小學數學知識中的“悖論”

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摘要：本文通過運用小學數學知識，解釋學生在學習中或者網絡上遇到的一些所謂的“數學悖論”問題，例如經典的“阿基里斯追龜問題”，網絡上流行的“1=2”，“1元=1分”等問題。

關鍵詞：小學數學;悖論;解釋

悖論是指自相矛盾的命題，這個命題中隱含著兩個對立的結論，而這兩個結論都能自圓其說。（1）

一、阿基里斯追龜問題

悖論自古就有，下面舉一個大家耳熟能詳的悖論——“阿基里斯追龜”，它是古希臘哲學家芝諾提出的，內容如下：“阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，他的速度是烏龜的十倍，烏龜在前面100米跑，他在后面追，但他永遠也不可能追上烏龜?！?/p>

“什么？阿基里斯永遠也追不上烏龜？怎么可能，芝諾這個家伙的數學肯定是體育老師教的吧！”這可能是我們第一次看到這個問題的反應，我們肯定會想：這種問題小學生都會做，芝諾的結論肯定是荒謬的。那么接下來我們就試著把這個問題改造成一道小學數學里的題目吧。因為這個芝諾悖論的實質是說：如果慢跑者在快跑者前面一段距離開始跑，那么無論快跑者跑得有多快，都無法追上前面的慢跑者。于是我們可以把它改編成一道不失其本質的小學數學問題：“甲乙賽跑，甲每秒鐘跑1米，乙每秒鐘跑2米。如果甲在乙前面100米處開始跑，那么乙能不能追上甲？如果能，需要多長時間？”這道題對小學生來說都太簡單了，答案肯定是“能”。多長時間能追上呢？100÷（2-1）=100（秒），所以在他們開跑100秒后乙追上甲。

所謂“我不同意你的觀點，但我誓死捍衛你說話的權利”，雖然我們感覺芝諾的結論不值一駁，但我們也給他一個機會看看這個詭辯派是怎么說的吧！為了方便理解，我們就利用上面這道題的數據，將芝諾的意思闡述如下：因為甲在乙前面100米，所以乙要追上甲就必須先跑到100米這個地方，需要100÷2=50秒的時間，而此時甲已經前進了50米;于是乙又要向前跑50米需要25秒的時間，那么同時甲還會前進25米;當乙再花秒跑到甲剛才的位置的時候，甲又前進了一段距離到達了新的位置;再接下來的一次，乙需要花秒的時間到達甲剛才的位置……過程依此反復進行，雖然乙離甲的距離越來越接近，但是乙永遠也追上甲。

這么一想，芝諾講得似乎有點道理??！那同一個問題用不同的方法解釋，怎么會出現兩種完全不同的結論呢？我們用第一種方法算出來乙只用100秒的時間就能追上甲了，可用芝諾的方法去做“確實”永遠也追不上啊，而且他的方法從邏輯上講好像也沒有問題?。阂飞锨懊娴娜?，總要先跑到他剛才待的位置吧。那問題出在哪里呢，這也能用小學數學知識來解釋嗎？答案是肯定的，我們來回顧第二種方法的過程，雖然芝諾將乙追甲的過程分成了無數段，但是每一段所花的時間是一定的，一共用時：

50秒+25秒+秒+秒+…

我們用乘法分配律提取100秒，將上式化為100×（++++…）。

看！“++++…”多么熟悉的式子啊，這不就是人教版數學六年級上冊“數與形”中的知識嗎，這個算式的答案就是1，于是我們知道了即便是用芝諾的方法算，乙追上甲的時間仍然是100×1=100秒。雖然這個算式的項數是無限的，但它們的和卻是有限的。芝諾的錯誤在于，他直觀的認為在追擊的過程中如果段數被分成了無限份，所用的時間就是無限的，而事實并非如此。

二、“1=2”和“1元=1分”的神奇證明

咋一看，這道題好像計算沒有問題，但實際上這里的推導一開始就錯了，100分并不是等于“10分×10分”，而是等于“10×10分”。這個問題的迷惑性在于出錯的不是數字而是單位，在數學中“10米×10米=100平方米”等是有幾何意義的，而“10分×10分”等于什么呢？是100平方分嗎，那它的意義又是什么呢？所以，有一定小學數學常識的學生也知道，解決問題時要時常注意單位的統一性?！?00分≠10分×10分”，因為左右兩邊單位不一致。

另外，我們認為在小學數學的教學中，如果能在適當的時機引入上述“悖論”式的問題引發學生的數學思考，對我們的教學應當是有所助益的。這些問題本身有一定的難度，又帶有一定的趣味性，可以激發學生的學習熱情，也能讓學生感受到用自己所學知識解決問題的快樂，是數學拓展性課程不錯的選擇。

注釋：

https：//baike.baidu.com/item/數學悖論/551024？fr=aladdin