線性代數(shù)中矩陣?yán)碚摰慕虒W(xué)

張雪飛 鄭素文 宮雷 王素云

摘 要：線性代數(shù)是本科教育中最基本的必修課程之一，課程本身具有高度的抽象性，且與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系不緊密，學(xué)生接受程度較低。但在教學(xué)過程中，牢牢抓住矩陣這個(gè)最基本的工具，矩陣?yán)碚撨@個(gè)最基本的理論，可以得到事倍功半的效果。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)；矩陣?yán)碚?/p>

在高等教育中，線性代數(shù)是最重要的基礎(chǔ)必修課程之一。選用的同濟(jì)大學(xué)第六版教材，可以滿足工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求，卻被學(xué)生認(rèn)為是一門難度極大的課程。線性代數(shù)的學(xué)習(xí)難度，一方面來自于課程本身的高度抽象性；另一方面，課程要求學(xué)習(xí)者在較短的時(shí)間內(nèi)（一個(gè)學(xué)期）認(rèn)識(shí)了解一個(gè)新的研究對(duì)象以及相關(guān)的一套新的運(yùn)算規(guī)則。這些都與學(xué)生之前接觸的初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)規(guī)律有較大的差異，接受程度較低。

在線性代數(shù)中，最重要的工具就是矩陣，用到的最基本的理論就是矩陣?yán)碚?，矩陣?yán)碚撠灤┱麄€(gè)線性代數(shù)始終。矩陣?yán)碚撛诰€性方程組的求解及解的結(jié)構(gòu)，向量組的線性表示等問題中均有廣泛地應(yīng)用，三者可以互相轉(zhuǎn)化，互相理論支撐。

通過矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用，向量組之間的線性表示的問題可轉(zhuǎn)化為矩陣語言。這樣不僅簡(jiǎn)化了問題，且把抽象的向量組轉(zhuǎn)化為具體的矩陣方程，更加直觀。矩陣方程的求解，即線性方程組的解的結(jié)構(gòu)的問題。然而，線性方程組的求解還是要用到矩陣?yán)碚撝械闹?。通過不斷轉(zhuǎn)化，向量組是否能相互表示等價(jià)于矩陣方程是否有解。為了更清晰，三者之間的轉(zhuǎn)化可用示意圖表示如下。

矩陣?yán)碚撛诰€性代數(shù)中的應(yīng)用，遠(yuǎn)不止于此。但是，矩陣，線性方程組和向量組之間的轉(zhuǎn)化是同濟(jì)大學(xué)第六版教材的精華之處，另辟蹊徑。尤其在后面章節(jié)，向量組的線性相關(guān)性一節(jié)，更是把三者之間的互助轉(zhuǎn)化用到極致。如，向量組線性相關(guān)，等價(jià)于齊次線性方程組有非零解，等價(jià)于向量組的秩小于向量組中向量的個(gè)數(shù)。因此，教師和學(xué)生在學(xué)習(xí)中，充分體會(huì)這一聯(lián)系，達(dá)到理想的教學(xué)和學(xué)習(xí)效果。

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基金項(xiàng)目：學(xué)院科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目（2016CJJCBXJ03）

通訊作者：張雪飛（1989-），女，河北高陽人，碩士，助教，研究方向?yàn)閳D論及其應(yīng)用。