一個包含完全數的非線性Euler函數方程的解

2019-10-11 01:04:00申江紅張明麗

延安大學學報(自然科學版) 2019年3期

關鍵詞：研究

申江紅，高麗，張明麗

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安 716000)

如果一個數恰好等于它的因子之和，則稱該數為完全數，第一個完全數是6，第二個完全數是28。對于Euler函數φ(n)方程解的研究一直以來都是數論方向的重要領域之一，對于形如

φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))

(1)

的Euler函數φ(n)的線性方程有著一定的研究。文獻[1]討論了k為素數時的情況，給出了k=3時的部分解；文獻[2]給出了k=3時方程(1)的全部解；文獻[3]給出了k=4時方程(1)的全部解；文獻[4]給出了k=4,6時方程(1)的全部解；文獻[5]給出了k=5時方程(1)的全部解；文獻[6]給出了k=7時方程(1)的全部解；文獻[7]給出了k=8時方程(1)的全部解；文獻[8]給出了k=9時方程(1)的全部解。

本文將討論一個包含完全數的非線性Euler函數方程：

φ(mn)=φ(m)+28φ(n)+28

(2)

的解，并給出其全部34組解。

1 定理及其證明

定理方程(2)有解：(m，n)=(196，3)，(294，3)，(37，15)，(37，16)，(37，20)，(37，24)，(37，30)，(57，16)，(57，20)，(63，16)，(63，20)，(74，15)，(76，15)，(44，10)，(50，8)，(50，12)，(66，8)，(66，10)，(58，4)，(58，6)(33，39)，(33，45)，(33，72)，(33，78)，(33，84)，(33，90)，(66，39)，(66，45)，(44，8)，(44，12)，(29，87)，(29，116)，(29，174)，(58，87)。

證明設gcd(m,n)=d，則φ(d)=m1φ(d)，

φ(n)=n1φ(d)，其中m1,n1∈Z+。由方程

φ(d)(dm1n1-m1-28n1)=28，從而有

φ(d)=1，2，4，14，28。

情況1φ(d)=1。

此時有dm1n1-m1-28n1=28，由φ(d)=1，可得d=1,2。

當d=1時，有m1n1-m1-28n1=28，從而有(m1-28)(n1-1)=56。根據因式與因數所有可能的關系，建立關系式從而得到：