非線性包裝系統中關鍵部件振動可靠度分析

朱大鵬

(蘭州交通大學 交通運輸學院，蘭州 730070)

包裝件在流通過程中，在外界各種載荷作用下，產品或產品中關鍵部件的加速度響應會超出脆值而發生損壞。由于在流通中，產品的跌落沖擊會在短時間內造成產品運動狀態較大的改變，很容易造成產品的損壞，因此國內外研究者針對包裝件在跌落沖擊條件下中的問題開展了一系列研究。

王軍等[1-3]將包裝件建模為二自由度非線性系統，將跌落沖擊等效為半正弦激勵，采用數值分析的方法研究了包裝件關鍵部件的響應，分析各參數對響應的影響，提出了三維沖擊譜的概念。Zhong等[4]考慮了包裝件中的干摩擦，對包裝件傳統等效跌落理論進行了改進。Zhong等[5]對我國快遞行業中包裝件流通環境進行了測試，重點調查了包裝件的跌落高度和跌落姿態。Gibert等[6]構建了泡沫緩沖材料在跌落沖擊條件下的一種新模型，該模型能準確模擬包裝件的響應，應用該模型可準確獲得材料的緩沖曲線。Piatkowski等[7]提出了一種應用泡沫材料的緩沖曲線確定材料在產品跌落過程中受到的應力和應變的情況。文獻[8-9]分析了包裝件受到跌落沖擊時的響應，獲得了產品的破損邊界曲線，分析了參數對邊界曲線的影響。郝蒙等[10]將包裝件中的關鍵部件建模為集中質量的懸臂梁，分析包裝件在跌落過程中易損件響應及各參數對響應的影響。盧富德等[11-12]將包裝件中易損部件建模為簡支梁和桿式結構，應用差分法分析易損件在跌落過程中的響應情況。在綜述文獻[13]中，作者從沖擊機理、沖擊動力學、試驗方法、模擬方法等角度對國內外包裝件跌落沖擊的現狀和發展趨勢進行了介紹。

以上的研究對確保包裝件的安全提供了理論基礎、設計依據和試驗方法。包裝件在流通過程中，除了跌落沖擊外，在大部分時間內受到的載荷是隨機振動。在隨機振動載荷作用下，包裝件中的產品關鍵部件響應可能會超出脆值而造成產品損壞，這種現象稱為產品的首次穿越損壞，首次穿越損壞是產品在流通過程中的一種重要損壞方式。分析包裝件在流通過程中首次穿越失效概率，分析參數變化對失效概率的影響，對于優化包裝設計，提高包裝件振動可靠度，提高包裝件在流通過程中的安全性具有重要意義。目前，關于包裝件振動可靠度分析的文獻較少，文獻[14-15]分別介紹了單自由度包裝件的位移響應和加速度響應首次穿越失效概率的分析方法。本文在朱大鵬等研究的基礎上考慮了包裝系統中的關鍵部件，考慮了包裝件流通過程中真實隨機振動激勵的功率譜密度特征，構建了包裝件失效概率分析方法，分析結構參數變化對失效概率的影響。本文的研究對于分析非線性包裝件在流通過程中的可靠度，優化包裝結構，降低包裝件中關鍵部件損壞概率，具有重要的理論指導意義。

1 真實隨機振動在標準正態空間中的表示

(1)

圖1中實線表示的是實測的鐵路運輸過程中蘭州-呼和浩特棚車中的加速度PSD(Power Spectral Density)曲線圖，從圖中看出，包裝件在鐵路運輸過程中受到的加速度激勵的PSD曲線具有明顯的多峰值特征，本文應用多階Kanai-Tajimi模型表示圖1所示的真實隨機振動的PSD曲線[18]

(2)

式中：n為PSD曲線上峰值的個數；Gk，ωk，ζk分別為各單階Kanai-Tajimi模型的譜強度、固有頻率和阻尼比。圖中，g=9.8 m/s2。從圖1可以確定n=3，本文采用譜矩法[19]識別模型式(1)中的參數。對于單階Kanai-Tajimi模型

(3)

定義譜矩為

(4)

式中：l為譜矩的階次；ωu為功率譜G(ω)的截止頻率。定義

圖1 實測和模擬的鐵路棚車加速度PSD曲線Fig.1 Real and simulated acceleration PSD curve in railway boxcar

式(3)中G0(ω)的1～3階譜矩分別為

(5)

(6)

(7)

當n≥4時

(8)

根據式(3)中Gk(ω)和G0(ω)的關系， 可推導出Gk(ω)的i階譜矩λki與G0(ω)的i階譜矩λi具有關系

(9)

對于多階Kanai-Tajimi模型式(2)，模型中參數識別步驟如下：

步驟1根據實測的PSD曲線，根據曲線上主要峰值的個數，確定模型式(2)中的n；

步驟2根據式(4)計算PSD曲線的3(n-1)+1，3(n-1)+2，3(n-1)+3階譜矩，根據單階Kanai-Tajimi模型中各參數識別方法，識別模型(2)中的G1，ω1，ζ1；

步驟3利用G1，ω1，ζ1計算該參數對應的單階Kanai-Tajimi模型，計算實測PSD曲線和該單階模型的差值，計算該差值曲線的3(n-2)+1，3(n-2)+2，3(n-2)+3階譜矩，并識別出參數G2，ω2，ζ2；

步驟4重復步驟2和步驟3，直至求出模型式(2)中所有參數。

圖2 單階Kanai-Tajimi模型中ζ和ωg的識別Fig.2 Identification method for ζ and ωg in Kanai-Tajimi model

可用模型式(2)模擬實測的鐵路棚車中加速度激勵PSD特性，利用以上步驟得到模型的參數如表1所示。

表1 識別的3階Kanai-Tajimi模型參數

表中，g=9.8 m/s2。利用表1中參數擬合出的3階Kanai-Tajimi模型的PSD曲線如圖1中點劃線所示，從圖1中可看出，3階Kanai-Tajimi模型可準確模擬實測的鐵路棚車加速度PSD曲線。根據該模型，可認為包裝件在鐵路運輸過程中所受到的隨機振動是由3個高斯白噪聲源分別通過3個單階Kanai-Tajimi濾波器后疊加生成的，其物理意義如圖3所示。

圖3 鐵路棚車隨機振動的數字模擬Fig.3 Digital generation of random vibration in railway boxcar

依圖3，鐵路運輸過程中的隨機振動激勵可表示為

(10)

式中：hfj(t)為第j個濾波器的單位脈沖響應函數；Wj(t)為第j個濾波器對應的輸入白噪聲。 若采樣時間間隔Δt足夠小，且考慮到標準正態向量u中任一分量ui=Wi/σ，則式(10)可改寫為

(11)

(12)

式中：σj為對應的高斯白噪聲的方差，由表1中的G值分別確定：σ2=πG/Δt。 各階單位脈沖響應函數hfj由式(13)確定

(13)

式中： 參數ω和ζ由表1中數據確定。

2 線性包裝件振動可靠度分析方法

本文考慮了包裝件中的關鍵部件，將包裝件建模為二自由度支座激勵系統，如圖4所示。

圖4 二自由度包裝件模型Fig.4 Two degree of freedom package model

(14)

分母Δ為

AFK：是英文Away From Keyboard的縮寫，分別由英語“Away”、“From”、“Keyboard”的首字母組成，表示“不在電腦前”。

(15)

(16)

式中：L-1[·]為拉普拉斯反變換運算。

根據式(10)及式(16)，可得關鍵部件在t時刻的加速度響應表達式

(17)

式中： 向量a(t)=[a1(t),a2(t),…,an(t)]T，且

(18)

假定包裝件的脆值為Gc，可定義包裝件中關鍵部件的極限狀態方程

g(u,Gc,t)=Gc-a(t)·u

(19)

很顯然，如果方程g(u,Gc,t)>0，包裝件安全，g(u,Gc,t)≤0， 則包裝件發生首次穿越損壞。對于線性包裝件，方程g(u,Gc,t)可用高維標準正態空間u中的超平面表示，如果包裝件是非線性的，該極限狀態方程是空間u中的一個超曲面。在空間u中定義極限狀態方程上距離坐標原點最近的點為設計點u*

(20)

式中： ‖·‖為向量的模。

對于線性包裝件，g(u,Gc,t)=0是一個關于u的線性方程， 故設計點可用式(21)求得

(21)

定義可靠度指標β為原點到設計點的距離

(22)

(23)

式中： 函數Ф[·]為標準正態累積分布函數。

3 非線性包裝件等效線性化分析

對于線性包裝件，可采用上述的方法分析在隨機振動激勵下關鍵部件的振動可靠度。通常包裝件中緩沖材料是非線性的，由于非線性包裝系統的響應不能用解析式表達，且非線性系統單位脈沖響應函數h(t)不存在，因此本文采用模型修正因子法[20]，用一個線性系統等效表示該非線性系統，再應用上述的方法分析包裝件的振動可靠度。具體方法如下：

在標準正態向量空間u中，假定真實的非線性包裝系統極限狀態曲面由方程gr確定

(24)

構建一個理想化的線性包裝系統極限狀態曲面

(25)

則定義因子ν(u)為

(26)

根據ν(u)的定義，構建一個與真實系統等效的修正理想化系統

(27)

考慮到緩沖材料的非線性，假定緩沖材料的彈性具有三次非線性，則圖4所示包裝系統運動方程式為

(28)

(29)

根據對朱大鵬的研究分析，應用模型修正因子法構建非線性包裝系統的等效線性模型時，在迭代過程中，等效線性模型對應的可靠度指標βi與真實非線性系統可靠度指標β之間具有

β≤βi

(30)

這表明，‖β‖=min{‖βi‖}，因此，在構建等效線性系統時，可令ceq≈c，keq>k，則keq的求解是一個單目標最優化問題，即‖β‖達到最小時對應的keq即為所求。圖5所示為應用模型修正因子法和式(30)計算出的keq和k1，α之間的關系，其中，ω1變化范圍為100π～300π rad/s，α變化范圍為104～30×104m-2，ceq可由給定的ξ1確定。從圖5中可以看出，keq隨著α的增加而增加，keq，α和k1基本上構成了一個平面。

圖5 應用模型修正因子法確定的keq, α和k1曲面Fig.5 keq，α and k1 surface determined by use of model correction factor method

4 非線性包裝件振動可靠度影響因素分析

以式(28)所表示的三次非線性包裝件為例，分析各參數對振動可靠度的影響。假定脆值Gc=10g，其中，g=9.8 m/s2，k1eq和c1eq分別為采用模型修正因子法求出的非線性包裝件的等效彈性系數和等效阻尼系數。在該條件下，采用式(23)分析包裝件中關鍵部件首次穿越失效概率與時間的關系如圖6所示。結果表明，與朱大鵬研究中的結果相似，二自由度包裝系統中關鍵部件的損壞概率隨時間的推移逐漸升高，最后達到穩定值。為驗證模型修正因子法的準確性，圖中給出了應用原始蒙特卡洛模擬(N=106)計算的包裝件關鍵部件失效概率，對比結果表明，本文提出的二自由度包裝系統關鍵部件損壞概率分析方法具有較好的準確性。

保持其他基本參數不變，分別改變參數ω2，ξ1eq，ξ2，μ，Gc的值，分析不同參數條件下，關鍵部件穩態損壞概率與ω1eq之間的關系，結果如圖7所示。

圖6 包裝件中關鍵部件損壞概率分析結果Fig.6 Failure probability analysis results of critical component in packaging system

圖7 參數變化對損壞概率的影響Fig.7 Effects of parameters varieties on failure probability

從圖7的分析結果中可得以下基本結論：(1) 包裝件關鍵部件首次穿越損壞概率與ω1eq相關，在ω1eq=500 rad/s～ω1eq=1 000 rad/s的范圍內，失效概率明顯增加，該峰值范圍與真實隨機振動PSD曲線的峰值頻率范圍相近。且在低于峰值頻率時的損壞概率比高于峰值頻率時的損壞概率低得多；(2)ω2=722.6 rad/s時，包裝件中關鍵部件失效概率達到最大，ω2在低于或高于該頻率點時，失效概率均下降，因此在進行產品設計時，盡量使ω2遠離該頻率范圍；(3)ξ1eq和ξ2的增加可有效降低關鍵部件的損壞概率，且可有效減小失效概率峰值頻率范圍，對比圖7(b)和圖7(c)，增加ξ1eq對于減小失效概率的效果較增加ξ2要好的多；這表明，關鍵部件失效概率對參數ξ1eq的敏感性較大。在進行包裝設計時，可充分利用這一特性，提高緩沖材料等效阻尼比，以降低包裝件損壞概率；(4) 隨著質量比μ的增加，易損件的損壞概率降低，且損壞概率峰值所在的頻率點有所右移；(5) 脆值Gc的增加可有效降低損壞概率。

5 結 論

本文考慮了包裝件中的關鍵部件，研究二自由度非線性包裝系統在真實的具有多峰值PSD特征的隨機振動條件下的可靠度，并分析參數變化對可靠度的影響。考慮到真實隨機振動的譜特征，應用多階Kanai-Tajimi模型模擬該多峰譜特征，建立了應用譜矩法識別模型參數的具體步驟，將該隨機振動離散化表示在標準正態隨機變量空間中。對于非線性包裝件，應用模型修正因子法將其等效表示為線性系統，采用一階可靠性方法分析包裝件的穩態失效概率。應用以上方法分析包裝系統參數變化對損壞概率的影響，分析結果表明，為降低包裝件中關鍵部件損壞概率，在進行包裝設計時，固有頻率ω1eq和ω2應合理設計，避開高損壞概率峰值區。增加等效阻尼ξ1eq和阻尼ξ2均可有效降低損壞概率，ξ1eq對損壞概率的影響比ξ2大得多。質量比μ和脆值Gc的增加也可有效降低損壞概率。

本文構建了二自由度非線性包裝件在真實的具有一定譜特征的隨機振動激勵條件下的損壞概率評估方法，該方法為包裝件振動可靠度的分析提供了一種有效的手段，本文分析的包裝件中各結構參數的變化對損壞概率的影響分析對于包裝設計、包裝件優化提供了依據，具有良好的現實指導意義。