不同慣性參考系中系統(tǒng)機械能是否守恒的再討論
——兼談機械能守恒定律滿足伽利略力學相對性原理

王志成 康旭紅 王增發(fā)

(1. 甘肅省臨夏市臨夏中學，甘肅 臨夏 731100; 2. 甘肅省積石山縣民族中學，甘肅 積石山 731700)

1 一個爭論已久的問題

近日閱讀的多篇文章,[1-8]圍繞一個中學物理中的典型例題,展開了機械能守恒定律與慣性參考系的選擇有沒有關系的大討論,而且所持觀點不同,結論也各異．文獻[1-5]認為滑塊的機械能在一個慣性參考系中守恒,另一個慣性系中可能不守恒,機械能守恒定律不滿足伽利略力學相對性原理;文獻[6-8]認為滑塊的機械能在不同慣性系中都守恒,機械能守恒定律滿足伽利略力學相對性原理．

筆者覺得,要討論這個問題,首先要統(tǒng)一討論的問題標準,即重力勢能是屬于系統(tǒng)還是屬于滑塊．只有討論的問題的標準統(tǒng)一(否則有偷換概念之嫌),才有討論的意義．

1.1 爭論已久的問題

如圖1所示,水平地面上固定一個高為h、傾角為θ的光滑斜面．有一質量為m的小滑塊(可視為質點),從斜面頂端由靜止沿斜面自由下滑,同時有一小車相對于地面以速度u向右勻速運動．試討論地面參考系和小車參考系中,滑塊機械能是否守恒．

圖1

(有些文章的例題跟上述問題一樣,也有些文章只是把地面固定斜面改為小車中的固定斜面．不影響問題的討論)

1.2 典型分析

分析1：以地面為參考系,由于斜面支持力不做功,只有重力做功,機械能顯然守恒．設滑塊到達斜面低端時速度為v,有

(1)

所以

(2)

分析2：以小車為參考系,滑塊初速度為-u,方向向左．設滑塊到達低端時相對小車的速度大小為v′,由圖2知

v′2=v2+u2-2vucosθ.

(3)

取地面為零勢能面．滑塊在斜面頂端的機械能為

(4)

滑塊在斜面低端的機械能為

(5)

比較(1)、(4)、(5)式可知

Ek1+Ep1>Ek2+Ep2.

(6)

可見,以小車為參考系,滑塊的機械能不守恒．

對這個結論,許多作者的解釋是:在小車參考系中,斜面支持力與滑塊的的速度v′不垂直,做了負功,所以滑塊機械能減少了．(筆者注:后面分析中可以看出,滑塊壓力也對地球做了功,地球機械能有微小的增加,通常被忽略了)

對比分析1、分析2后,文獻[1]產生了困惑:根據(jù)力學相對性原理,任何力學規(guī)律在任一慣性系內具有相同的形式．機械能守恒定律作為重要的力學規(guī)律,理應滿足力學相對性原理．

2 定性論證不同慣性參考系中系統(tǒng)機械能守恒

首先,應統(tǒng)一討論的問題標準,明確勢能是系統(tǒng)共有的．普通高中課程實驗教科書《物理》必修2第66頁:必須指出的是,重力勢能跟重力做功密切相關,而重力是地球與物體之間的相互作用．也就是說,倘若沒有地球,就談不上重力．所以,嚴格說來,重力勢能是地球與物體所組成的物體“系統(tǒng)”所共有的,而不是地球上的物體單獨具有的．

其次,明確運用機械能守恒定律的研究對象一定是系統(tǒng),而不是單個的物體．普通高中課程實驗教科書《物理》必修2教師教學用書第123頁:要向學生指出,重力勢能是由地球與物體所組成的系統(tǒng)所共有的,彈性勢能是由因彈力的相互作用而組成的系統(tǒng)所共有的．因此,運用機械能守恒定律求解的對象是由相互作用的物體所組成的系統(tǒng)．

再次,明確參考系是指我們假設不動的物體．因為運動是絕對的,靜止是相對的,所以選定某個物體為參考系,其含義是假定該物體不動．

2.1 地面慣性參考系中定性論證

以地面為參考系,滑塊和地球(地球包括斜面,以后簡稱“滑塊和地球為系統(tǒng)”)為系統(tǒng)．滑塊沿斜面下滑的過程中,支持力和壓力對滑塊和地球不做功,只有重力做功,根據(jù)機械能守恒的條件[9]“在外力不做功和非保守內力不做功”可知,滑塊和地球系統(tǒng)的機械能守恒．

2.2 小車慣性參考系中定性論證

分析2中的根本錯誤是:分析機械能是否守恒時,只考慮了滑塊的機械能,而遺漏了另一個重要對象——地球的初、末狀態(tài)的動能．因此,得出了小車參考系中機械能不守恒的錯誤結論．

以滑塊和地球為系統(tǒng),在小車參考系中,地球不再是靜止的．系統(tǒng)保守內力重力做正功．斜面對物體的支持力和物體對斜面的壓力也是系統(tǒng)的一對內力,它們分別對滑塊和地球做了功．眾所周知,以地面為參考系時支持力和壓力這一對內力的總功為0,根據(jù)“一對內力的總功與參考系無關”可知,在小車參考系中,雖支持力和壓力分別對滑塊和斜面做了功,但支持力和壓力的總功仍為0,對系統(tǒng)不做功．

根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒的條件“在外力不做功和非保守內力不做功”的條件下,小車參考系中,滑塊和地球(包括斜面)系統(tǒng)的機械能一定守恒．

根據(jù)以上兩個慣性參考系的定性分析,筆者的結論是:不同慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機械能都守恒,機械能守恒定律滿足力學相對性原理．

3 定量論證不同慣性參考系中系統(tǒng)機械能守恒

假設法是科學探究中的重要思想方法,大量應用于數(shù)學、物理研究中,是一種創(chuàng)造性的思維活動(百度語)．

對于滑塊和地球系統(tǒng)的機械能是否守恒,可以用假設法定量論證．論證的邏輯思路如下.

由于這兩式是經(jīng)過大量實驗檢驗并確認的、也是眾所周知的正確的物理規(guī)律和結論．因此,只要假設不同慣性參考系中滑塊和地球系統(tǒng)的機械能守恒,并由假設推導出與這兩式相同的結果,就說明假設是正確的．

3.1 質心慣性參考系中定量論證

以滑塊和地球為研究系統(tǒng)時,滑塊沿斜面下滑的過程中,由于滑塊有動量的變化,且滑塊和地球(斜面)相互作用是內力,根據(jù)動量守恒定律可知地球也有動量的變化．由于地球質量很大,地球只是有微小的速度變化(通常忽略不計),但是嚴格的說,此時地面參考系(假定地面不動)不是嚴格的慣性系．所以,分析(1)中的(1)式和(2)式是近似式．

根據(jù)質心運動定理,滑塊和地球之間的支持力、壓力、萬有引力都是內力,內力不會產生系統(tǒng)質心加速度,所以系統(tǒng)質心不動．因此,地球和滑塊系統(tǒng)的質心參考系是一個很好的慣性系．

在質心慣性參考系中,由于滑塊下落的時間(與地球自轉周期24h相比較)內可忽略地球的自轉．滑塊在斜面頂端時,滑塊和地球相對質心的速度均為0．設滑塊從斜面頂端下滑到斜面低端時,相對質心的速度大小為v,此時地球相對質心的速度大小為V．并設地球質量為M、半徑為R．

假設法：假設滑塊和地球系統(tǒng)的機械能守恒,則有

(7)

根據(jù)動量守恒定律有

MV=mv.

(8)

由(7)、(8)式得

(9)

(10)

(11)

對質心慣性參考系中的結果,我們還可以做進一步討論后,推廣到地面慣性參考系.

(12)

由于M?m,忽略二階小量m2,所以(11)式中的

(13)

由(11)-(13)式得

(14)

考慮到M?m和R?h,由(9)、(10)式易得

(15)

V≈0.

(16)

上述3個近似式是精度極高的近似式,可以寫成等式．(14)式、(15)式分別與地面參考系得出的(1)式、(2)式相同,說明假設正確．

即運用假設法證明了質心慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機械能也守恒．

(16)式說明滑塊下滑過程中,地球速度近似為0(精度極高的近似)．這就是我們通常可以把地面參考系看做慣性系的理由．

通過上述進一步討論和推廣,不僅加深了對地面參考系不是嚴格的慣性系的理解,同時也認識到地面參考系中的結論是精確度極高的近似結論．即質心慣性系和地面慣性系是近似(精度極高的近似)等價的．

3.2 小車慣性參考系中定量論證

在小車慣性參考系中,滑塊在斜面頂端為初狀態(tài),滑塊在斜面低端為末狀態(tài)．則易得滑塊和地球系統(tǒng)初狀態(tài)的總動能為

(17)

滑塊和地球系統(tǒng)末狀態(tài)的總動能,如何簡潔的求得呢?

以小車慣性參考系為固定系,那么質心慣性參考系是相對于小車慣性參考的平動慣性系．因此,可以根據(jù)柯尼希定理[10-11]求得滑塊和地球系統(tǒng)在小車慣性系中末狀態(tài)的總動能.(筆者注:考慮地球在質心系的速度后,也可以根據(jù)類似于圖2的速度矢量關系求得地球相對于小車的速度,進而求得系統(tǒng)總動能,在此不再贅述,讀者自己證明.)

根據(jù)柯尼希定理,質點組各質點的動能為質點組全部質量集中在質心并隨質心平動的動能及各質點相對質心運動的動能之和．所以,滑塊在斜面低端時,滑塊和地球系統(tǒng)的末總動能為

(18)

式中V、v分別是地球和滑塊相對于系統(tǒng)質心的速度.

結合(8)式、(18)式得

(19)

所以,系統(tǒng)初狀態(tài)總機械能為

(20)

系統(tǒng)末狀態(tài)總機械能為

(21)

假設法:假設在小車慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機械能守恒,即E1=E2．由(20)、(21)式得

(22)

結合(8)式、(22)式易得

(23)

(24)

(25)

(23)-(25)式與質心慣性參考系計算出的結果(9)-(11)式一致．用不同的參考系分析出相同的結果,其實印證了同一客觀事實的結論與選擇的慣性系無關．

即運用假設法證明了小車慣性參考系中,滑塊和地球系統(tǒng)的機械能也守恒．

4 結束語