教室座位問題的建模分析

李文秀

摘要：教室座位在很大程度上影響著學生的聽課效率和學習狀態，對于聽課學生有著重要的現實意義。而同一教室內的不同座位的視覺效果有著較大的區別。本文旨在以高中生教室為研究對象，量化視角與仰角對學生視覺效果的影響，建立離散加權模型，通過滿意度函數得到教室中不同座位的滿意度。

Abstract： The classroom seating greatly affects the students' efficiency and learning status， which has important practical significance for the students. The visual effects of different seats in the same classroom are quite different. This thesis aims to study the influence of perspective and elevation angle on students' visual effects， establish a discrete weighted model， and obtain the satisfaction of different seats in the classroom through the satisfaction function.

關鍵詞：數學建模;教室座位;滿意度函數

Key words： mathematical modeling;classroom seating;satisfaction function

中圖分類號：O242.1;F830.9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）25-0231-03

1? 問題重述

已知學生對教室座位的滿意程度主要取決于視角？琢和仰角？茁。視角是學生眼睛到黑板上下邊緣的視線的夾角，越大越好;仰角是學生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，會引起不適，一般要求仰角？茁不超過30°。

設教室的黑板高為h，黑板上邊緣距離地面高為H，第一排和最后一排與黑板的水平距離分別為d、D，學生的座高為l（指眼睛到地面的距離）。已知參數h=1.50，H=2.60，d=1.96（單位m）。

求解以下問題：

①座高l=1.20m的學生的最佳座位在何處？

②假設學生的平均座高為l=1.20m，求每一排座位的滿意度。

2? 問題分析

學生對座位的滿意程度主要取決于聽課時的視角和仰角，而最佳位置就是要綜合考慮這兩個因素，使學生對座位的滿意程度達到最大。本文通過對視角？琢和仰角？茁取權重，從而建立滿意度函數。

問題一，以座高1.20m的學生為例，求出最佳座位所在，即需要求出滿意度函數最大值，建立離散加權的函數模型并求解;

問題二，在對問題一中的滿意度模型進行計算和分析后，對原有的滿意度模型進行優化，再求出每一排座位對應的滿意度。

為了更好地分析和求解問題，本文作出如下假設。

3? 模型假設

①忽略因視力、光線等其他因素影響學生的滿意度;

②學生對座位的仰角的滿意程度呈線性;

③學生對座位的視角的滿意程度呈線性;

④相鄰兩排座位間的間距相等，為x0=1.12m;

⑤所有學生的座位等高，為平均座高l=1.20m。

4? 符號說明

符號說明見表1。

5? 模型的建立與求解

5.1 問題一

針對問題一，考慮座高為1.20m的學生在教室里的最佳座位。視角越大越好，仰角不能超過30度。綜合考慮視角與仰角的影響，分步建立滿意度模型。

5.1.1 模型Ⅰ的建立：在仰角滿足條件的情況下，學生滿意度只取決于視角

如圖1所示。

由圖1可得

代入，解得最大視角為？琢=33.0549°，仰角為？茁=30°，x=0.50114m。考慮教室的實際情況，每排座位的間距為1.12m，所以現實中對應的最佳座位應該是第二排座位。此時，視角為？琢=26.3036°，仰角為？茁=24.444°，x=1.12m，與黑板的距離為3.08m。

5.1.3 模型Ⅱ的建立：離散加權模型

以模型Ⅰ所得結果為基礎，在仰角不超過30°的范圍內，量化計算仰角與視角對學生座位滿意度的影響。每排座位前后間距為x0=1.12m。

對模型Ⅰ進行修正，將座位連續情況離散化可以得到：

學生對座位的滿意度受到視角和仰角這兩個因素的影響。對每一排座位的視角和仰角，運用極值化法進行無量綱化。對于第k排座位，建立學生對視角？琢、仰角？茁的滿意度函數如下：

式中？琢k，？茁k為第k排座位上學生視角和仰角，？琢max，？茁max表示最優滿意度，？琢min，？茁min表示最差滿意度。

設視角？琢、仰角？茁在綜合滿意度Sk中的權重分別為c？琢，c？茁建立第排座位綜合滿意度函數如下：

根據模型Ⅰ，通過計算可以得出

主觀給定權重C？琢=0.6，C？茁=0.4。根據模型，得到：

所以優化模型為：

5.1.4 模型Ⅱ的求解

為求解過程中表達簡便，不妨設當x 單調遞增時，（1.96+x）單調遞增，S的分子部分單調遞減，S的分母部分單調遞增，所以S單調遞減。因此當x取最小值時，S最大。

可得當x=kx0=1.12m時，最大滿意度為S=0.529597，視角為？琢=26.3036°，仰角為？茁=24.4440°，最佳位置離黑板的水平距離為3.08m。

5.1.5 小結

在求解問題一過程中，我們通過兩個階段中逐步深入的探究，對仰角和視角數據無量綱化處理并主觀給定了權重，建立了非線性離散加權模型。最后結論是座高為1.20m的學生的最佳座位應該是第二排座位。然而，我們在求解過程中發現了一些問題：人為給定權重缺乏一定的科學性;計算得到的滿意度函數具有單調遞減性，使得只要在滿足仰角范圍內座位越往前滿意度越大;等等。因此，在問題二中，我們將對原有的離散加權模型進行修改，使得對教室座位滿意度的分析計算更加科學嚴謹、符合實際。

5.2 問題二

一般情況下，公認的仰角范圍是不超過30°。然而當下國內高中生每天處于高強度學習狀態中，上課時間可以達到8至10節課。若長時間處在較大仰角的抬頭狀態，對于身體健康有著較大的危害。因此，我們在問題二中將仰角標準調整為20°，即仰角為20°時為最佳狀態。另一方面，我們對視角和仰角數據進行一致化處理，即都轉化為極大型數據，然后再通過變異系數法算出視角和仰角分別的權重系數，從而得到一個更完善的離散加權模型。

5.2.1 模型Ⅲ的建立：優化后的離散加權模型根據題意得于是可得6排座位分別對應的？琢和？茁值，結果見表1。

由題意得，？琢為極大型數據，？茁為中間型數據，我們將數據統一轉化為極大型數據： 。

由表4可得出結論，對于座高為1.20m的學生，最佳座位應該是第3排。

6? 模型的評價與推廣

6.1 模型的評價

優點：本文在問題一中建立了離散加權模型之后，又在問題二中運用極值化法、變異系數法對原有的離散加權模型進行了優化，得到了不同的各排座位滿意度數據，從而使結論更加符合實際，使探究過程更具有說服力。

不足：本文在分析座位滿意度時也忽略了一些其他因素，比如同一排座位不同位置的角度不同、前排學生可能擋住后排學生等等。這是本文的不足之處。

6.2 模型的推廣

本文的探究對于教室座位的設計有著重要的意義。設計教室時，應該充分考慮黑板高度、第一排到黑板距離、每排間距、凳子的高度等因素，從而使整體座位的滿意度趨向于最大。同時，本文中的建立滿意度模型的方法在設計影院、報告廳等過程中都能夠提供很好的參考作用。

參考文獻：

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