費米問題助力核心素養之物理觀念培養

湯倩倩 童瑜意 祖米熱姆 方 偉,2

(1. 上海師范大學物理系,上海 200234; 2. 上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室,上海 200234)

1 費米問題與物理觀念簡介

當美國第一顆原子彈試爆時,美國物理學家費米正在離試驗點10英里的地方,當原子彈爆炸所產生的沖擊波在約40s后到達費米所在的試驗場時,費米向空中揚起一些小紙屑,測量小紙屑落地被吹移的距離,從而估算出該原子彈的當量為10千頓TNT,此值與實際當量(21千頓TNT)僅差1/2，類似的,費米還成功估算過“芝加哥需要多少個鋼琴調音師”,所得數值與實際數目并無顯著差異.費米以他的這種非凡的估算能力被廣泛熟知.后人把類似的沒有或者具有很少原始數據、無法直接計算或測量、但能通過量綱分析、數量級估算而得到答案的問題統稱為費米問題或費米估計.這類問題也被稱為“Back of the Envelope Physics”,意指不需要大篇幅繁瑣推算只需在信封背面簡單推算即可求得答案.費米問題的答案無需精確,只要在實際值的一個數量級(即實際值的0.1倍～10倍)以內即可.費米問題與其說是一類問題,不如說是假設、抽象、解決問題的能力和方法,古今中外大多優秀的物理學家均具有這種洞察問題的直覺和定性解決計算的能力.在物理教學上若能借助費米問題教學,不僅僅有利于物理知識的講授,更能提高學生的問題解決能力.[1]值得強調的是,這種能力是可以直接遷移到學生畢業以后的工作生活中的.類似“芝加哥需要多少個鋼琴調音師”的費米問題,就是創業者在創業前必須要會的市場調研.同樣如今在許多工作面試當中,考官也會問到諸如此類的費米問題,來判斷一個人的多方位思考能力、思維邏輯以及知識面的廣泛程度.

近幾年,隨著我國教育事業的不斷發展,教育領域對教育方式和教育理念做出了全新的探索,提出了更加符合時代發展需求的新課程標準.其中,核心素養成為教師和學生關注的焦點.[2]在物理學科中的“核心素養”主要由“物理觀念”、“科學思維”、“科學探究”和“科學態度與責任”等4個要素組成.觀念是客觀事物在人腦中留下的概括性的認識,即對一切客觀事物的理性認識,同時它又反過來影響和支配著人們的行為.而“物理觀念”則是人們對物理現象和物理過程的理性認識,是物理概念和規律等在頭腦中的提煉和升華,從物理學視角概括為形成的關于運動與相互作用、能量、物質等的基本認識.[3]

2 費米問題培養“物理觀念”的可行性

“物理觀念”是物理核心素養的重要組成部分,決定著學生對物理知識內涵的理解和應用的靈活性,對學生的終身學習和發展具有重要作用.愛因斯坦指出:“在建立一個物理學理論時,基本觀念起了最主要的作用.物理書上充滿了復雜的數學公式,但是所有的物理學理論都是起源于思維與觀念,而不是公式.”[4]由此可見,物理觀念在物理學理論形成和發展中發揮著重要的作用.

在教學中,如何進行“物理觀念”的教學,可從3個方面入手.一是創設真實的教學情境,從學生具備的知識入手建立科學思想并滲透物理觀念;[5]二是以問題為導向,在提出問題和問題解決中學會建立物理模型,逐步形成清晰的物理觀念;三是利用真實的未經加工的物理原始問題,將理論付諸實踐,系統的培養學生提出問題、分析問題和解決問題的能力,并從中認識到物理學的價值與社會、生活、人文、科技間的聯系,從而逐步建立起物理觀念.費米問題正是來源于實際生活和現實世界的未經加工的原始問題,趣味性強,無需繁瑣數學推演,在解決過程中能更專注于物理觀念的建立,因而適合在教學中用來培養“物理觀念”.

3 費米問題培養“物理觀念”的應用舉例

3.1 物質觀念的費米問題

物質觀念包括物質的存在形式、物質結構、物質的狀態變化、物質屬性等4個二級主題.物質是構成宇宙間一切物體的實物和場.化學里說的物質世界是由分子、原子和離子等微觀粒子構成的,而物理學中對于這一基本觀念,不僅要告訴學生物質的宏觀觀念和微觀觀念,更重要的是告訴學生并非所有物質都可以看得見摸得著,比如“電場”、“磁場”等物質,它們既看不見也摸不著,然而卻是大自然中客觀存在的物質,而且這類物質并非實物,但是依然具有和普通物體一樣的共通屬性.[6]在中學教學當中,我們可以引入費米問題,很好地幫助學生建構物理模型,培養學生的物質觀念.

例1.猜猜看,原子序數為100左右的原子(如鈾原子)半徑會比原子序數為個位數的(如氫原子)大多少?

這是一個非常好的能幫助學生建立物質觀念的費米問題.該問題的解決過程可以幫助學生建立宏觀與微觀的概念,建立物質的微觀模型.由于實際結果是幾乎所有原子都有幾乎相同的尺寸(見表1),原子序數大的原子半徑并不一定比原子序數小的大,因而與學生最原始的感官有較大偏差,使得學習效果非常明顯,還會激發學生的進一步思考甚至是討論,為以后更深層次的學習埋下引線.下面以鋁(Al)原子為例介紹根據密度來估算原子半徑的方法.

1 mol(6×1023個)鋁原子質量為27 g.(記為原子的“重量”是A=27 g/mole)密度ρ=2.7 g/cm3，

(1)

(1)式表示1 mol的鋁所占體積為10 cm3,相當于邊長大約為2 cm(2.15 cm)的正立方體里,包含了約6.02×1023≈1024個鋁原子,立方根為108(8.4×107).因此,在固態鋁中每108個鋁原子可排列成2 cm長,因而一個鋁原子的直徑大約為2×10-8cm,或者更精準的計算為

(2)

利用同樣方法,可估算出一系列元素的原子直徑(如表1),由結果可知,不同元素的原子尺寸都差不太多.[7]由于元素有多種,可以給每個學生分派不同的元素求其尺度,培養其建立物理模型的能力,以及利用解決費米問題的方法加深對“物質觀念”的理解.

表1 元素周期表中代表性元素的摩爾體積和原子直徑

3.2 運動與相互作用觀念的費米問題

運動與相互作用觀念包括運動、相互作用、力與運動等三個二級主題. “世界上一切的物質都處于相對運動或相對靜止之中,沒有絕對的靜止”,描述物體的運動并發現其運動規律是物理學的重要任務之一.在運動的描述中可以深化對時間、空間和參考系的認識.當一個物體受到外力并使它的運動狀態發生變化,這便是牛頓第二定律.這是力和運動的溝通橋梁,是經典力學大廈的支柱之一.[8]

圖1 月球“平拋運動”示意圖(圖中尺度未按比例畫出)

例2.法國詩人瓦萊里(Paul Valéry,1871—1945)曾說過,“當每個人都沒看到月球往下掉時,只有牛頓注意到月亮正在往下掉”.假設在離地球球心高度為地月平均距離的上空平拋一物體(平拋速度大小為月球公轉速度),試估算1s后該物體的水平位移dx和豎直下落高度dy分別為多少.

如圖1所示,v為月球平均公轉速度v=1.023×103m/s,d為地月平均距離d=3.844×108m.1 s后，

dx=1.023×103m;

(3)

(4)

其中g′為離地球球心高度為地月平均距離的上空的重力加速度.再根據萬有引力定律

(5)

(6)

M=5.972×1024kg(M為地球質量)得到此處的重力加速度g′=2.696×10-3m/s2.

(7)

我們再將此物理模型轉為平面幾何圖形(圖2)來計算.

圖2 月球繞地圓周運動關系圖(圖中尺度未按比例畫出)

如圖2所示,d為圖1的地月平均距離d=3.844×108m;dx為圖1的1 s鐘所走的路程dx=1.023×103m.圖2未按比例畫出,實際上圖中的dx直角邊遠比臨邊d短,差5個數量級.

由簡單幾何關系,可求出Δd=1.36×10-3m,約等于圖1中的dy=1.35×10-3m.dy≈Δd,說明正是由于地球引力,本來作水平運動的月球實際上還在向著地球作自由下落(即平拋運動,只是此時的重力加速度不再是地球上的g),豎直下落的高度正好使得月球本沿著切線方向的軌道偏移到環繞地球的圓上,這就是詩人瓦萊里所說的只有牛頓一人“看到”月球正在往下掉.

此題是一個非常好的能幫助學生建立運動與相互作用觀念的費米問題,其中涉及到平拋運動和圓周運動,涉及到運動的合成與分解,涉及到牛頓第二定律和萬有引力定律.更關鍵的是,通過此題的估算,學生可以建立起完備的關于運動與相互作用的觀念,更能深度理解為何蘋果砸中牛頓腦袋對牛頓思索月球繞地球運動竟有啟發,能深度理解為何說牛頓統一了天上的運動和地面上的運動,也能用物理的語言來理解辛棄疾在《木蘭花慢 可憐今夕月》中的語句:“飛鏡無根誰系?姮娥不嫁誰留?”.

3.3 能量觀念的費米問題

能量觀念包括能量的各種形式、能量的轉移與轉化、能量的耗散、能量的守恒等4個二級主題.能量是物理學乃至整個自然科學領域最核心的概念之一.從機械運動中的動能、重力勢能,到熱物理學中提出的內能,再到電場和磁場中的靜電能、磁場能、電磁場能,這是對能量認識的一步步深化.自然界存在不同形式的能量,同時能量既不會無中生有,也不會自行消失,而只可由一種形態變化為另一種形態,即宇宙中的能量總量保持不變.更進一步,如何理解能量守恒前提下的有關能量耗散、能量品質、節約能源等問題?這些均需要給學生建立起完整的有關能量的觀念,能夠利用能量的觀念來分析和理解我們的物質世界,并在生活中養成節約能源的好品質.

例3.有句名言說到:“與其詛咒黑暗,不如燃起蠟燭”.普通蠟燭發出的光和手電筒燈泡相差無幾,但熱量要多得多.試估算普通燭光的功率大小.

蠟燭燃燒時間和蠟燭成分、形狀粗細、燭心粗細等因素有關.假設一支直徑為2 cm的圓柱形蠟燭,查閱可知燃燒1h后其蠟燭高度會降低約2 cm(數據也可以買一支蠟燭實測),即大約消耗掉6 cm3的碳氫化合物.蠟的密度略小于水,仍取1 g/cm3來計算,則1h的蠟燭燃燒量為6 g.查閱資料可知,碳氫化合物的燃燒熱約為5×104J/g.在1h內,燃燒的蠟燭將消耗6g,產生3×105J的能量.所產生的功率為

(8)

一根小小蠟燭燃燒功率竟與100 W燈泡相差不多,此結果與學生的感官猜想應有較大出入,教師可以引導學生畫出蠟燭燃燒過程中能量、物質轉化走勢圖來加深學生的能量觀念,加深諸如能量守恒、物質守恒、能量轉移和轉化(由化學能轉化為光能和熱能)等概念的理解.通過合理設計,還能引申到有關能量品質、熱力學第二定律的討論.

4 總結

“物理觀念”的形成需要經歷三個維度的發展,即從學習理解、應用實踐到遷移創新.[9]上面的3個題目均為典型的費米問題,均來源于生活,關注于物理現象本身.這些問題看似沒有或少有原始數據,但在估算過程中,均可以促進物理觀念的形成和建立,加深物理觀念的理解.在“物理觀念”、“科學思維”、“科學探究”、“科學態度與責任”等四個要素當中,“物理觀念”代表知識的內化,是其他幾個核心素養的基礎.[5]

由于費米問題的趣味性、生活性、數學計算的簡潔性,物理教師在進行教學當中,可以利用費米問題作為一種新型的教學嘗試,教師可以信手拈來,從周邊生活出發,選擇一些生活中常見的現象幫助學生們將所學習的有關物質、運動與相互作用、能量等概念的知識用于提升他們的“物理觀念”.[10]如根據劉慈欣同名小說改編的《流浪地球》電影中,關于利用地球氧氣引爆木星氫氣產生沖擊波幫助地球逃離木星引力的橋段,就涉及到物質、能量、運動與相互作用,完全可以用來設計成費米問題,讓學生分析其可行性、估算爆炸的總能量、能給地球增加多大的速度等等.費米問題能幫助學生們將學習的物理概念和知識融入常見的物理現象之中,進而提升他們的物理觀念.我們會繼續深入探究費米問題教學如何促進“科學思維”、“科學探究”、“科學態度與責任”等其他三個物理核心素養的培養.