基于迭代插值的實復轉換頻率估計算法

陳 鵬, 涂亞慶, 李 明, 張海濤

(陸軍勤務學院 軍事物流系，重慶 401311)

實信號的頻率估計廣泛應用于雷達、通信與儀表裝置等領域，具有重要的理論研究意義和實際應用價值[1-2]。例如，線性調頻連續波(Linear Frequency Modulation Continuous Wave, LFMCW)雷達就是通過估計采樣信號的頻率來測量目標距離。因此，提高采樣信號的頻率估計精度有利于改善LFMCW雷達的測距精度[3]。

目前，針對實信號的頻率估計算法得到了廣泛研究，主要可分為時域法和頻域法兩類。時域法主要是基于信號自相關的頻率估計算法，如擴展自相關法、相頻匹配法等。頻域法主要是基于DFT(Discrete Fourier Transform)的頻譜分析法，如極大似然法，加窗插值法等。

文獻[4]提出一種基于擴展自相關的頻率估計算法，該算法采用粗估計和精估計兩步法估計頻率。首先對采樣信號進行兩次自相關計算，得到頻率粗估計值，然后根據最小二乘法構造誤差函數，通過最小化誤差函數得到頻率精確估計值。該算法提高了頻率估計精度，但受信號非整周期采樣影響，且在中高信噪比時，估計精度較低。在此基礎上，文獻[5]提出一種相頻匹配頻率估計算法，首先利用兩步自相關法進行頻率粗估計，消除信號非整周期采樣的影響，然后生成參考信號，并利用柯西不等式構造誤差函數，通過最小化誤差函數實現頻率精估計。該算法克服了信號非整周期采樣的影響，但運算量大，實時性差，不利于實際應用。

時域法易受信號非整周期采樣影響，抗干擾性不強，或計算量較大，實時性較差。而頻域法容易借助硬件實現，計算速度快，且具有更好的抗噪性，受到了廣泛的研究[6]。

在高斯白噪聲背景下，極大似然法通過尋找信號周期圖上最大值點來計算信號頻率[7]。該算法在處理復信號時，其估計效果最好，但計算量大，不利于實際應用。當處理實信號時，受信號中負頻率成分的影響，在中高信噪比條件下的頻率估計精度降低。文獻[8]通過加窗來抑制實信號中負頻率成分的影響，并采用頻譜插值來減少信號頻譜泄露，降低了負頻率的影響，但當信號頻率較低時，受窗函數主瓣干涉的影響，頻率估計精度較低，存在估計偏差。文獻[9]提出一種濾除負頻率成分的頻率估計算法，通過粗估計信號頻率生成參考信號，并與采樣信號相乘實現頻譜搬移，以濾除直流分量的形式降低負頻率的影響，并采用高精度的復信號頻率估計算法實現頻率估計，該算法計算量低，精度較好，但在低頻與高信噪比時，頻率估計精度較低。

針對頻域法易受實信號中負頻率成分影響的問題，本文在頻譜分析法的基礎上，提出一種實復轉換頻率估計算法，給出算法原理和計算的具體流程，并進行計算驗證和實驗驗證。

1 頻域法分析

1.1 信號模型

采樣信號模型如式(1)所示。

x(n)=acos(ωn+θ)+z(n)n=0, 1, …,N-1

(1)

式中：ω=2πf/fs為信號圓周頻率，f與fs分別為信號的模擬頻率和采樣頻率，由采樣定理可知fs>2f，則ω∈(0,π)，rad；a>0和θ∈(-π,π)分別為采樣信號的幅度和初相位；N為信號長度；z(n)為均值為0，方差為σ2的高斯白噪聲；采樣信號的信噪比為SNR=a2/2σ2。

在頻譜分析中，采樣信號頻率可用式(2)表示

ω(k0+δ)ωs

(2)

式中：ωs為頻率分辨率，ωs=2π/N；k0為信號頻譜中能量最大值點，k0=[ωN/2π]；[t]為取最接近于t的整數；δ為頻率偏差，-0.5≤δ≤0.5。

1.2 存在問題分析

根據歐拉公式

acos(ωn+θ)=Aeiωn+A*e-iωn

(3)

式中：A為復幅值，A=0.5aeiθ;A*=0.5ae-iθ,A與A*互為共軛。

從式(3)可以看出：無噪實正弦信號含有正頻率和負頻率兩種頻率成分。由于二者相互影響疊加，使得頻率估計時存在偏差。

對x(n)進行DTFT計算

(4)

當ω=kωs時，即δ=0，|X+|取得最大值，受負頻率成分的疊加影響，|X|不能取得最大值。因此，用頻域法估計頻率存在偏差。當ω≠kωs時，即δ≠0，|X+|不能取得最大值，受負頻率成分的影響，|X|也不能取得最大值，因此頻率估計存在偏差，且實際應用中δ常常不為0。

對于各類頻率估計算法的性能，可用統計信號的無偏估計下限(克拉美羅下限(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB))來檢驗[10]。單頻實信號的頻率估計下限為

(5)

2 實復轉換頻率估計算法

為消除實信號中負頻率成分的影響，本文提出一種基于迭代插值的實復轉換頻率估計算法。下面分別從算法原理和具體算法兩方面進行介紹。

2.1 算法原理

所提算法的核心思想是將實信號轉換為復信號，再對復信號進行處理，以消除實信號中負頻率成分的影響，其原理如圖1所示。

首先，將采樣信號進行90°相移，生成正交分量。然后，將采樣信號與其正交分量合成為復信號，實現實復轉換，以減少實信號中負頻率成分對頻率估計的影響。

圖 1 算法原理Fig.1 Algorithm schematic diagram

最后，采用迭代插值估計算法對復信號進行頻率精估計，重新生成采樣信號的正交分量和復信號。再對復信號進行處理，以極大程度地消除實信號中負頻率成分對頻率估計的影響，最終得到頻率的精確估計值。

2.2 頻率估計算法

2.2.1 頻率粗估計

首先，利用FFT算法對采樣信號x0(n)進行預處理，得到頻率粗估計值。

(6)

(7)

(8)

2.2.2 頻率精估計

采用復信號中的AM迭代算法思想[11]，利用式(9)～式(15)完成信號的頻率精估計。

(9)

(10)

(11)

利用式(12)與式(13)對合成的復信號進行頻譜兩點插值，求取信號頻率偏差。

(12)

(13)

根據頻率偏差，利用式(14)計算信號頻率值。

(14)

2.3 算法流程

綜上所述，基于迭代插值的實復轉換頻率估計算法的計算流程如下：

步驟1利用式(6)與式(7)對采樣信號進行頻率粗估計，并利用式(8)生成參考信號；

步驟2利用式(9)實現采樣信號90°相移，得到其正交分量，并利用式(10)實現實復轉換，得到復信號；

步驟3利用式(12)和式(13)計算信號頻率偏差，利用式(14)得到較精確的頻率估計值；

步驟4重復步驟2和步驟3，得到精確的頻率估計值。

3 計算驗證

不失一般性，在仿真時，實信號的幅度設為1，初相位θ∈(-π,π)隨機取值，每組實驗各進行1 000次蒙特卡羅實驗。RCSD法與本文算法均屬于迭代插值算法，均采取2次迭代，即I=2。

3.1 不同信噪比

為說明所提算法在不同信噪比下的頻率估計性能，設N=64，ω=2π/9，在SNR由0 dB以步長2 dB遞增到70 dB的條件下進行了仿真實驗，實驗結果如圖2所示。

圖2 不同信噪比下的頻率估計結果Fig.2 Frequency estimation results on different SNRs

從圖2中可以看出：EA法在低信噪比時的估計精度較好，當SNR>10 dB時，估計效果逐漸飽和，估計精度最差。SINW法在中低信噪比下的估計精度較好，但與CRLB存在約4 dB的偏差，當SNR>50 dB時，估計精度逐漸飽和；MPHD法在低信噪比下的估計精度較差，當SNR>8 dB時，其估計精度隨信噪比的增加而提高，與CRLB存在約1 dB的偏差；RCSD法在低信噪比下具有較高的估計精度，接近CRLB，優于MPHD法，但當SNR>44 dB時，其估計效果逐漸趨于飽和；本文算法在整個信噪比范圍內均具有高精度估計性能，始終接近于CRLB，優于EA法、SINW法以及MPHD法，當SNR<40 dB時，本文算法與RCSD法具有相當的估計性能，當SNR>40 dB時，本文算法優于RCSD法，且隨著信噪比的增加，本文算法的優勢更加明顯。

3.2 不同信號頻率

為說明所提算法在不同頻率下的頻率估計性能，設N=64,SNR= 40 dB，在頻率由0.04π以步長0.02π遞增到π的條件下進行了仿真實驗，實驗結果如圖3所示。

從圖3中可以看出：EA法受信號非整周期采樣影響嚴重，估計效果呈波動狀態，差于其他幾種算法；SINW法在0.04π～0.84π頻率范圍內的估計效果大致相當，優于EA法，與CRLB存在約3.5 dB的偏差，當頻率大于0.84π時，其估計精度隨頻率增加而逐漸降低；MPHD法在頻率為0.04π～0.9π時，估計精度較高，優于EA法和SINW法，與CRLB存在約1 dB的偏差，當頻率大于0.9π時，估計精度降低；RCSD法在頻率范圍為0.18π～0.82π時的估計精度均優于MPHD法，當頻率低于0.18π或高于0.82π時，RCSD法的估計精度低于MPHD法與本文算法；本文算法在0.04π～0.9π內的估計精度最高，優于其他幾種算法，更加接近CRLB，當頻率大于0.9π時的估計精度略低于MPHD法。

圖3 不同頻率下的頻率估計結果Fig.3 Frequency estimation results on different frequencies

3.3 不同頻率偏差

為說明所提算法在不同頻率偏差下的頻率估計性能，設N=128,SNR=40 dB，k0=4，在δ由-0.5以步長0.025遞增到0.5的條件下進行了仿真實驗，實驗結果如圖4所示。

從圖4中可以看出：EA法、SINW法與RSCD法的估計結果受頻率偏差影響較大，呈波動狀態，EA法在δ=±0.25時，估計效果最好；SINW法在δ=±0.5和δ=0.1時，估計效果最好；RCSD法優于EA法與SINW法；MPHD法與本文算法的性能優于其他幾種算法，更接近CRLB，當頻率偏差為-0.25≤δ≤0.25時，MPHD法優于本文算法，當頻率偏差為-0.5≤δ≤-0.25與0.25≤δ≤0.5時，本文算法優于MPHD法。

圖4 不同頻率偏差下的頻率估計結果Fig.4 Frequency estimation results on different frequency offsets

3.4 不同信號長度

為說明所提算法在不同信號長度下的頻率估計性能，設SNR=40 dB，ω=0.146π，在N由32以步長8遞增到256的條件下進行了仿真實驗，實驗結果如圖5所示。

圖5 不同信號長度下的頻率估計結果Fig.5 Frequency estimation results on different signal lengths

從圖5中可以看出：EA法受信號非整周期采樣的影響，估計效果差于其他方法，且呈周期性波動；SINW法優于EA法，與CRLB存在約3.5 dB的偏差；MPHD法的估計精度隨信號長度增加而提高，且沒有明顯波動，接近于CRLB；RCSD法在N>64時的估計精度均優于MPHD法，當信號較短時，其估計性能有所下降；本文算法在信號較長時，其估計性能與RCSD法相當，優于其他幾種算法，在信號較短時，本文算法的估計性能具有明顯的優勢，優于其他算法，提升了算法的實時性。

4 實驗驗證

為檢驗所提算法的實際測量效果，利用項目組自研的LFMCW雷達實驗平臺進行了測距實測實驗，雷達各參數設置如表1所示，實驗現場如圖6所示。

表1 雷達參數設置值

圖6 測距實驗現場Fig.6 Ranging experiment field

根據LFMCW雷達測距原理，測量距離可由式(15)進行計算。

R=ωfsCT/4πB

(15)

式中：R,fs,C,T,B分別為測量距離、采樣頻率、電磁波傳播速度、調頻周期和調頻帶寬。

設實驗的測距范圍為5～10 m，間隔1 m，利用DEVONL80手持激光測距儀和田島L-50U玻璃纖維標尺來測量實際距離。為了驗證本文所提方法的有效性，和仿真實驗中較好的兩種方法，即MPHD法和RSCD法進行了比較，實驗結果如表2所示。從實測實驗結果可以看出：運用本文所提算法的測量結果比運用MPHD法和RSCD法的測量結果更接近實際距離，與仿真實驗結果一致。本文所提算法的平均絕對誤差為0.022 m，MPHD法和RSCD法的平均絕對誤差分別為0.041 m和0.034 m。因此，本文所提算法具有更低的測量誤差，比MPHD法和RSCD法更有效，改善了LFMCW雷達的測距性能。

表2 測距結果

5 結 論

為消除實信號中負頻率成分對頻率估計性能的影響，本文提出了一種基于迭代插值的實復轉換頻率估計算法，該算法通過將實信號轉換為復信號的形式，并對復信號進行迭代插值得到頻率估計值。

計算驗證表明：本文所提算法有效的消除了負頻率成分對頻率估計的影響，其頻率估計性能在不同的條件下均優于其他算法，或與目前最優秀的算法具有相當的性能。特別地，當信號頻率較低時，優勢更加明顯，并提升了算法的實時性，改善了算法的抗噪性，提高了估計精度，使得頻率估計值的均方誤差更接近于克拉美羅下限。并在LFMCW雷達實驗平臺進行了測距實驗，驗證了本文算法的有效性，優于MPHD法和RCSD法。