立足數學思想方法，整體架構分數乘法中的算理和算法
——“分數乘整數”教學實錄與評析

江蘇無錫市新安實驗小學 朱春雷（執教）榮英子（評析）

教學內容：蘇教版數學六年級上冊第28～29頁例1、例2、“練一練”及練習五第1～5題。

教學目標：

第一，使學生體會分數與整數相乘的含義，理解并掌握分數乘整數的計算方法，并能正確計算。

第二，使學生經歷探究分數乘整數的意義，探索分數乘整數的計算方法，積累數學學習經驗，培養觀察、分析、推理和概括等能力。

第三，培養學生數學學習的探究方法、探究意識和優化意識，增強學生學好數學的信心，提高學習數學的興趣。

教學重點：理解并掌握分數乘整數的計算方法。

教學難點：理解分數乘整數的計算方法。

教學過程：

一、復習導入，激活舊知

師：什么是分數？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。

[評析]“分數”和“乘法”都是學生學習分數乘整數的重要基礎，有研究顯示，學生從乘法的角度理解分數乘整數的意義并不困難。確實，學生對于乘法意義的理解已經比較透徹。因此，本節課學生學習的認知難點不在于“乘法”，而在于“分數”，從分數的意義出發更能促進學生思考。教師要準確把握學生的認知起點，緊扣本節課的關鍵點，從整體把握教材。

二、探索算理，歸納算法

（一）創設情境，引入新課

出示問題：小芳做3 朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

提問：求“一共用綢帶幾分之幾米？”是求什么？

[評析]教師利用教材設計的情境引入新課，將計算教學與解決實際問題有機結合。這樣有利于學生聯系現實問題情境，理解分數乘法的意義，體會學習計算是解決實際問題的需要。學生在分析題目時，教師引導學生主動將整數乘法的意義推廣到分數乘法中。通過新舊知識的聯系，實現學生原有認知結構的改造和新認知結構的建立，促進數學知識的融會貫通。教師還有意識地喚醒學生的舊知——分數單位，為后面學生對算理的理解做準備。

（二）探索算理

（學生在書上涂色）

師：對，可以用連加計算，我們在學整數乘法時知道，求幾個幾是多少也可以用乘法計算。分數加法我們很熟悉了，那這個算式是？

生：分數乘整數。

師：這就是今天我們要研究的內容：分數乘整數。

（板書標題：分數乘整數）

生2：我感覺是這樣算的。

師：那我們一起來研究一下這樣算有沒有道理。

師：好，那我們可以用等號將這兩個算式連接。

師：算下去，這是同分母分數的加法，怎么算？

生：分母不變，分子相加。

師：分母上的3個3相加可以寫成什么？

生：3乘3。

小結：我們可以根據同分母分數加法的計算方法推導出分數與整數相乘的計算方法。

（三）歸納算法

師：請同學們觀察這道算式說說分數乘整數的計算方法。

算法：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。

師：為什么3 和分子3 相乘，卻不和分母10乘？

生：如果和10乘，分母就變了，分數單位沒有變，所以不能和10乘。

[評析]五年級學生已經學習了小數乘整數的計算，部分關注計算形式的學生可能會有疑惑：小數乘整數時，小數的每一個數位上的數都要和整數相乘，為什么分數乘整數中，分母不和整數相乘呢？教師在歸納完算法后，提出了一個巧妙的問題：為什么3 和分子3 相乘，卻不和分母10 相乘？引發學生深度思考：是把單位“1”平均分成10份，有這樣的3 份，乘3 就是9 份，分數單位始終沒有變。“求3 個是多少，就是求3 個‘3 個’是多少。”看似拗口的一句話，學生卻能夠在教師的引導下順利地表述出來。可見，學生的數學思維在語言表達中得到了提升。計算教學的本質無非是在計一計、算一算有幾個計數的單位，分數乘整數的計算無非就是在算一算有幾個分數單位。這部分的教學是本堂課最精彩的部分，學生從分數的本質上理解了算法，在明晰算理的過程中進一步理解算法，也充分地體會到了算理的嚴密性和算法的合理性，教師讓算理和算法在反思中更通透。

（四）優化算法

出示例2：小華做5朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？

師：求“一共用綢帶幾分之幾米？”就是求什么？

師：觀察剛才兩個例子，思考分數乘整數表示什么含義？

生：表示求幾個幾分之幾是多少。

（板書：表示求幾個幾分之幾是多少）

師：你打算怎樣列式？

師：我們一起來計算。

生：3乘5是分子，10是分母。

師：分子上有兩個因數分別是3 和5，你發現了什么？

生：分子和分母都有因數5。

師：那根據分數的基本性質，我們可以將分子和分母同時除以5，這樣就在計算過程中約分了。

師：你覺得先計算再約分和先約分再計算，哪種方法更簡單？

生：先約分，再計算。

師：所以我們在計算分數乘整數時要注意觀察，如果可以先約分的，要先約分再計算，這樣計算起來比較簡便。

[評析]例2的教學重在優化算法。過程約分和結果約分是計算中出現的兩種情況，這兩種情況沒有對錯，都能算出正確答案。但是，在計算過程中先約分，再計算，大大地降低了計算難度。教師通過兩種計算情況的對比分析，讓學生體會先約分，再計算的優勢。在教學中要把握好教師“教”和學生“學”的分寸，學生的學習以有意義的接受學習為主，因此教師適時的引導非常關鍵。這里不需要刻意讓學生去探索發現在計算過程中約分的簡潔性，教師只需稍加引導，讓數學知識自然生成即可。處理好“教”和“學”的分寸，數學教學就能達到潤物無聲之效。

（五）練習提升

通過練習“練一練”、練習五第1～5 題，鞏固和提升所學知識。

（六）全課總結

師：通過本節課的學習，談談你的收獲。

[總評]《分數乘整數》是蘇教版數學六年級上冊《分數乘法》中第一課時的內容。本節課是一節計算教學課。計算教學的重點就是：理解算理，掌握算法。何為算理？顧名思義，就是計算過程中的道理，是一種思維方式，它是客觀存在的規律。何為算法？算法是用文字表述的運算方法，它是根據算理對運算過程實施細則作出的具體規定，是人為規定的操作方法，它反映的是一種規范化的操作程序。下面是關于本節課的一些思考。

第一，思考數學思想方法，從數學本質上整體把握教材。數學思想方法和數學內容是數學不可分割的兩個方面，它們一暗一明，思想方法潛在統領，數學內容有形外顯。數學教學就要基于思想方法，促進學生理解道理、掌握內容。學生學習本節課的起點有兩個，一個是整數乘法的意義，即求幾個幾是多少可以用乘法計算；一個是分數的意義和基本性質及分數加法運算。因此，教師把《分數乘整數》置于“乘法”和“分數”兩大知識框架中，找到新知與舊知之間的橋梁，利用有效的正遷移，來構建學生的數學認知結構。教師還準確把握學生的認知起點，從分數的意義切入即從數學的思想方法上思考，緊扣本節課的教學難點，從數學本質上整體把握教材。

第二，整體架構算理和算法，有效演繹推理。學生只要知道算法就能根據形式化的步驟進行運算，所以有的教師只關注計算結果，在計算教學中往往忽視算理，重視算法。學生只是機械地掌握了計算程序，知其然，卻不知其所以然。賁友林老師說過：算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性。算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算速度。因此，算法和算理是相輔相成，缺一不可的。而算理和算法背靠思想方法來統領。本節課，教師在數學思想方法的引領下，引導學生注重算理的探索、算法的歸納，讓學生經歷探索分數乘整數的計算方法的過程，體會數學知識的內在聯系，積累數學學習經驗，培養學生觀察、分析、推理和概括等思維能力。