“對稱與群”教學案例

劉永瑞

一、課程開發方案

1.開設緣由。

首先，課程“對稱與群”是近代代數學分支，概念豐富抽象，數學符號語言較多，開設這門課程可鍛煉學生閱讀數學語言、理解數學抽象概念的能力。

其次，群論是19 世紀才逐步發展起來的近代數學理論，相對于中學數學知識而言要“先進”很多，選修這門課程的學生能通過這扇窗戶了解到一些近代數學的概念和公理化體系，有利于擴展學生的數學視野，有利于提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。

基于以上考慮分析，以人教版選修3-4 教材“對稱與群”為參考，結合校本的實際情況，用講座的方式開設這門課程。

2.課時設計。

本課程共安排6 講12 課時。課程實施過程中，可以根據實際情況調節具體進度、增減章節。這6 講課程的具體內容見下表。

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二、課程實施案例展示

下面以“平面剛體運動的定義”這一內容為例，展示教學過程。

1.情景引入。

觀察我們身邊的事物，可以發現，對稱是現實世界和日常生活中大量存在的現象，蝴蝶的翅膀、昆蟲的觸角、飛機的機身都有軸對稱性。

“對稱”是一種非常普遍的自然現象，它在物理學、化學和生命科學中得到廣泛的研究和應有；同樣地，在數量關系、空間形式中“對稱”現象也大量存在，因而它也是數學研究的重要對象，對其的研究成果形成了系統的數學理論。

2.構建概念。

定義1：如果一個平面圖形沿著平面上一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線稱為它的對稱軸。

定義2：把一個平面圖形繞平面上某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點稱為對稱中心。

對“對稱性”的研究常常可以使我們加深對物體性質的認識，在我們的課程中，將借助新的數學概念來研究各種各樣的“對稱性”，介紹關于“對稱”的數學理論。

（1）反射變換的定義。現在我們換個角度來考察剛才的定義1 和定義2。我們知道一個平面可以看成是點的集合，就像我們把直線看成點的集合一樣，設α 是一個由平面內的所有點組成的集合，l 是這個平面內的一條直線，定義點集α 到其自身的一個映射r：P→P′，其中r 把平面α 內的任意一點P 映到關于直線l 的對稱點P′，我們把這個映射稱為平面α 關于直線l的反射（reflection）。

（2）變換觀念下看軸對稱圖形。可以知道，在反射變換r 的作用下，平面α 內的點被映到點，平面α 內的圖形被映到與它全等的圖形，這時，如果一個圖形在映射r 的作用下仍與原來的圖形重合，我們就稱這個平面圖形是一個軸對稱圖形。

那么，如何用變換的觀念看中心對稱圖形呢？

（3）變換觀念下看中心對稱圖形。180°旋轉變換：設α 是一個由平面內的所有點組成的集合，O 是平面α 內的一個固定點，定義點集α 到其自身的一個映射ρ：P→P′，ρ 把平面α 內的任意一點P 繞點O 旋轉180°后映到點P′，這個映射稱為以點O 為中心的180°旋轉（rotation）。

一般地，如果一個平面圖形在映射ρ 的作用下仍與原來的圖形重合，我們就稱這個圖形是一個中心對稱圖形。

思考題：按著這個定義，平行四邊形、正六邊形、圓都是中心對稱圖形嗎？這個定義與前面的定義2 等價嗎？

（4）旋轉變換與恒等變換。我們可以對以O為中心旋轉180°的旋轉進行推廣：表示平面內以一個固定點P 為中心轉任意給定角度的旋轉，這樣定義的映射在數學上稱為旋轉變換。旋轉角度為0°的旋轉變換把平面上的所有點映到它自身，這個映射使整個平面上的每個點都保持不動，所以稱為恒等變換（identity transformation）。

提煉：可以發現反射變換和旋轉變換有一個共同點——保距性，即對于平面內的任意兩點P 和Q，在變換的作用下得到點P′和Q′，滿足|PQ|=|P′Q′|，借用物理學中的名詞，我們把這類“保持距離不變”的映射稱為平面剛體運動。

（5）平面剛體運動的概念。定義：設α 是一個平面，映射m：平面α→平面α 是一個一一映射，若m 保持平面α 內任意兩點間的距離不變，則稱m 是一個平面剛體運動（the rigidmotion of the plane）。

3.課后思考問題。

尋找身邊有趣的平面剛體運動的例子，并用代數語言解釋描述。