“同心協力”數學建模設計及研究

徐文軒 劉焱

摘?要：“同心協力”是一項團隊協作能力拓展項目。該項目以團隊各人員用繩牽拉同心鼓顛球，通過合格的顛球數量比拼。本文綜合數學與物理學知識建立了二階微分方程組的數學模型，來分析如何更多的顛球和即時調整，最終對模型的結果做出了誤差分析

關鍵詞：牛頓第二定律;二階微分方程組;剛體轉動定律;控制變量法

一、前言

“同心協力”活動是以團隊協作能力為核心的拓展活動，該活動是以團隊各人員用繩牽拉同心鼓顛球的過程，同心鼓的轉動可以等效為剛體的轉動，則可計算鼓的轉動慣量，然后給八人均分站位，根據其給出的數據計算出傾角大小。再以球與鼓的接觸點為坐標原點，分別以球、鼓為研究對象求出若干分鐘后穩定狀態下球下落（鼓上升）的時間、人拉繩所產生的合外力和最佳顛球高度。因此對鼓上力的大小，發力時機，顛球高度和所用的時間的細化計算尤為重要。

二、顛球高度、時間和鼓轉動傾角的理論分析

2.1模型假設

①假設球與鼓接觸時恰巧繩拉直②忽略自然風產生的外力和球與鼓接觸時產生的摩擦力③球與鼓接觸時發生彈性形變所產生間隔和時間忽略不計④不考慮能量損耗 ⑤若干分鐘后球（>=40cm）保持平穩狀態。

2.2問題一模型建立

利用牛頓第二定律建立一階非線性微分方程模型，分別以球、鼓為研究對象求出若干分鐘后穩定狀態的球下落（鼓上升）的時間、人拉繩所產生的合外力和最佳顛球高度。

本文以豎直向下為正方向，建直角坐標系，已知球下落的時間與鼓上升的時間相同。以“球在空氣中運動”的狀態將常數取值，則取空氣密度（20℃時）。垂直下落的球受到重力G、空氣浮力和空氣黏滯阻力三個力的作用，其中m M分別為球和鼓的質量，V為球的體積，為空氣阻力系數，分別為球和鼓的最大橫截面積，分別為球和鼓相對于空氣的速度。但是在計算過程中，我們求得空氣浮力約為N可忽略不計。

2.3 問題一模型計算

我們根據牛頓第二定律分別列出排球和鼓的微分方程：

根據題 “可以精確控制用力方向、時機和力度”的要求，對鼓的合外力設為45N，求得鼓位移函數為：S1與S2。利用MATLAB畫出圖1

如圖當s時符合“顛球高度0.4m以上”的要求。且“顛球次數盡可能多”則需要顛球一次所用時間越短，在相同時間內累計顛球次數就越多，所以取0.34s為一次顛球所用時間，則此時高度m。

2.4問題二模型建立

同心鼓為一剛體，不同位置的人向上拉時，鼓做剛體轉動，因為鼓為空心可假定其為一圓盤，解得同心鼓的轉動慣量J=0.216kg.m2由剛體轉動定律列出二階微分方程組：（i=1，2，3，4，5，6，7，8）?（3）

該方程組用于研究隊員發力時機、力度和某一特定時刻的鼓面傾斜角度的關系，其中變化很小，近似當做恒定值。

根據上式求得九組鼓面傾角分別為：0.6939、0.484959、1.08711、0.86352、1.14108、0.937536、0.925118、1.013865、0.461058。

在計算過程中，我們求得空氣浮力對模型影響很小，故該因素忽略不計

三、模型檢驗

以排球為研究對象，在理想狀態下忽略空氣阻力，排球做自由落體運動時所用時間為s，所以與實際相符。

本文給合外力賦值，利用MATLAB畫出與的變化關系如下圖2，由圖知F=45N時 0.3378≈0.343s。因此本文根據一階非線性方程模型求得的t=0.34s是合理的。

四、總結

承接以上問題，拋去所需的理想狀態，在現實情形中計算顛球時間和高度策略不再合適，因此根據人的發力時機、發力大小對模型的影響建立新的策略模型，使之更符合現實情形。而對于這方面的深入研究還需要進一步完善。

參考文獻：

[1]?司守奎，孫兆亮，數學建模算法與應用，北京：國防工業出版社，2018.9。

[2]?鞠衍清，垂直下落球體運動的數值分析，大學物理，第27卷第11期。

作者簡介：徐文軒，男，漢族，新疆省塔城市，1999，3，大學本科，機械設計制造及自動化專業;

劉焱，女，漢族，研究生，講師，研究方向：數學建模。

（作者單位：山東協和學院）