變式例題 引導學生探究

季新兵

摘 要：新課程改革的不斷深化，對學生的評價也隨之發(fā)生了巨變。從注重評價學生知識的掌握到注重培評價學生能力的發(fā)展。《新課程標準》指出：教學中應當有意識有計劃的設計教學活動，引導學生體會數(shù)學之間的聯(lián)系，感受數(shù)學的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力。

變式例題，是一個非常好的切入點。教師在平時的課堂教學中要讓學生多體驗數(shù)學的探究過程。教師可根據(jù)例題的特點，對例題由特殊到一般，或?qū)⒗}的條件與結(jié)論交換，或者改變例題條件，弱化條件等，引導學生作深入的探究，提高分析問題，解決問題的能力。

課堂實踐與體會

例題1：設sn是等比數(shù)列的{an}的前n項和，若s3，s9，s9成等差數(shù)列，證明a2，a8，a5成等差數(shù)列。

此題的證明比較簡單，學生大都可以獨立完成證明。將此題由特殊到一般進行變化，引導學生探究。

探究1 設sn是等比數(shù)列的{an}的前n項和，若sk，s3k，s2k（k∈N*，k≥2）成等差數(shù)列，證明ak-1，a3k-1，a2k-1成等差數(shù)列。

交換該例題的題設與結(jié)論，引導學生進一步探究

探究2 設sn是等比數(shù)列的{an}的前項和，其公比q≠1，若ak-1，a3k-1，a2k-1（k∈N*，k≥2）成等差數(shù)列，證明sk，s3k，s2k也成等差數(shù)列。

由上述兩題的證明，可引導學生進一步得出結(jié)論：

設sn是等比數(shù)列的{an}的前n項和，其公比q≠1，sk，s3k，s2k（k∈N*，k≥2）成等差數(shù)列的充要條件是ak-1，a3k-1，a2k-1成等差數(shù)列。

這一組例題的設計，先易后難，逐級而上。第一組題起點低，按課堂最低要求設計，適宜整體學生的學習水平的提升。隨著問題的一步步深入，內(nèi)容上由易變難，方法上由死變活。不斷激發(fā)學生的學習欲望，使得一部分高層次學生的知識和能力得到潛移默化的提高。

例題2、過橢圓x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的中心O作互相垂直的兩條弦，與橢圓交于點A、B。求證：1/|OA|2+1/|OB|2為定值。

變式1：雙曲線C1：2x2-y2=1與橢圓C2：4x2+y2=1，點M、N分別為C1，C2上的動點，且OM⊥ON（O為原點）。求證：點O到直線MN的距離為定值。

變式2、雙曲線2x2-y2=1，設斜率為k的直線l交雙曲線于P、Q兩點，若直線l與圓x2+y2=1相切，求證：∠POQ為定值。

通過例（2），學生掌握解題規(guī)律、方法，并把它運用到變式1變式2同一類題目的解決過程，使解題方法得到遷移，形成技能技巧。

例題3：已知拋物線y2=2px（p>0），O為坐標原點，過點（2p，0）作直線與拋物線交與A，B兩點，求證：OA⊥OB。

該題學生只要正確設直線方程，證明OA⊥OB即可。屬于基礎(chǔ)題。

探究1：已知拋物線y2=2px（p>0）過其頂點O做兩條弦OA，OB，交拋物線于A，B兩點，使得kOA·kOB=-1，試證明直線AB過定點。

探究2：若將點O改為過拋物線上任一點P（x0，y0），作兩條互相垂直的弦PA，PB，則直線AB是否過定點？

探究3：如果將條件改為過拋物線頂點，作兩條弦OA，OB，使得kOA·kOB=m，m為非零常數(shù)，則直線AB是否過定點？

探究4：更一般化，將條件改為過拋物線上任一點P（，）作兩條弦PA，PB，使得kPA·kPB=m，m為非零常數(shù)，則直線AB是否過定點。

探究1：過定點（2p，0）? ? ? ? ? 探究2：過定點（2p+x0，-y0）

探究3：過定點（-2p/m，0）? ? 探究4：過定點（-2p/m+x0，-y0）

這一組例題，既有聯(lián)系，又有區(qū)別。學生做完這一組習題后，引導學生反思一下，到底解題關(guān)鍵是什么，自己的障礙和困難在哪里。有哪些收獲。進一步引導學生觀察，比較揭示隱藏在這一組習題中的一般方法，推廣為同一類對象的普遍性質(zhì)，揭示解題規(guī)律，提高分析、探索能力和創(chuàng)新能力。

變式例題，加大了課堂容量，提高了課堂效率，使各個層次的學生都有所提高。通過對例題進行多角度、多方面的變式探索研究，有意識的引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，不僅能加深學生對概念的理解，形成完整的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學生舉一反三，觸類旁通的變通能力，促進知識的遷移。還能提高學生學習數(shù)學的興趣，激活個人的智慧，鍛煉學生的思維能力和創(chuàng)造能力。

參考文獻：

[1]《一道例題的變式探究》 作者 黃傳峰? ?新課程研究教師教育2013年第4期.