神秘的費根鮑姆常數

顧靜怡

似乎人人都知道π是圓周率，是一個被科學證明了的無理數。然而，最近人們又發現了一個超越π的神秘數字4.6692……這個被學術界認定的、與“混沌現象”有關的常數也被稱為費根鮑姆常數。它像圓周率一樣，充滿著神秘和未知。

四十多年前，癡迷數學研究的物理學博士費根鮑姆放棄了做粒子物理學家的“主流”工作，跳槽到洛斯阿拉莫斯國家實驗室當起了小助手。他在利用計算機工作的時候，發現了這個被譽為“新的圓周率”的常數4.6692……

那么，4.6692……這個數字到底神秘在哪里呢？這得從數列的周期說起。我們都知道，最簡單的數列可以很任意，比如1，2，1，2……當然，還有一些數列的周期性則要復雜得多，也有趣得多。費根鮑姆研究的數列也表現出了周期性，而且隨著參數b的不斷增加，表現出來的周期性也會不斷增加，它會從二周期變成四周期，然后變成八周期……這種現象在數學或者物理學上被稱為“邏輯斯蒂映射”或者“拋物線映射”。

問題的關鍵是，參數b要等于多少？因為b的數值是任意的。但在做數值計算時，必須要先設定這個參數。費根鮑姆固定了不同的參數b，發現當參數b選擇到一些特定的數字后，整個數列最后會收斂到一個“不動點”。也就是說，這個不動點是拋物線方程的一個根，不動點就是“周期1”。然后，再不斷調整參數b，當b增加到了一定程度，又發現周期從2變成4，變為8與16……這個現象叫做倍周分叉。

如果要用通俗簡單的例子來解釋的話，那就是從一個規律滴水的水龍頭開始，它的節奏是重復的“滴—滴—滴—滴……”每一滴都跟前面的完全一樣。然后，當我們將水龍頭打開一點，水滴就會落得比之前快一些，而節奏也就會相應地變成了“滴—答，滴—答……”每兩滴才重復一次，前后兩滴不止是大小不同，就連時間間隔也會有些細微的變化。如果讓水滴流得再稍微快一點，就會得到四滴的節奏“滴—答—滴—答……”再快一點的話，則會產生八滴的節奏“滴—答—滴—答—滴—答—滴—答………”也就是說不同形式的水滴數目會一直加倍，這就是“混沌現象”。

那么，這些分叉點的參數b又有什么特點呢？費根鮑姆研究發現：出現倍周期分叉的b的那些數值，距離之比接近一個常數，大概等于4.6692……他還進一步揭示了同樣的現象、同樣的常數，適用于廣泛的數學函數領域，這個普適的結論使數學家們能夠在對表象不可捉摸的混沌系統的解密道路上邁出可喜的一步。

有人說，費根鮑姆常數是一個神秘的常數，一個數學物理中深邃的常數，一個與π平起平坐的常數。也有人說，4.6692……是一個“新的圓周率”。但不管怎樣說，費根鮑姆常數在數學及數學與自然的關系中，有著非比尋常的重大意義。