多參數(shù)n階α次積分半群

畢 偉

(延安大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊中心，陜西 延安 716000)

文獻[1]給出了n次積分C半群的概念并得到它的一個表示定理；文獻[2，3]研究了單參數(shù)n階α次積分C半群的性質(zhì)及應(yīng)用；文獻[4]研究了雙參數(shù)n階α次積分C半群的一些性質(zhì)。本文根據(jù)單參數(shù)n階α次積分C半群的概念，給出多參數(shù)n階α次積分半群的定義并得到它的一些性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

在本文中，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)，D(A)為線性算子A的定義域，在全文中規(guī)定所有n∈N，α≥0。

JnT(t)表示T∈C([0,+∞),X)的n次積分，即

T=0當且僅當存在n>0使得JnT(t)=0,t≥0。

2 多參數(shù)n階α次積分半群的定義

定義1 設(shè)n∈N，α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0?B(X)強連續(xù)，若存在線性算子A=(A1,A2，…，Am)使得(1)—(3)式成立：

(1)?x∈X,t1,t2,…,tm≥0,

JnT(t1,t2，…,tm)x∈D(A)，

AJnT(t1,t2,…,tm)x；

(2)?x∈D(A),t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)Ax；

(3)T(t1,t2,…,tm)=

T(t1,0,…，0)T(0，t2，…，0)…T(0，0，…，tm)。

當α=0時，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0稱為多參數(shù)n階強連續(xù)算子半群。

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(A1,A2,…,Am)是多參數(shù)n階α次積分半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元，則對任意x∈D(A)，有T(s1,s2,…,sm)x∈D(A)且AT(s1,s2,…,sm)x=T(s1,s2,…,sm)Ax,?s1,s2,…,sm≥0。

證明由于{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0強連續(xù)，所以有

JnT(t1,t2,…,tm)AT(s1,s2,…,sm)x=

T(t1,t2,…,tm)T(s1,s2,…,sm)x-

T(s1,s2,…,sm)[T(t1,t2,…,tm)x-

T(s1,s2,…,sm)JnT(t1,t2,…,tm)y=

JnT(s1,s2,…,sm)T(t1,t2,…,tm)y=

JnT(t1,t2,…,tm)T(s1,s2,…,sm)y=

JnT(t1,t2,…,tm)T(s1,s2,…,sm)Ax。

又由y∈X及y的唯一性，有T(s1,s2,…,sm)y∈X且唯一，故有

T(s1,s2,…,sm)x∈D(A)，且

AT(s1,s2,…,sm)x=T(s1,s2,…,sm)Ax,

?s1,s2,…,sm≥0。

定理2 設(shè)多參數(shù)n階α次積分半群的次生成元為A=(A1,A2,…,Am)，

a1A1+a2A2+…+amAm，

?(a1,a2,…,am)∈Rm，

則A1,A2,…,Am分別為單參數(shù)n階α次積分半群{T(t1,0,…，0)}t1≥0，{T(0,t2,…，0)}t2≥0，…，

{T(0,0,…，tm)}tm≥0的次生成元，即滿足：

(1)?x∈X,t1≥0,JnT(t1,0,…,0)x∈D(A1)，

A1JnT(t1,0，…，0)x；

(2)?x∈X,t2≥0,JnT(0，t2,…,0)x∈D(A2)，

A2JnT(0，t2,…，0)x；

…

(m)?x∈X,tm≥0,JnT(0,0,…,tm)x∈D(Am)，

AmJnT(0,0,…,tm)x。

證明由多參數(shù)n階α次積分半群滿足線性變換，則有

?x∈X,t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)x∈D(A)，

(A1,A2,…,Am)JnT(t1,t2,…,tm)x=

A1JnT(t1,0,…,0)x+A2JnT(0,t2,…，0)x+…

+AmJnT(0,0,…,tm)x。

則取t2,t3，…，tm=0時有

A1JnT(t1,0,…,0)x+A2JnT(0,0,…,0)x+…

+AmJnT(0,0,…，0)x。

又由多參數(shù)n階α次積分半群的定義

A2JnT(0,0,…，0)=0，A3JnT(0,0,…，0)=0，

…，AmJnT(0,0,…，0)=0。

A1JnT(t1,0,…，0)x，

?x∈X,t1≥0,JnT(t1,0,…，0)x∈D(A1)。

同理可證(2)，(3)，…，(m)同樣成立。綜上所述，定理得證。

定義2[3]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界的，如果存在M≥0,ω∈R使‖T(t)‖≤Meωt,?t≥0成立。

定理3 設(shè){T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是多參數(shù)n階α次積分半群，則存在M≥1,ω≥0使得

‖T(t1,t2,…,tm)‖≤Meω(t1+t2+…+tm)。

證明由定義2可得

?M1≥1,ω1≥0，使得

‖T(t1,0,…,0)‖≤M1eω1t1。

同理，?M2≥1,ω2≥0，使得

‖T(0,t2,…,0)‖≤M2eω2t2，…，

?Mm≥1,ωm≥0，使得

‖T(0,0,…,tm)‖≤Mmeωmtm。

又由多參數(shù)n階α次積分半群定義中的(3)式可得

‖T(t1,t2,…,tm)‖=

‖T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…

T(0,0,…,tm)‖≤

‖T(t1,0,…,0)‖·‖T(0,t2,…,0)‖…

‖T(0,0,…,tm)‖≤

M1eω1t1·M2eω2t2…Mmeωmtm。

令ω=max{ω1,ω2,…,ωm}≥0且

M=M1·M2…Mm≥1，則有

‖T(t1,t2,…,tm)‖≤Meω(t1+t2+…+tm)。