加權平均值在高中物理中的應用

2019-10-08 09:16:10葉銀

中學物理·高中 2019年9期

葉銀

摘要：本文介紹了加權平均值與一般算術平均值的區別，區分對時間的平均值和對位移的平均值，明確常用的平均速度其實是速度對時間的加權平均值，利用平均速度可以快速求解常見的安培力沖量，巧解洛倫茲力沖量.

關鍵詞：加權平均值;平均速度;變力沖量

文章編號：1008-4134（2019）17-0060中圖分類號：G633.7文獻標識碼：B

初中階段學生已經掌握求勻速直線運動的位移、求恒力做功、求恒定電流的電荷量等問題的方法，那么又如何解決變速直線運動的位移、求變力做功、求變力的沖量等問題呢？用微分累積化“變”為“不變”可以很好地解決這類問題，但是在中學階段學生還未系統地學習微積分和微元法，對微分思想的認識還不夠深入，在處理實際問題時，應該盡量回避用微分思想解決問題.平均值是學生已經掌握的概念，求某個變化的物理量的平均值，實際上是找一個恒定的物理量，讓它的效果與該變化的物理量相同，實現“等效替代”.在物理學中涉及的平均值大多是加權平均值，由于學生對加權平均值的概念理解不夠，尤其是不能很好地區分對時間的平均和對位移的平均，在解決實際問題時經常容易混淆.

1 發現問題

例1 如圖1所示，水平放置的光滑平行導軌，固定在桌面上，導軌間距為L，處在豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場當中.桌子離開地面的高度為H.初始時刻，質量為m的M桿與導軌垂直且處于靜止，距離導軌邊緣為d.質量同為m的P桿與軌道垂直，以初速度v0進入磁場區域.最終兩桿先后落在地面上.已知兩桿的電阻均為R，導軌電阻不計，兩桿落地點之間距離為s.求M桿射出時，P桿運動的距離.

錯誤解法：根據題干條件可知，最終M桿的速度一定小于P桿.

設M桿平拋的水平距離為x，則P桿拋出的水平位移為x+s，根據平拋運動的規律和動量守恒定律有

H=12gt2

x=vMt

x+s=vPt

mv0=mvp+mvM

解得：vp=12（v0+sg2H），vM=12（v0-sg2H）

設M桿射出時，P桿運動的距離為xP，由于P桿和M桿所受的安培力大小始終相等，設安培力的平均值為安，對M桿應用動能定理有

安d=12mv2M

對P桿用動能定理有

-安xp=12mv2P-12mv20

兩式聯立，解得xP=4v20d-dv0+sg2H2v0-sg2H2

粗略一看，先用平拋運動的規律求出P桿和M桿拋出時的速度，再對P、M桿分別用動能定理，思路非常清晰.但經過深入分析，發現這里對安培力的平均值安的定義是模糊的.P桿和M桿所受的安培力時刻都相等，那么安培力的平均值是不是就一定相等呢？要搞清楚這個問題，就要先弄明白什么是平均值.

2 算術平均值和加權平均值

最簡單的平均值是算術平均值，是指一組數中所有數據求和再除以數據的個數.即

= x1+ x2+ x3+…+ xn n

比如有5個學生參加考試，得分分別是82、78、88、64、93，其平均分是

82+78+88+64+935=81

什么是加權平均值呢？舉個例子：某校有5個班級，編號為1班至5班，人數分別是32人、35人、32人、45人和30人.在某次考試中，1班至5班的平均分分別是82分、78分、88分、64分和93分，那么這5個班級的總平均分是82+78+88+64+935=81嗎？顯然不是，因為在用每個班的平均分之和再除以班級總數的時候，每個平均分對應的班級人數是不同的，因此，每個平均分所占的比重應該不同.平均分為64分的4班有45人，人數最多，顯然應該占有更多的比重，平均分為93分的5班有30人，人數最少，顯然應該占有較小的比重.

我們可以這樣來求所有學生的總平均分：

=32×82+35×78+32×88+45×64+30×9332+35+32+45+30

=79.54

物理量x的加權平均值一般表達式可以寫成

= w1 x1+ w2 x2+ w3 x3+ … + wn xn w1+ w2+ w3+ … + wn= ∑n1wi xi ∑n1wi

其中wi∑n1wi 代表xi所占的權重比.

3 直線運動中速度對時間的加權平均值

在求變速直線運動的位移時，高中階段常利用v-t圖象包圍的面積來處理.在處理時，先將整個過程分割成無數個子過程，每個子過程的時間分別是Δt1、Δt2、…Δtnn→∞.由于每個子過程的時間很短，可以用每個子過程的初速度vi來近似描述該子過程運動的快慢，整個過程速度對時間的加權平均值為

v-=v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtnΔt1+Δt2+…+Δtn

其中v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtn等于總位移 x，Δt1+Δt2+…+Δtn等于總時間t.根據平均速度的定義v-=xt可知，速度對時間的加權平均值其實就是平均速度，而由x=v-t可知，我們可以用速度對時間的加權平均值（以下簡稱平均速度）乘以時間來求總位移，如圖2所示.由于動生電動勢E=BLvsinθ和洛倫茲力f洛=qvBsinθ中都涉及速度v這個物理量，所以在其他物理量不變的情況下，動生電動勢、洛倫茲力對時間的加權平均值可以利用平均速度乘以時間來求.

4 區分對時間的加權平均值和對位移的加權平均值

由加權平均值的概念可知，用力對位移的加權平均值乘以位移可以求功，W=Fxx，用力對時間的加權平均值乘以時間可以求沖量，I=tt.但是在求解具體問題時，兩者容易混淆.

例2 質量為m=50kg的鐵錘從離木樁h=1.8m高處靜止下落，打到質量M=150kg的木樁上，鐵錘碰后不彈起，結果木樁被打入土中d=20cm深，求此過程中木樁受到土地的平均作用力.（不計空氣阻力，g取10m/s2）

解：從鐵錘開始下落到剛接觸木樁由動能定理有

mgh=12mv2

v=6m/s

鐵錘和木樁碰撞后不分開，根據動量守恒定律有

mv=m+Mv1

v1=1.5m/s

碰撞后到木樁靜止，由動能定理有

m+Mgd-Fd=0-12m+Mv21

解得：F=1325N.

例3 一鐵球，從靜止狀態由h=5m高處自由下落，然后陷入泥潭中，從進入泥潭到靜止用時t=0.5s，該鐵球的質量m=0.5kg，求泥潭對小球的平均作用力.（不計空氣阻力，g取10m/s2）

解：從鐵球開始下落到剛接觸地面由動能定理有

mgh=12mv2

v=10m/s

從接觸地面到靜止，根據動量定理有

mgt-Ft=0-mv

得F=15N.

例2和例3中看起來都是求平均作用力，但是例2中運用了動能定理，其中涉及的功是力的空間累積效應，所以以此求得的平均作用力是對位移的加權平均值;而例3中運用的是動量定理，其中涉及的沖量是力的時間累積效應，以此求得的平均作用力是對時間的加權平均值.如果不能很好地區分到底是對哪個變量的加權平均值，很容易張冠李戴.

我們再來分析例1：在求得P桿和M桿水平射出的速度后，對兩桿用動能定理時，式中的安應該用安培力對于位移的加權平均值.根據題意，任意時刻兩桿所受安培力大小始終相等，因此兩桿中的安培力對時間的加權平均值是一樣的，但是兩桿在任意相同時間內的位移不同，導致兩桿的安培力對位移的加權平均值是不一樣的，因此無法通過兩式消去安.

正確的解法：求得P桿和M桿拋出時的速度后，假設從開始到M桿射出時，P桿運動的距離為x，對P桿用動量定理有

-安t=mvP-mv0

其中，安為安培力對時間的加權平均值，由于B、L、R為常數，所以

安=BL

=2R

=BLv-P-v-M

代入動量定理方程可得

-BBLv-P-v-M2RLt=mvP-mv0

此處v-P和v-M應是P桿和M桿速度對時間的加權平均值，則

v-Pt=x