基于通用選擇性分數重復控制的磁懸浮轉子諧波電流抑制

崔培玲， 張國璽， 劉志遠， 許 涵， 韓邦成

(北京航空航天大學 儀器科學與光電工程學院，北京 100191)

磁懸浮控制力矩陀螺是超靜衛星平臺姿態控制的理想慣性執行機構[1-3]，而磁懸浮轉子(Magnetically Suspended Rotor, MSR)系統則是磁懸浮控制力矩陀螺的主要組成部分。在磁懸浮轉子系統中，轉子的質量不平衡[4]和傳感器誤差[5]會在磁軸承勵磁線圈中產生諧波電流，從而造成諧波振動[6-7]。這種振動會通過陀螺基座傳遞到衛星平臺，進而對平臺上高精度的成像裝置產生不利影響[8]。因此，對磁懸浮轉子系統中諧波電流的抑制具有重要意義。

基于內模原理的重復控制(Repetitive Control, RC)[9]，是一種能有效地消除周期性干擾信號，實現零穩態誤差的控制方法。通過將干擾信號的內部模型嵌入到一個穩定的反饋系統中，在基波和高次諧波頻率處產生無窮增益，從而達到抑制諧波的目的。目前RC已被應用于多個領域，如電力電子變換器[10]，電機驅動器[11]以及各種類型的磁懸浮轉子系統[12-14]。為抑制磁懸浮電機主軸由于自身不平衡力和電機不平衡磁力產生的振動，Zhang等提出了一種復合重復控制方法，既可以抑制掉主軸本身由于不平衡力產生的振動，又可以消除電機控制電流中的諧波成分，取得了很好的實驗效果。

然而，RC在實際應用中存在一定的局限性。一方面，重復控制器長度N由系統采樣頻率和外界周期性干擾信號基頻的比值確定，在數字域中實現時，其物理意義為寄存器延時單元的個數。因此離散RC控制器的長度必須保證為整數。然而在實際應用中，系統采樣頻率往往固定不變，周期性干擾信號的基頻卻可能處于任意頻率段，這樣采樣頻率和基頻的比值就會出現分數。當該比值為分數時，現有的傳統重復控制器(Conventional RC, CRC)往往會對分數就近取整近似作為控制器長度，但這樣會導致控制器對干擾信號的抑制性能嚴重下降[15]。為了解決這個問題，文獻[16]根據基波頻率實時改變采樣率以保證兩者的比值為整數。然而這種方法大大增加了控制系統的復雜度和計算負擔，特別是當諧波頻率在較大頻帶范圍內變化時，此問題更加突出。文獻[17-18]則通過將控制器延時的分數部分用拉格朗日插值多項式組成的有限脈沖響應濾波器(Finite-Impulse-Response, FIR)近似代替，取得了良好的近似效果。這種方法對控制器計算能力要求不高，適用于大多數的控制系統。

另一方面，在系統帶寬范圍內，CRC均等地抑制所有諧波頻率點處的諧波分量。然而在實際系統中，諧波通常只集中在一些特定的諧波頻率點處而非整個頻帶。例如，在磁懸浮轉子系統中，諧波分量通常并不均勻分布，低頻諧波分量往往表現為主導諧波。因此僅抑制特定頻率處的諧波分量，或者僅針對某些頻率處的主導諧波分量，就能達到預期的控制目的。同時，由于控制系統采樣頻率一般很高，干擾信號基頻相對較低，導致CRC控制器長度一般很長，其輸出更新所需要的時間就會很長，導致其動態響應相對很慢，不能很好地滿足控制系統快響應的要求。

諧振控制[19]，以及基于離散傅里葉變換的RC[20]等控制方法可以對主導諧波進行選擇性抑制，從而加速收斂過程。然而，這些控制器的設計比較復雜,計算負擔也相對很大。文獻[21-22]提出了一種并行結構的重復控制策略，以實現選擇性諧波抑制，加速動態收斂過程，同時其計算量相較于CRC沒有增加。但是以電力電子系統中為應用背景提出的這種控制策略，不能直接應用于磁懸浮轉子系統。首先，轉子系統的精確模型未知，并且由于系統的不確定性和強未知干擾，使系統絕對穩定的相位補償器不能參考Lu等研究中的電力電子系統一般取作逆系統。其次，當重復控制器插入到原閉環系統時，由于轉子系統固有的不穩定性，控制系統易失穩甚至陷入崩潰。因此，需要設計合適的系統補償器保持整個系統的絕對穩定。同時，Lu等僅通過在頻域內進行極點配置給出了并行結構重復控制的傳遞函數，繼而通過極點位置說明這種結構在相應的頻率處可以產生無窮增益，由此消除對應頻率處的諧波分量，而并沒有對時域周期信號進行理論分析，從而給出其信號內模。

基于上述分析，本文提出了一種通用選擇性分數階重復控制器(Universal Selective Fractional Repetitive Controller, USFRC)，對磁懸浮轉子系統的諧波電流進行選擇性抑制。相較于傳統重復控制器，這種控制器的動態響應明顯加快，同時沒有增加額外的設計和實現復雜性，并且可以根據實際控制需求靈活變換為現有各種形式的RC控制器。

本文首先建立了kn+i階離散周期序列的信號發生器，它能補償kn+i階周期諧波信號；其次，給出了USFRC控制器一般形式及其在MSR系統中的穩定判據；然后，針對MSR系統和穩定性判據，給出了一種相位補償策略；最后，對該方法的有效性進行了驗證。

本文中所用的符號均是標準符號。為了簡化，H(z)的頻率響應函數H(ejωTs用H(ω)代替。

1 通用選擇性分數階重復控制器

1.1 kn+i階序列的內模

對于一個周期為N∈的離散時間序列x(m)∈，如果它只包含kn+i次諧波分量，其中N=T0/Ts，T0為其基波周期，Ts為系統采樣周期；k,n和i∈，0≤i

定理1周期序列x(m)是一個kn+i階諧波序列的充要條件是等式e±j2πi/nx(m)=x(m±N/n)成立。證明：

1) 充分性。對于只包含kn+i次諧波分量的離散周期序列x(m)，可表示為如下的傅里葉級數形式

(1)

式中：cl為傅里葉級數系數，進一步可表示為

(2)

由于x(m)只包含kn+i次諧波分量，則當l=kn+i時，cl≠0；l≠kn+i時，cl=0。則有

(3)

2) 必要性。假設離散周期序列x(m)滿足

(4)

證畢。

假設有一周期序列x1(m)滿足

(5)

令σi=ej2πi/n，根據定理1，有

(6)

則x(m)可以重寫為

(7)

式(7)經z變換得

(8)

如果x1(m)只包含kn+i次諧波分量，根據定理1，可以得到x1(m)=σix1(m-N/n)，經z變換可得

X1(z)=σiz-N/nX1(z)

(9)

因此

(10)

式中：Gkn+i(z)為kn+i階諧波序列內模的脈沖傳遞函數，其極點位于j(kn+i)ω0，ω0=2πT0為基波角頻率。

注意到，當n和i取不同值時，Gkn+i(z)可以得到不同的內模。例如，當n=1，i=0時，Gkn+i(z)為傳統RC內模；當n=2，i=1時，為奇次RC內模[23]；當n=2，i=0時，為偶次RC內模[24]；當n=6，i=1時，為6k+1 RC內模；以此類推。很明顯，本文提出的kn+i階RC內模Gkn+i(z)是各種現有RC內模的一種通用形式。

圖1為kn+i階諧波信號內模結構框圖。

圖1 kn+i階諧波序列內模Gkn+i(z)結構圖Fig.1 The diagram of the internal model Gkn+i(z) of the kn+i order harmonic sequence

值得注意的是，如圖1所示，數字控制器Gkn+i(z)是由N/n個寄存器延時單元來實現的。當N/n是整數，也即一個信號周期內的采樣點數N可由n整除時，控制器Gkn+i(z)可以完全抑制kn+i次諧波分量。然而在實際MSR系統中，采樣頻率往往固定不變，若使得N/n為整數，和諧波周期密切相關的轉子轉速就會被限制在某些特定區域。否則，N/n就會出現分數，進而導致其抑制精度降低。同時，在這種情況下，系統原有的穩定性有可能會被破壞。

在實際工程應用中，由于轉速會在較大范圍內變化，N/n通常都會出現分數情況。為保證控制器的抑制性能不發生嚴重下降，需要對分數部分做出適當處理。目前主要有兩類方法：一類方法，如Kimura等所述，通過實時改變系統采樣周期使得N/n為整數，但是該方法實現的復雜程度和計算成本都會顯著增加，尤其當轉速在大范圍內變化時；另一類方法，通過利用拉格朗日插值多項式構成的FIR濾波器來近似分數部分，這種方法計算成本有限，近似程度較高，可很好的解決分數部分帶來的系統性能下降的問題，適用于有限計算能力情況下的工程應用。

一般地，本文中N/n看作分數，采用由拉格朗日插值多項式構成的FIR濾波器實現分數部分的近似。

1.2 通用選擇性分數階重復控制器

圖1為一種理想狀況下的kn+i階重復控制器內模，由于Gkn+i(z)在單位圓上產生的無窮極點，導致控制器本身具有潛在的不穩定性。同時系統模型和參數的不確定性以及高頻擾動分量等諸多因素可能導致系統失穩。因此，通常采用濾波器來提高整個系統在實際應用中的穩定性。此外，還引入內模控制增益調節系統魯棒性和瞬態響應。

圖2中從i(z)～ic(z)的USFRC控制器的傳遞函數可以表示為

CUSFRC(z)=[k0G0(z)+…+kiGi(z)+…+krGr(z)]C(z)

(11)

分數階部分z-A可由拉格朗日插值多項式構成的FIR濾波器H(z)近似。具體地

(12)

圖2 通用選擇性分數階重復控制器結構框圖Fig.2 The block diagram of the proposed USFRC

1.3 穩定性分析

本文所研究的MSR系統的控制框圖如圖3所示，USFRC控制器通過插入方式連接到磁懸浮轉子系統的反饋回路中。圖中，Gc(z)為反饋控制器，保證了初始閉環MSR系統的穩定性，一般為PID控制器；Gw(z)和Gp(z)分別為功率放大器和轉子系統的傳遞函數；ks為位移傳感器的增益；r(z)為給定的轉子位置參考信號；xd(z)為等效的轉子質量不平衡和傳感器諧波干擾信號；i(z)為功率放大器輸出的控制電流信號，其中包含不必要的諧波成分；ic(z)為經過USFRC控制器處理后的電流信號。

如圖3所示，系統函數可以定義為

(13)

定義C(z)的頻率特性為C(ω)=Ac(ω)ejθc(ω)，其中Ac(ω)為幅值，θc(ω)為相角。同樣地，F(ω)=Af(ω)ejθf(ω)，其中Af(ω)為幅值，θf(ω)為相角；Q(ω)=Aq(ω)ejθq(ω)，其中Aq(ω)為幅值，θq(ω)為相角。根據上述定義，記M(ω)=Ac(ω)Af(ω)Aq(ω)和θ(ω)=θc(ω)+θf(ω)+LωTs，可以得到

圖3 USFRC-MSR控制系統結構框圖Fig.3 Plug-in USFRC-controlled MSR system

(14)

基于上述變量定義，可以得到如下穩定性判據：

(15)

以及

90°<θ(ω)<270°

(16)

證明：

圖3所示的閉環控制系統的傳遞函數為

(17)

其中，

(18)

FIR濾波器H(z)可以表示為

(19)

令z=|z|ejωTs，|z|=a，可以得到

(20)

(21)

如果(bcosθi-1)≥0，有

(22)

如果(bcosθi-1)<0，?|z|=a≥1，有

(23)

由此，?|z|=a≥1，可以得到

(24)

因此

(25)

則系統閉環特征方程可以寫為

(26)

假設式(26)中虛部為零，由cosθ(ω)<0，有

(27)

由式(27)可知，系統的傳遞函數G(z)所有極點pi(i=0,1,2,…,r)均位于單位圓內。由于ki以及M(ω)在實際控制系統中均為正值，因此如果條件式(15)成立，則條件式(16)一定成立。

2 仿真結果和分析

2.1 仿真參數

本文利用Cui等研究中的磁懸浮轉子控制系統模型作為算例驗證USFRC控制算法的可行性和有效性。其中控制器Gc(z)，Gp(z)以及Gw(z)可由下列Gc(s)，Gp(s)以及Gw(s)的表達式經過Tustin變換離散化得到，離散時間為系統采樣時間Ts

仿真參數如表1所示。

表1 磁懸浮轉子系統參數

2.2 相位補償器的設計

圖4所示為系統函數F(z)的伯德圖，系統初始相位θf(ω)∈(-90°,270°)。根據相位穩定條件式(16)，需要合理設計相位補償器以使得系統穩定。

圖4 系統函數F(z)的伯德圖Fig.4 Phase bode plot of F(z)

相位補償環節可分為兩部分：C(z)以及L(z)。C(z)補償系統的中低頻相位，L(z)補償系統高頻部分的相位滯后。本文中考慮轉子轉速為60 Hz，主導諧波電流一般出現在1次、2次、3次、5次以及7次諧波頻率處。考慮到系統不確定性以及噪聲的影響，系統截止頻率ωc設計為6 230 rad/s (1 000 Hz)，因此只需要考慮系統函數F(z)在(0, 1 000) Hz內的相位特性。

從圖4可以看出，當頻率為6 230 rad/s時，系統相位大約是-90°，為了滿足相位穩定條件式(16)，需要滿足

180°

(28)

即

2.5

(29)

由于L為整數，本文中L取值為4。同時，根據Cui等的研究可以得到下列補償器C(z)

(30)

圖5給出了經過相位補償后的系統函數與原始系統函數的相位伯德圖。在頻率范圍ω∈(0,ωc)內，由圖5可得補償后的系統相位θ(ω)∈(138.8°,216.7°)，因此有min|cosθ(ω)|=0.76。圖6給出了相位補償后的系統的幅頻響應。從圖中可以得到，max{F(ω)C(ω)}=max{M(ω)}=1.6 dB。

圖5 相位-頻率響應Fig.5 Phase-frequency diagram

進一步地，考慮到系統魯棒性，定義系統模型的不確定度為Δ(z)，且滿足|Δ(z)|≤ρ，其中ρ為一個正的常數。假設Δ(z)是穩定的，則根據文獻[25]，穩定條件式(15)可以重寫為

(31)

圖6 相位補償后系統的幅頻響應Fig.6 Magnitude-frequency diagram of C(z)L(z)F(z)

2.3 仿真結果和分析

仿真中，設置諧波電流基波頻率f0為60 Hz。圖7為磁懸浮轉子仿真系統產生的諧波電流時域圖，圖8為其頻域圖。

圖7 無RC控制器時磁懸浮轉子系統的諧波電流(時域)Fig.7 The current under the initial closed-loop system without RC controller (time-domain)

圖8 無RC控制器時磁懸浮轉子系統的諧波電流(頻域)Fig.8 The current under the initial closed-loop system without RC controller (frequency-domain)

從圖8可以看出，在頻率范圍ω∈(0,ωc)內，相較于其他頻率點處的諧波分量，1次、2次、3次、5次以及7次諧波分量有更大的幅值，約占控制電流諧波成分的99%。因此8k+i次諧波分量為主導諧波，其中n=8，且主導諧波最高階次r=7。為抑制上述主導諧波，由圖2可知，至少需要5個內模控制器并聯。在仿真中，分別選取i為1，2，3，5和7構成USFRC控制器。

為了驗證本文所提出的USFRC控制器的有效性，將USFRC與Xu等研究中的重復控制器進行了對比。由圖7可知諧波信號1次諧波的幅值是最大的，其次是2次和3次諧波，幅值相對較小的是5次和7次諧波。一般地，控制增益越大，其對應內模控制器動態性能越好。因此，為了使系統穩定以及獲得更好的收斂性能，由前所述，支路增益應滿足k1+k2+k3+k5+k7≤0.86，k1>k2≥k3>k7≥k5。仿真中，實際選取增益和k1+k2+k3+k5+k7=0.8。

圖9給出了諧波電流在時域內的瞬態響應。具體地，圖9(a)為加入Xu等研究中所述傳統重復控制器后電流的瞬態響應，當諧波電流收斂到6 mA附近時，其收斂時間為0.5 s；圖9(b)和圖9(c)為加入本文提出的USFRC控制算法后電流的瞬態響應，其中圖9(b)中USFRC控制器的支路增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=1∶1∶1∶1∶1，其收斂時間為0.28 s；圖9(c)中USFRF控制器的支路增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=12 ∶3 ∶3 ∶1 ∶1，其收斂時間為0.2 s。

圖9 不同控制器的瞬態響應Fig.9 The transient response of different controllers

由圖9可以看出，USFRC控制器相較于傳統的重復控制器有更快的收斂速率。進一步，通過對比圖9(b)和圖9(c)，說明了根據諧波電流中各次諧波的幅值大小相應地選擇合適的增益可以加快控制器諧波收斂速率。

圖10給出了穩態響應的諧波電流的頻譜圖。如圖10(a)所示，當加入Xu等研究中的重復控制器時，相較于圖8，諧波電流中1次、2次、3次、5次和7次諧波幅值明顯下降，下降幅度分別為98.8%(從-26.37～-64.6 dB)，96.6%(從-46.96～-76.36 dB)，96.4%(從-50.17～-79.22 dB)，86.6%(從-56.56～-73.99 dB)以及91.1%(從-55～-76.02 dB)。

圖10(b)為加入增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=1 ∶1 ∶1 ∶1 ∶1的USFRC控制器后諧波電流的穩態響應頻譜圖。其中，1次、2次、3次、5次和7次諧波幅值下降幅度分別為99.4%(從-26.37～-71.41 dB)，96.9%(從-46.96～-77.03 dB)，97%(從-50.17～-80.55 dB)，90.6%(從-56.56～-77.12dB)以及94.6%(從-55～-80.39 dB)。

圖10(c)為加入增益比為k1∶k2∶k3∶k5∶k7=12 ∶3 ∶3 ∶1 ∶1的USFRC控制器后諧波電流穩態響應頻譜圖。其中，1次、2次、3次、5次和7次諧波幅值分別下降了99.6%(從-26.37～-74.72 dB)，97.1%(從-46.96～-77.67 dB)，97%(從-50.17～-80.72 dB)，92.8%(從-56.56～-79.45 dB)以及96.6%(從-55～-84.48 dB)。

圖10 不同控制器的抑制精度Fig.10 The suppression precision of different controllers

從圖10可以看出，通用選擇分數階重復控制器USFRC控制器可以達到較高的收斂精度。進一步，對比圖10(b)和圖10(c)，說明了控制增益的不同選取不會影響控制器最終的收斂精度。

由以上結果可知，針對MSR系統，本文提出的通用選擇分數階重復控制器USFRC控制器可以加快瞬態響應，同時可以達到較高的抑制精度。這種控制器通過建立各個主導諧波的信號內模，采用多個控制器并聯的形式在主導諧波處提供無窮增益控制實現了快速高精度抑制主導諧波。

3 結 論

本文對磁懸浮轉子系統中主導諧波的快速高效抑制進行了研究，建立了kn+i階離散周期序列的內模，提出了一種針對低次主導諧波的通用選擇分數階重復控制USFRC。這種控制策略采用并行結構獨立抑制各次主導諧波，加快了瞬態響應；為了保證轉子在任意轉速下的高精度諧波抑制，引入FIR濾波器實現了頻率的自適應。同時，本文給出了USFRC控制器的穩定性判據。仿真驗證對比結果表明，采用USFRC控制器可以實現快速高精度的諧波抑制效果。