準靜態(tài)下輪對脫軌安全限值研究

王 健，王 平，馬道林，馬曉川，徐井芒

(1.中國鐵路設計集團有限公司 線站院，天津 300308；2.西南交通大學 高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031)

自鐵路運輸誕生以來，列車脫軌事故便一直是威脅鐵路運輸安全的最主要因素，列車脫軌不僅給社會發(fā)展帶來嚴重的損失，還威脅乘客的生命和財產(chǎn)安全。鐵路的高速化和重載化發(fā)展，使得對列車脫軌問題的研究愈發(fā)重要。1896年，法國科學家Nadal根據(jù)庫倫摩擦定律，推導準靜態(tài)條件下車輪出現(xiàn)爬軌趨勢時接觸點的受力平衡條件，并提出著名的Nadal脫軌評判準則[1]，被世界許多國家鐵路部門推廣，并一直沿用至今。但是，隨著世界鐵路的快速發(fā)展，脫軌事故仍時有發(fā)生，車輛脫軌機理至今沒有得到充分的解釋[2]。

文獻[3]采用蠕滑理論重新推導車輪脫軌臨界狀態(tài)下的受力平衡條件，指出Nadal脫軌準則在小沖角下有一定的保守性。文獻[4]通過對大量脫軌事故的調查和研究，認為將輪對兩側車輪脫軌系數(shù)之和作為評判車輪爬軌的準則更加合理。文獻[5]研究摩擦系數(shù)和輪軌沖角對車輪爬軌的影響，認為脫軌系數(shù)超限距離對車輪爬軌有重要的影響，而脫軌系數(shù)超限持續(xù)時間則對車輪爬軌影響不大。文獻[6-7]通過建立準靜態(tài)下車輪脫軌的三維模型，較全面地考慮了輪軌間的蠕滑作用及輪軌沖角對車輪脫軌的影響。國內(nèi)，文獻[8]在單輪對試驗臺上模擬輪對脫軌的過程，認為輪軌沖角和輪重減載對車輪脫軌有較大影響。文獻[9]通過輪對脫軌試驗研究車輪的脫軌過程以及脫軌過程中輪軌接觸狀況和車輪懸浮量的變化。文獻[10]通過等效摩擦系數(shù)替代摩擦系數(shù)的方式對Nadal脫軌系數(shù)進行改進，并給出等效摩擦系數(shù)的計算方法。文獻[11]在Nadal準則的基礎上，研究輪重減載對輪對脫軌的影響。文獻[12-13]分析脫軌過程中輪對的三維受力平衡條件，提出同時考慮輪軸脫軌系數(shù)和輪重減載率的脫軌評判準則。此外，文獻[14-15]將車輛能量隨機分析理論應用于脫軌分析中，給脫軌問題的研究帶來了新的思路。文獻[16-17]基于車輛-軌道耦合動力學理論，提出將車輪抬升量作為車輪脫軌的評價標準。

本文基于準靜態(tài)下三維輪對脫軌分析模型，推導輪對脫軌臨界狀態(tài)下的力學平衡方程，建立輪對穩(wěn)態(tài)脫軌的評價方法。采用非線性蠕滑理論充分考慮輪軌蠕滑力及摩擦系數(shù)對輪對脫軌安全限值的影響，并與文獻[13]計算結果進行對比。

1 準靜態(tài)下輪對脫軌分析模型

1.1 輪軌系統(tǒng)坐標系

輪軌接觸關系是耦合車輪與鋼軌的紐帶，而建立輪軌系統(tǒng)坐標系是確定輪軌關系的基礎。如圖1所示，建立軌道坐標系(OtXtYtZt)、輪對坐標系(OwXwYwZw)及輪軌接觸點坐標系(OlXlYlZl和OrXrYrZr)。軌道坐標系固結于軌道中心線，并以一定速度v沿軌道中心線移動；輪對坐標系固結于輪對質心位置，隨輪對一起運動，其相對軌道坐標系有平移及轉動自由度；接觸點坐標系固結于輪軌接觸斑中心位置，并隨輪對一起運動。

根據(jù)圖1，輪對坐標系至軌道坐標系間的變換關系為

(1)

式中：ψ為輪對搖頭角；φ為輪對側滾角。

左右兩側輪軌接觸斑坐標系至輪對坐標系間的變換關系為

(2)

式中：δl，r為輪對左右側車輪的接觸角。

將式(2)代入式(1)，接觸點坐標系與軌道坐標系間的變換關系為

(3)

式中：Al，r為坐標系轉換矩陣

考慮到ψ、φ較小，則Al，r可以化簡為

(4)

1.2 準靜態(tài)條件下輪對脫軌安全限值

輪對穩(wěn)態(tài)脫軌的臨界狀態(tài)下，左右兩側輪軌接觸斑受力如圖2所示，其中左輪為踏面接觸，右輪為輪緣接觸。圖2中，F(xiàn)l、Fr、Ql、Qr、Pl、Pr分別為軌道坐標系下兩側車輪作用于接觸斑的縱向力、橫向力及垂向力；Txl、Txr、Tyl、Tyr、Nl、Nr分別為接觸斑坐標系下兩側鋼軌作用于接觸斑的縱向蠕滑力、橫向蠕滑力及法向力。

(a)左輪軌 (b)右輪軌

準靜態(tài)條件下，根據(jù)接觸斑坐標系與軌道坐標系的關系以及輪軌接觸斑受力平衡條件，有

(5)

將式(4)代入式(5)，可以得到左右兩側車輪的脫軌系數(shù)(橫向力與垂向力的比值)

(6)

(7)

由于輪對側滾角φ較小，若忽略φ則式(6)、式(7)可以進一步簡化為

(8)

(9)

當δr為最大輪緣接觸角時，式(9)即為準靜態(tài)條件下車輪三維脫軌系數(shù)臨界值的計算式，其在Nadal公式的基礎上考慮了輪對搖頭及切向力的影響，避免了輪軌間小沖角及負沖角時Nadal公式過于保守的影響。然而，脫軌系數(shù)雖然是評價車輛脫軌安全性的最基本指標，但僅依靠脫軌系數(shù)來判定安全性卻并不充分。一方面，當垂向力較小時，使用該垂向力與對應橫向力計算得到的脫軌系數(shù)很容易達到脫軌限界值；另一方面，在脫軌系數(shù)的實際測量中，當輪重減載較大時與其對應的橫向力一般也較小，計算脫軌系數(shù)時輪軌垂向力和橫向力測量誤差的影響較大，難以得到較準確的脫軌系數(shù)。文獻[18]指出，根據(jù)多次線路試驗，輪重減少得越多越容易導致列車脫軌。因此，一些國家除采用脫軌系數(shù)外，還提出了將輪重減載率作為車輛脫軌的評價標準。

根據(jù)輪重減載率的定義，假設輪緣接觸側車輪輪重為減載，則輪對兩側車輪輪載與輪重減載率間的關系為

(10)

式中：P0為車輪靜輪重，即為靜軸重的一半；ΔP為車輪輪重變化量；ΔP/P0為輪重減載率。

準靜態(tài)條件下，為保證車輪不脫軌，輪對橫向受力需滿足

H≤Qr-Ql

(11)

式中：H為輪軸橫向力。將式(8)～式(10)代入式(11)，可以得到

(12)

定義H/P0為輪軸脫軌系數(shù)，其為輪軸橫向力與車輪靜輪重的比值或輪軸橫向力與輪對靜軸重比值的2倍，由于輪對靜軸重為定值，其實質是規(guī)定了輪對在脫軌臨界狀態(tài)下，保證輪對不發(fā)生爬軌脫軌和滑軌脫軌所需要的最大輪軸橫向力的限值。脫軌臨界狀態(tài)下的輪軌接觸參數(shù)已知時，便可以求得輪對兩側車輪的脫軌系數(shù)，通過式(12)可建立采用輪軸脫軌系數(shù)及輪重減載率雙重指標對輪對脫軌安全性進行評價的統(tǒng)一公式。同時，當輪軸脫軌系數(shù)和輪重減載率滿足式(12)時，稱為輪對脫軌的安全域，如圖3所示。

圖3 輪對脫軌安全限值與脫軌安全域

目前，傳統(tǒng)的脫軌評價指標主要有三種：脫軌系數(shù)、輪重減載率及輪軸橫向力。輪重減載率和脫軌系數(shù)主要是用來評價車輛爬軌脫軌和滑軌脫軌的安全性，而傳統(tǒng)輪軸橫向力則主要是評價軌道結構的橫向穩(wěn)定性及是否會發(fā)生軌排橫移或鋼軌傾覆，這與本文所論述的最大輪軸橫向力限值的含義有所不同。本文假定軌道結構承載能力能夠滿足要求，主要考察輪軸橫向力是否會引起車輪爬軌脫軌或滑軌脫軌的發(fā)生，當需要考慮軌道結構的橫向穩(wěn)定性及承載能力時，需比較本文所述的最大輪軸橫向力限值和滿足軌道結構橫向穩(wěn)定性及承載能力的輪軸橫向力限值，取二者較小值作為安全性評價標準。

2 輪軌蠕滑模型

輪軌蠕滑模型包括輪軌蠕滑率和蠕滑力計算兩部分，其直接影響車輪脫軌系數(shù)的計算結果，對輪對脫軌安全域的求解至關重要。

2.1 輪軌蠕滑率

準靜態(tài)條件下，忽略輪軌運動速度及加速度，輪軌蠕滑率可通過式(13)計算[19]。

(13)

式中：ξx(l，r)、ξy(l，r)、ξs(l，r)分別為左右側輪軌接觸斑內(nèi)的縱向蠕滑率、橫向蠕滑率及自旋蠕滑率；rl，r為左右側輪軌接觸點處實際滾動圓半徑；r0為車輪的名義滾動圓半徑。由式(13)可知，準靜態(tài)條件下的蠕滑率只與輪軌接觸幾何參數(shù)有關。

2.2 輪軌蠕滑力

得到車輪脫軌臨界狀態(tài)下的蠕滑率后，便可計算輪軌接觸斑內(nèi)的蠕滑力。文獻[13]認為在輪對脫軌臨界狀態(tài)下，輪對兩側輪軌接觸斑為全滑動狀態(tài)，同時忽略自旋蠕滑率對橫向蠕滑力的影響，根據(jù)庫倫摩擦定律得到縱向蠕滑力和橫向蠕滑力的計算式。

(14)

將式(14)代入式(12)便可確定輪對脫軌安全限值與脫軌安全域的計算公式

(15)

文獻[20]指出在輪緣接觸時自旋蠕滑率對橫向蠕滑力有明顯影響，其值可達到橫向蠕滑率的70%，在車輪脫軌分析中不可忽略。因此，本文根據(jù)Kalker線性蠕滑理論[21]建立可考慮自旋蠕滑率影響的蠕滑力計算模型，根據(jù)Shen-Hedrick-Elkins非線性蠕滑模型[20]對蠕滑力進行修正，使蠕滑力飽和后滿足庫倫摩擦定律。

根據(jù)Kalker線性蠕滑理論，蠕滑力與蠕滑率存在如下關系

(16)

Kalker線性蠕滑力模型假設接觸斑內(nèi)無相對滑動，沒有考慮接觸斑在大蠕滑甚至全滑動狀態(tài)下需滿足庫倫摩擦定律的條件，僅在小蠕滑情況下適用。沈志云等在其基礎上采用式(17)對線型蠕滑力進行了修正，即

(17)

(18)

Tr=

(19)

由上述分析可知，當輪軌接觸參數(shù)已知時，蠕滑力大小只與法向力有關，想求得蠕滑力需先計算輪軌法向力。由式(5)中接觸點垂向受力平衡可以得到

Ty(l，r)Nl，r(φcosδl，r±sinδl，r)-

Nl，r(cosδl，r?φsinδl，r)+Pl，r=0

(20)

忽略側滾角后，可以得到

±Ty(l，r)Nl，rsinδl，r-Nl，rcosδl，r+Pl，r=0

(21)

給定輪軌垂向力P時，可通過式(21)迭代求解得到輪軌法向力，進而得到蠕滑力。

3 算例分析

為對比文獻[13]計算方法與本文計算方法的差異，以我國某型動車組所采用的LMA車輪踏面和60 kg/m標準鋼軌廓形為例，分別計算輪對脫軌的安全限值，具體計算參數(shù)見表1。

表1 輪軌接觸參數(shù)

注：σ為泊松比；Rwl、Rwr為車輪接觸點處型面的曲率半徑；Rtl、Rtr為鋼軌接觸點處型面的曲率半徑。

圖4給出了脫軌臨界狀態(tài)下文獻[13]與本文計算橫向蠕滑力的對比。由圖4(a)可知，在踏面接觸側，文獻[13]與本文計算結果基本重合，說明自旋蠕滑率對橫向蠕滑力的影響較小，這主要是由于踏面接觸時接觸點處的接觸角較小。由圖4(b)可知，在輪緣接觸側，輪對正搖頭角較小時本文所計算得到的橫向蠕滑力比文獻[13]結果大，而在負搖頭下，本文計算得到的橫向蠕滑力比文獻[13]結果小。此外根據(jù)圖4(b)中在輪緣接觸側兩種方法計算的橫向蠕滑力比值來看，在搖頭角為-0.5°～0.5°范圍內(nèi)，二者比值最大可達到5，最小時趨于0，進一步說明在輪緣接觸側的蠕滑力計算中不能忽略自旋蠕滑率的影響。

(a)踏面接觸側

(b)輪緣接觸側

由圖4(b)還可以看出，輪緣接觸側橫向蠕滑力的方向與輪對搖頭角有關。如圖5所示，當輪對搖頭角為正時(輪軌間沖角為正)，輪緣接觸點有一定的超前，造成接觸點的速度與車輪脫軌方向相反，則橫向蠕滑力與車輪脫軌方向相同(為正值)，對車輪脫軌有促進作用，這種脫軌方式稱為爬軌脫軌。如圖6所示，當輪對搖頭角為負時(輪軌間沖角為負)，輪緣接觸點有一定的滯后，造成接觸點的速度與車輪脫軌方向相同，則橫向蠕滑力與車輪脫軌方向相反(為負值)，對車輪脫軌有阻礙作用，這種脫軌方式稱為滑軌脫軌。

(a)俯視圖

(b)車輪側視圖

(a)俯視圖

(b)車輪側視圖

將文獻[13]與本文計算的輪軌蠕滑力和法向力代入式(8)和式(9)，可以得到輪對脫軌臨界狀態(tài)下兩側車輪的脫軌系數(shù)，如圖7所示。

由圖7可知，兩種蠕滑力計算方法計算得到的兩側脫軌系數(shù)變化規(guī)律基本一致。由于輪緣接觸側車輪的接觸角較大，文獻[13]在蠕滑力計算中忽略了自旋蠕滑率對橫向蠕滑力的影響，造成采用文獻[13]計算得到的脫軌系數(shù)較本文計算結果偏大，尤其是在正搖頭角較小和負搖頭角情況下，兩者差異較明顯。從踏面接觸側車輪的脫軌系數(shù)來看，兩種方法計算結果基本相同。

(a)輪緣接觸側車輪(右輪)脫軌系數(shù)

(b)踏面接觸側車輪(左輪)脫軌系數(shù)

將圖7中輪對不同搖頭角情況下兩側車輪的脫軌系數(shù)計算結果代入式(12)，可以得到輪對脫軌安全限值及脫軌安全域，如圖8所示。

圖8 不同搖頭角下輪對脫軌安全限值與脫軌安全域

由圖8可知，輪對搖頭角相同條件下，本文計算得到的輪對脫軌安全域比采用文獻[13]方法計算得到的輪對脫軌安全域小。這主要表現(xiàn)在兩個方面，一方面是本文計算得到的輪對脫軌安全限值線的斜率絕對值小于文獻[13]結果；另一方面，當輪重減載率為0時，本文計算得到的輪軸脫軌系數(shù)限值也小于文獻[13]結果。此外，二者之間的差異與輪對搖頭角密切相關，當輪對搖頭角為正時，二者之間的差異隨著搖頭角的增加而減??；當輪對搖頭角為負時，二者之間的差異隨著搖頭角的增加而增大。

由圖8還可以看出，隨著輪重減載率的增加，輪軸脫軌系數(shù)限值隨之減小，說明輪重減載大更容易引起車輛脫軌。此外，輪對的脫軌安全域還與輪對搖頭角有密切關系，當搖頭角為正時，搖頭角越大，輪對脫軌安全域越小，越容易發(fā)生脫軌；而搖頭角為負時，搖頭角越大，輪對脫軌安全域越大，脫軌風險越小。這主要是由于正搖頭角下，右側車輪為爬軌脫軌，橫向蠕滑力有幫助車輪脫軌的作用；而負搖頭角下，右側車輪為滑軌脫軌，橫向蠕滑力對車輪脫軌有阻礙作用。

通過上述分析可知，由于文獻[13]在蠕滑力計算中忽略了自旋蠕滑率的影響，相同輪重減載率情況下，其計算得到的輪軸脫軌系數(shù)限值偏大，若以此作為脫軌安全性評價標準則較為寬松，可能會對車輛脫軌的評價產(chǎn)生不利影響。

輪軌間摩擦系數(shù)對輪對脫軌安全限值及脫軌安全域的影響如圖9、圖10所示。從圖9、圖10可以看出，當輪對搖頭角為正時(爬軌脫軌)，降低兩側輪軌間的摩擦系數(shù)，均可以增大輪對脫軌安全限值及脫軌安全域，對行車安全性有利；當輪對搖頭角為負時(滑軌脫軌)，降低兩側輪軌間的摩擦系數(shù)尤其是輪緣接觸側摩擦系數(shù)，反而會減小輪對脫軌安全限值和脫軌安全域。

(a)踏面接觸側

(b)輪緣接觸側

(a)踏面接觸側

(b)輪緣接觸側

圖11為摩擦系數(shù)為0.1時輪對搖頭角取0.5°和-0.5°的對比結果。雖然在相同輪重減載率下ψ=-0.5°時要明顯大于ψ=0.5°時的輪對脫軌安全域限值，但是車輪爬軌脫軌和滑軌脫軌屬于不同的脫軌機制，本文不建議在相同輪重減載率下比較。ψ=-0.5°、輪重減載率為0.5的情況下，其輪軸脫軌系數(shù)便達到了ψ=0.5°、輪重減載率為0的輪軸脫軌系數(shù)限值；當ψ=-0.5°、輪重減載率在0.5～1.0范圍時，輪軸脫軌系數(shù)限值便與搖頭角為0.5°、輪重減載率在0～0.6情況下的幅值相當，輪對亦會有發(fā)生爬軌脫軌的可能。因此，降低輪軌間的摩擦系數(shù)對車輛脫軌安全性有利有弊，輪軌間過低的摩擦系數(shù)也可能引發(fā)車輛脫軌，在確定合理的輪軌摩擦系數(shù)時應注意權衡車輪爬軌脫軌與滑軌脫軌。

圖11 μ=0.1時輪軸脫軌系數(shù)限值對比

4 結論

(1)本文通過建立準靜態(tài)條件下車輪脫軌臨界狀態(tài)的力學模型，將脫軌系數(shù)與輪重減載率耦合在一起，提出了將輪軸脫軌系數(shù)和輪重減載率共同作為輪對脫軌安全性評價的統(tǒng)一指標，簡化了車輛脫軌的評價方法。同時，該指標引入了輪對搖頭角對車輛脫軌的影響，可以避免Nadal脫軌準則在小沖角及負沖角情況下太過保守的影響。

(2)本文采用非線性蠕滑理論充分考慮了輪軌蠕滑力及摩擦系數(shù)對輪對脫軌安全限值的影響，并與文獻[13]計算結果進行了對比，結果表明自旋蠕滑率對輪對脫軌安全限值與安全域影響明顯；忽略自旋蠕滑率，將使計算得到的輪對脫軌安全限值偏大，若以此作為脫軌安全性評價標準則較為寬松，可能會對車輛脫軌的評價產(chǎn)生不利影響。

(3)降低輪軌間的摩擦系數(shù)對車輛脫軌安全性有利有弊，輪軌間過低的摩擦系數(shù)也可能引發(fā)車輛脫軌，在確定合理的輪軌摩擦系數(shù)時應注意權衡車輪爬軌脫軌與滑軌脫軌。

(4)在實際應用中，本文提出的車輛脫軌評價方法除利用傳統(tǒng)脫軌評價指標中的輪重減載率及輪軸橫向力測試結果外，還需對輪對搖頭角進行測試，因此需對輪對搖頭角的在線測試技術開展進一步研究。

(5)本文以軌道結構承載能力能夠滿足要求的假設為基礎，主要關注車輪的爬軌脫軌和滑軌脫軌，未考慮輪軸橫向力作用對軌排橫移或鋼軌傾覆的影響。當需要考慮軌道結構的橫向穩(wěn)定性及承載能力時，需比較本文所述的最大輪軸橫向力限值和滿足軌道結構橫向穩(wěn)定性的輪軸橫向力限值，將較小者作為安全性評價標準。