底水油藏高含水期油水兩相水平井產能預測

孫恩慧，楊 威，汪 巍，李 博，郭敬民

（中海石油（中國）有限公司天津分公司渤海石油研究院，天津 300452）

水平井的產能是確定水平井合理工作制度的重要參數，目前，水平井廣泛用來開采底水油藏，如何預測底水油藏水平井產能顯得格外重要。很多學者提出了水平井的產能預測公式[1-14]，主要基于單相流體地下穩定滲流理論的基礎之上，對于底水油藏，當油井產水后，滲流出現了油水兩相流動，產水對水平井產能產生很大的影響，該因素的影響不能忽略。一些學者研究了產水對水平井產能的影響[15-20]，主要依靠油水相對滲透率比與含水飽和度指數式的線性關系，結合Darcy 方程，得到預測底水油藏水平井產能公式，但生產進入高含水期開發階段，油水相對滲透率比與含水飽和度指數式不再呈線性關系，因此，推導的水平井產量公式不合適預測高含水期的水平井產能。

本文以水平井油水兩相的滲流原理為基礎，把水平井滲流區域分為水平平面和垂直平面2 個區域，運用保角變換原理，結合高含水期新的油水相滲表征關系，獲得高含水期下油水兩相水平井產能公式，可為水平井的產能預測及動態分析提供新的研究思路。

1 底水油藏水平井油水兩相產能公式的推導及求解

1.1 底水油藏水平井油水兩相產能公式的推導

假設一口水平井位于均質、等厚的底水油藏中，流動符合達西定律，油水互不相溶，忽略重力及毛管力的影響。

文獻[16，17]中將水平井的滲流區域分成兩個區域：（1）流體在水平平面上的橢圓滲流；（2）流體在垂直平面上的徑向滲流。再利用水電模擬原理，獲得油水兩相水平井產能公式。

1.1.1 水平平面滲流區域 假設滲流橢圓長半軸為a，短半軸為b，水平井長度為L，引入儒柯夫斯基變換，把長半軸為a，短半軸為b 的橢圓形區域轉化為半徑為的圓形區域，將線段轉化為單位圓周（見圖1）。

圖1 水平平面保角變換關系Fig.1 Horizontal plane conformal transformation figure

根據文獻[16]，得到水平井在水平平面的產油量為：

式中：Qoh-水平井在水平平面的產油量，m3/s；fw-含水率，%；Kh-儲層水平滲透率，mD；h-油藏厚度，m；ψi、ψwf-地層壓力和井底流壓下的油水兩相擬壓力函數：ψi=；pi-地層壓力，MPa；pwf-井底流壓，MPa；Kro-油相滲透率；Krw-水相滲透率；Bo-油的體積系數；Bw-水的體積系數；μo-原油的黏度，mPa·s；μw-水的黏度，mPa·s；a-長半軸的長度，其中；reh-泄油半徑，m。

圖2 垂直平面保角變換關系Fig.2 Vertical plane conformal transformation figure

根據文獻[16]，水平井在垂直平面的產油量為：

式中：Qov-水平井在垂直平面的產油量，m3/s；fw-含水率，%；Kv-儲層垂直滲透率，mD；h-油藏厚度，m；ψi、ψwf-地層壓力和井底流壓下的油水兩相擬壓力函數；L-水平井長度，m；rw-井筒半徑，m。

應用電模擬概念，得到油水兩相條件下水平井的產油量為：

轉為礦場實際單位：

式中:Qo-水平井產油量，m3/d；β-儲層各向異性系數，β=。

公式（4）即為底水油藏油水兩相的水平井產能公式。

1.2 產能公式的求解

由式（4）看出，要計算油水兩相水平井產能公式，關鍵是擬壓力函數ψi和ψwf的求解。由ψi和ψwf的計算公式dp 可知，假設不考慮Bo（P）的變化，水的各參數變化很小，可以忽略，此時只需要知道Kro、Krw與壓力P 的關系式，便可通過數值積分得到ψi和ψwf。

根據理論達西穩態公式有：

水平井進入高含水期，含水飽和度大于0.8 后，傳統的油水相對滲透率比與含水飽和度半對數曲線不再呈線性關系（見圖3）。

圖3 特高含水期相對滲透率比與含水飽和度關系Fig.3 The relation between relative permeability ratio and water saturation in the high water cut stage

筆者對傳統的公式修正，定義新的油水相滲表征的公式如下：

式中：Kro-油相的相對滲透率；Krw-水相的相對滲透率；a、b、c-常數。

針對公式（6），令：

根據最小二乘法原理，當且僅當系數a、b、c 能使R 最小，即系數使數據點的誤差平方和最小時，它們的值為原方程的解。根據這個原理，可建立如下偏微分方程組：

根據公式（9）求出a、b、c 的值。

把公式（6）代入式（5），得到：

擬壓力函數ψi和ψwf求解步驟如下：（1）根據式（10），μw、a、b、c、fw是常量，當壓力高于飽和壓力時，原油黏度μo與壓力P 呈線性關系，進而獲得Sw關于壓力P 的函數；（2）根據油藏相滲曲線，油水兩相的相對滲透率Kro、Krw可以表示為含水飽和度Sw的函數；（3）結合（1）和（2）的計算結果，Kro、Krw表示為壓力P 的函數；（4）把Kro（P）、Krw（P）代入擬壓力ψi和ψwf的表達式，通過數值積分求出擬壓力函數ψi和ψwf。上述求解步驟如下關系鏈：P→μo（P）→Sw（P）→Kro（P）、Krw（P）→ψ（P）。

2 實際計算與分析

渤海地區BZ 油藏為北東走向背斜構造，構造幅度低，圈閉幅度30 m，油藏儲層埋藏淺，海拔深度-950 m～-940 m，巖性較疏松，沉積為曲流河沉積，儲層儲集空間以原生擴大粒間孔為主，油藏類型為典型的底水油藏，探明地質儲量為2 416.84×104m3，油藏平均厚度為10 m，儲層平均孔隙度32.7 %，儲層平均滲透率2 600 mD，為高孔高滲儲層，原始地層壓力Pi=9.4 MPa，飽和壓力Pb=4.7 MPa，水體能量充足，油藏各向異性系數β=3，原油體積系數Bo=1.058，井筒半徑rw=0.1 m，泄油半徑reh=500 m，水的黏度μw=0.5 mPa·s，水的體積系數Bw=1.0，油藏采用水平井生產。BZ 油藏于2008 年投產，目前，該油藏共有生產井5 口，綜合含水93 %。通過高壓物性實驗數據，得到不同壓力下BZ 油藏的黏度數據（見圖4）。

圖4 BZ 油藏的μo與P 的關系曲線Fig.4 Relative curve of μoand P of BZ reservoir

從圖4 中可知，BZ 油藏的黏度μo與壓力P 呈線性關系，即μo=8.22P+72.76。

BZ 油藏相對滲透率曲線（見圖5）。由圖5 可知，采用二次多項式擬合，相關系數為0.999，準確性較高，分別得到0.274Sw+0.024。

根據公式（10），根據BZ 油藏相對滲透率散點回歸出a=-43.6，b=-77.6，c=115.8，采用新的油水相滲表征公式（見圖6），此時擬合程度高，為0.976。

把μo的關系式以及a、b、c 的值代入公式（10），得到Sw（P）關于P 的函數關系，即：

把Sw（P）代入Kro、Krw關系式中，可分別得到公式如下：

將上式Kro（P）、Krw（P）以及μo（P）代入公式（4）中，得到如下公式：

上述公式為計算底水油藏油水兩相水平井產能公式，通過數值積分方法，可對公式求解。

利用筆者推導的公式對BZ 油藏5 口水平井產能計算，與實際生產數據對比（見表1）。由表1 可以看出，本文公式計算出5 口水平井的產能與實際的產量相對誤差最小，僅為6.2 %，利用Borisov 公式、Joshi 公式、Renard-Dupuy 公式、Giger 公式、陳元千公式以及趙春森公式計算出的產量與實際產量的相對誤差為-29 %～-9.1 %，這是因為水平井產水后，滲流由單相滲流轉為油水兩相滲流，含水對水平井產能影響很大，而常規水平井產能公式沒有考慮產水對水平井產能的影響，趙春森公式考慮含水對水平井產能影響很大，但采用傳統的油水相滲關系，不適用高含水期水平井產能的預測，本文考慮到水平井進入高含水期，隨著含水飽和度的增加，油相由連續相變非連續相，導致油水相對滲流能力會發生較大變化，導致此時含水對水平井產能影響很大。因此，本文公式在計算高含水期水平井油水兩相產能預測方面具有較高的準確性與實用性。

圖5 BZ 油藏的相對滲透率曲線Fig.5 Relative permeability curve of BZ reservoir

圖6 新的相滲表征曲線與傳統相滲表征曲線對比圖Fig.6 Comparison between the new permeability curve and the traditional permeability curve

表1 各種方法計算水平井產量的結果對比Tab.1 Comparison of productivity calculated

3 結論

（1）通過最小二乘法原理，得到高含水期下新的油水相滲表征公式，結合水平井產能預測公式，提出了一種預測高含水期水平井油水兩相產能公式的方法。

（2）通過實例分析，與常規的水平井產能公式計算結果相比，利用本文公式計算出結果與水平井實際產量的相對誤差最小，僅為6.2 %，對高含水期下水平井的產能預測具有一定的實用性。