼，安裝了電渦流阻尼裝置，因為阻尼裝置與質量塊之間無接觸，阻尼裝置不提供附加剛度，不會改變TMD的頻率。

通過調整結構和TMD的質量改變質量比，通過調整銅板和永磁體的距離改變TMD的阻尼比，試驗了2種質量比和3種TMD阻尼比共6種工況。結構的模態質量采用理論方法計算，1#結構和2#結構的模態質量分別約為17.90和27.90 kg。TMD的模態質量通過稱重直接獲得，約為0.19 kg。根據結構和TMD的質量，計算了質量比，分別為1.06%和0.68%。耦合振動試驗前，將結構和TMD分離，通過自由振動測試，分別識別了結構和TMD的頻率和阻尼比，如表7所示。圖8為實測分離狀態下結構和TMD的自由振動位移響應。

采用本文提出的方法，識別了6種工況下質量比、結構和TMD的頻率和阻尼比，識別結果如表 8所示。圖 9為工況1b結構-TMD耦合系統的自由振動時程曲線。本試驗在室內實驗室完成，試驗時，周邊環境十分安靜，地面振動極小，所有測試儀器均接地線，動態數據采集儀器采用DH5920。另外，試驗時，結構位移較大。從實測數據看，總噪聲水平很小。通過表7和8比較表明：該方法在不同的質量比和TMD阻尼比條件下都能準確識別質量比、結構和TMD的頻率和阻尼比。

本文提出了一種基于結構和TMD耦合系統自由振動試驗的結構被控模態模態參數和TMD物理參數識別方法。通過數值仿真和試驗研究分析了該方法的可行性和適用性。研究結果表明：1）該方法理論推導正確，能有效識別結構被控模態和TMD參數;2）TMD頻率與結構被控模態頻率越接近，識別質量比越可靠;3）TMD與結構的耦合程度影響質量比的識別，耦合程度越小，識別的質量比越可靠;4）單框架結構試驗驗證了該方法可行。

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Abstract： Accurate identification of the structural modal parameters and TMD physical parameters based on the vibration tests of the structure-TMD coupled system is necessary for in-situ TMD tuning. In this paper， a method is proposed to identify modal mass， frequency and damping ratio for the structural controlled mode and frequency and damping ratio of TMD from the free vibration tests of the structure-TMD coupled system. The flowchart of the proposed method is as follows： first， the discrete state matrix is estimated by stochastic subspace identification; then， a reduced two degrees-of freedom state space model of structural controlled mode and TMD coupled system is estimated; finally， the corresponding parameters are identified from the state space estimated. Numerical analysis was studied and it indicates that： 1） the proposed method is strong in robustness， 2） and the stronger of coupling in the structure and TMD， the worse of estimation of mass ratio， but the estimation of the other parameters is of high accuracy. Experimental tests were performed on a single-story frame structure to evaluate effectiveness of the method.

Key words： parameter identification; structure and TMD coupled system; modal analysis; state space; free vibration test

作者簡介： 溫 青（1985-），男，博士，講師。 E-mail： cewenq@hnust.edu.cn