城市軌道交通箱梁中高頻導波特性分析

宋立忠， 郭 敏， 王欣欣， 李小珍

(1.西南交通大學 橋梁工程系，成都 610031；2. 華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，南昌 330013；3. 廣州地鐵設計研究院股份有限公司，廣州 510010)

近年來，隨著社會經濟的發展和城市化進程的加快，我國城市軌道交通行業快速發展。由于城市土地面積有限，為了充分利用城市空間，城市軌道交通系統多采用高架、地鐵等形式。城市軌道交通大多修建在人群聚集區域，這就難免引起振動和噪聲污染等一系列的問題。特別是城市軌道交通高架的振動和噪聲問題，經常引起沿線居民的投訴。

振動是噪聲產生的根源。橋梁低頻振動特性，與橋梁安全性和耐久性息息相關，國內外學者很早就開展了大量研究[1-5]；而橋梁中高頻振動特性，主要影響結構聲輻射特性，近年來才逐漸引起學者的關注。Ngai等[6]采用現場試驗結合有限元分析的方法對混凝土箱梁的振動和噪聲進行了研究，發現箱梁的中高頻彎曲振動模態是引起箱梁噪聲輻射的重要因素。Lee等[7]在實驗室內制作了混凝土箱梁縮尺模型，采用錘擊試驗結合有限元分析的方法對箱梁的中高頻振動模態進行了研究。常亮[8]對武漢軌道交通一號線25 m混凝土箱梁的振動和噪聲進行了試驗研究，并通過相干分析確定了對聲輻射貢獻較大的振動響應頻率范圍。高飛等[9]采用有限元法對軌道交通高架的振動和噪聲問題進行了研究，并討論了橋梁阻尼、支座剛度、行車速度和車輛荷載等參數的影響。李克冰等[10]結合車橋耦合動力分析和間接邊界元法研究了高速鐵路32 m簡支槽型梁的振動噪聲。Li等[11]采用功率流法研究了軌道交通混凝土橋中高頻振動和結構噪聲的優勢頻段，結果表明橋梁中高頻振動加速度的優勢頻段取決于單輪作用于彈性支承鋼軌上時的固有頻率。曾欽娥等[12]建立了軌道交通高架的解析梁模型和有限元模型，采用動柔度法計算了振動導納，研究了橋梁1 000 Hz以內的振動特性，并討論了支座剛度、截面形式、扣件剛度等參數的影響。劉林芽等[13]采用混合有限元-邊界元法分析了開孔的32 m箱梁車致振動聲輻射特性。李小珍等[14]基于現場錘擊試驗和有限元分析研究了高速鐵路32 m混凝土簡支箱梁的中高頻振動傳遞特性，并討論了板厚、截面形式和扣件參數等的影響。張迅等[15]對列車荷載作用下32 m混凝土簡支箱梁的中高頻振動特性進行了現場試驗研究，結果表明箱梁的最大振動速度級出現在31.5～80 Hz頻帶，振動峰值主要是由車輪-軌道系統固有頻率、與軸距相關的加載頻率、箱梁局部振動模態等因素決定的。張迅等[16]采用混合有限元-邊界元法研究了扣件剛度和扣件阻尼對鐵路箱梁車致振動聲輻射的影響。王黨雄等[17]對比了埋入式軌枕、梯形軌枕和鋼彈簧浮置板等軌道結構形式對混凝土箱梁中高頻振動特性的影響，發現鋼彈簧浮置板減振降噪效果最好，埋入式軌枕效果最差。

雖然國內外的學者對混凝土箱梁的中高頻振動特性進行了很多的研究，但與以往的研究不同的是本文從箱梁中導波傳播的角度對箱梁的中高頻振動機理進行了更加深入的探究。

波導結構是指在某一方向上幾何特性和材料屬性保持不變的結構。實際工程中有許多結構可以看作波導結構，例如鋼軌、輸油管道等。Mace等[18]提出了波導有限元法研究導波在波導結構中自由傳播特性的方法。Duhamel等[19]提出了波導有限元法研究外力作用下波導結構動力響應的方法。Waki等[20-21]基于波導有限元法建立了輪胎結構的運動方程，求解得到了輪胎中導波的頻散特性，研究了輪胎的導納特性并通過試驗進行了驗證。

以往的研究中，波導有限元法主要應用于鋼軌、輪胎等結構振動特性的研究，國內外尚未有針對橋梁結構中導波特性的研究。現實中，很多橋梁沿縱向幾何特性和材料屬性保持不變，因而可以近似看作波導結構，采用波導有限元的方法研究其振動特性。因此，本文采用傳統有限元法、波導有限元法結合現場錘擊試驗研究了城市軌道交通混凝土箱梁的中高頻振動特性，分析了箱梁中導波的頻散特性及其對箱梁中高頻振動特性的影響。

1 波導有限元法

1.1 導波的頻散特性

考慮沿y軸幾何特性和材料屬性保持不變的波導結構，將結構沿y軸平均劃分為N段，每一段長度為l，并假定導波沿y軸以e-jky的形式傳播，其中，j為虛數單位，k為波數。

首先，使用傳統有限元分析軟件ANSYS建立波導結構一個節段的有限元模型，如圖1所示，提取其質量、剛度和阻尼矩陣，其動力學方程可以寫成

Dq=f

(1)

式中：q為節點位移向量；f為節點力向量；D為動剛度矩陣

D=K+jωC-ω2M

(2)

式中：K，C和M分別為剛度矩陣、阻尼矩陣和質量矩陣；ω為圓頻率。

圖1 平均劃分為N段的波導結構Fig.1 Waveguide structure divided into N segments

將式(1)表示為矩陣形式

(3)

式中：下標L和R分別為左側截面和右側截面。

由于導波沿y軸以e-jky的形式傳播，因此左、右側截面的位移向量和節點力向量可以表示成

qR=λqL,fR=-λfL,λ=e-ikl

(4)

假設結構不受外力作用，在第n個節段和第n+1個節段相鄰的邊界上，根據力的平衡和位移協調條件，有

(5)

引入轉換矩陣T，使得

(6)

聯立式(3)和式(6)，將矩陣T表示為

(7)

聯立式(4)和式(6)，導波在結構中的傳播可以用如下特征值問題來描述

(8)

(9)

式中：位移向量q(λi)為該導波在橫截面上的波形,即導波模態。

將式(9)代入式(8)，得

Tφi=λiφi

(10)

同樣的，可將式(10)中的右特征向量替換為左特征向量，得

ψiT=λiψi

(11)

由式(10)和式(11)可得左、右特征向量的正交性

ψiφj=diδij

(12)

式中：di是不為0的任意常數，可將向量歸一化使得di=1；δij為Kronecker函數。

1.2 結構的動力響應

已知左、右特征向量的情況下，可得特征向量矩陣

(13)

若不考慮波在結構邊界處的反射，假設正向和反向傳播導波的幅值向量分別為e+和e-，則在外力的作用下，根據力的平衡和位移協調條件，可得

(14)

將式(14)兩側分別左乘左特征向量矩陣，可得

(15)

根據左、右特征向量的正交性，可得

(16)

若考慮波在結構邊界處的反射，對于波a+，在結構邊界處發生反射形成入射波a-，假設R為反射系數矩陣，則[22]

a-=Ra+

(17)

對于任意邊界條件，均可以表示為

Af+Bq=0

(18)

若為自由邊界，則A=1，B=O；若為固定邊界，則A=O，B=I。反射系數矩陣R可以表示為

(19)

假定波導結構沿y軸的長度為L，外力作用于y=ye處，如圖2所示，則激勵點處導波的幅值向量可以表示為不考慮波反射時導波的幅值向量和考慮波反射時入射波的幅值向量的和，即[23]

(20)

邊界處導波的幅值向量則可以表示為

(21)

式中：RL和RR分別為左、右邊界的反射系數矩陣；τ(y)為波傳播矩陣

τ(y)=diag(e-jk1y,e-jk2y,…,e-jkNsy)

(22)

聯立式(20)和式(21)，可得激勵點處導波的幅值向量

a+={I-τ(ye)RLτ(L)RRτ(L-ye)}-1×

{e++τ(ye)RLτ(ye)e-1}

a-=τ(L-ye)RRτ(L-ye)a+

(23)

任意位置yr處導波的幅值向量為

b+=τ(yr-ye)a+b-=τ(L-yr)RRτ(L-yr)b+

(24)

最終，可得任意位置yr處的節點位移向量和節點力向量

(25)

圖2 波導結構中的導波Fig.2 Wave propagating in a waveguide structure

2 錘擊試驗

2.1 試驗概況

錘擊試驗選取廣州地鐵四號線高架區間標準段采用的30 m單箱單室斜腹板混凝土簡支箱梁。圖3給出了箱梁跨中截面、1/2梁體縱剖面及測點布置示意圖，頂板寬9.3 m，底板寬4 m，梁高1.7 m，腹板傾斜度1/4，跨中截面頂板、底板厚均為0.25 m，腹板厚約0.3 m，支座縱向中心距28.8 m，橫向中心距2.8 m。頂板、腹板和底板厚度均在梁端附近稍有增大，箱內和梁端均未設橫隔板。振動傳感器V1和V2分別垂直粘貼于箱梁跨中(L/2)截面頂板中心和底板中心，頂板激勵點P1位于距跨中頂板中心約30 cm處，底板激勵點P2位于跨中底板中心；振動傳感器V3，V4和V5分別垂直粘貼于3L/8截面、L/4截面和L/8截面頂板中心，激勵點P3，P4和P5分別位于距V3，V4和V5約30 cm處。錘擊試驗中，為了激起橋梁結構振動，使用重達8 kg的LC1304B型力錘激振，選用鋼錘頭；使用INV3060S型智能信號采集系統同時采集錘擊力信號和振動信號。圖4給出了現場錘擊試驗的照片，圖4(a)為試驗對象廣州地鐵四號線30 m簡支箱梁；圖4(b)為測試人員在箱梁內使用力錘錘擊底板；圖4(c)為粘貼于箱梁內頂板上的振動傳感器。

2.2 試驗結果

錘擊力時程和頻譜曲線如圖5所示，錘擊力的時域峰值大約為30 kN，且錘擊力的頻譜衰減特性較好，適于研究測試結構800 Hz以內的振動特性。

圖3 箱梁尺寸及測點布置(mm)Fig.3 Dimensions of the box-girder and layout of measuring points (mm)

圖4 錘擊試驗照片Fig.4 Photo of the hammer excitation test

圖5 錘擊力時程和頻譜曲線Fig.5 Time-history and spectral curves of the hammer excitation force

錘擊頂板激勵點P1，采集頂板測點V1的振動響應，得到頂板的振動導納，可近似看作頂板的原點導納，如圖6(a)所示；錘擊底板激勵點P2，采集底板測點V2的振動響應，得到底板的原點導納，如圖6(b)所示。為了保證測試結果的有效性，每個激勵點均錘擊兩次。從圖上可以看出：頂板和底板的兩次實測導納結果均基本重合，證明了測試結果的有效性；頂板導納的優勢頻段約為80～120 Hz，峰值出現在88 Hz左右；底板導納的優勢頻段約為60～120 Hz，峰值出現在87 Hz左右。在城市軌道交通簡支箱梁設計和施工中，宜對該頻段采取必要的減振降噪措施，如使用減振扣件，鋪設減振墊等。

圖6 實測箱梁導納Fig.6 Measured mobilities of the box-girder

分別錘擊頂板激勵點P1，P3，P4和P5，采集頂板測點V1，V3，V4和V5的振動響應，得到順橋向各截面的頂板振動導納，每個激勵點均錘擊兩次并取平均值，如圖7所示。從圖上可以看出：順橋向各截面的頂板導納隨頻率的變化趨勢基本一致，說明各截面的振動特性基本相同。雖然L/8截面頂板厚度相對于其他截面略有增大，但厚度的變化對L/8截面頂板導納的影響幾乎可以忽略。因此，在建立箱梁的數值模型時，可以認為順橋向各截面的尺寸和材料屬性保持不變，即將其視為波導結構。

3 數值模擬

3.1 箱梁有限元模型

使用有限元軟件ANSYS建立30 m簡支箱梁的有限元模型，如圖8(a)所示。箱梁各板件采用空間四節點彈性殼單元來模擬，各板件厚度見圖8(b)。混凝土密度取2 500 kg/m3，二期恒載為76 kN/m，簡化為箱梁自重均勻施加到箱梁頂板和翼板上。

圖7 實測順橋向頂板導納Fig.7 Measured top slab mobilities along the box-girder

圖8 箱梁有限元模型(mm)Fig.8 Finite element model of the box girder(mm)

3.2 模型驗證

在箱梁模型跨中截面P1點(見圖8(b))施加單位簡諧力進行諧響應分析，得到跨中頂板中心V1點的導納；在箱梁模型跨中截面P2點施加單位簡諧力進行諧響應分析，得到跨中底板中心V2點(P2和V2為同一點)的導納。圖9給出了頂、底板導納的實測值和計算值的對比，其中實測導納用實線表示，計算導納用點劃線表示，另外，需要說明的是：實測導納為圖6中兩條實測曲線的平均值。從圖上可以看出：導納的實測值和計算值吻合較好，兩者隨頻率的變化趨勢基本一致，說明箱梁有限元模型能夠較為準確地預測箱梁中高頻振動響應。不過，兩者在部分頻率點處仍存在些許差異，這主要是以下原因導致的：一方面，箱梁在建模時進行了很多簡化處理，與實際箱梁存在一定差異；另一方面，計算箱梁導納時，荷載簡化為集中力的形式加載到箱梁模型上，與實際錘擊力加載方式存在一定差異。

4 波導有限元分析

基于對試驗結果的分析，箱梁頂、底板導納的優勢頻段分別為80～120 Hz和60～120 Hz。因此，本節以箱梁跨中截面為研究對象，提取箱梁有限元模型其中一個節段(見圖10)的質量、剛度和阻尼矩陣，使用Matlab編程對箱梁120 Hz以下的中高頻振動特性進行波導有限元分析。

圖9 實測和計算導納對比Fig.9 Comparison between measured and calculated mobilities

圖10 箱梁節段有限元模型Fig.10 Finite element model of one segment of the box girder

4.1 頻散特性

在固體介質中傳播的波分為彈性波、黏彈性波和塑性波三類。在有限介質中，由于邊界的存在，彈性波發生反射、折射等形成具有多模態和頻散特性的導波。由于箱梁符合波導結構的一般定義，因此在外力作用下，振動以導波的形式在箱梁中傳播。求解式(8)，得到若干特征值λi，每個特征值λi對應著一個波數ki，同時對應著一個特征向量，因此每個波數ki對應一個特征向量，特征向量反映了波數ki所代表的波的模態，將若干離散的頻率點下求得的波數以點的形式標注在以頻率為橫坐標、波數為縱坐標的平面內，得到箱梁中導波的頻率-波數頻散特性曲線，如圖11所示。圖中的每一條曲線代表一種導波模態，在120 Hz以內，箱梁內共出現了9種導波模態。低頻段，箱梁內傳播的導波模態種類較少，在20 Hz以下，僅存在4種導波模態，隨著頻率的增大，導波模態的種類逐漸增加，頻散特性也更為突出。需要注意的是，當兩條代表兩種相互耦合波形的曲線靠近時會發生“相斥偏轉”[24]的現象，發生“相斥偏轉”的兩條曲線會互換波形。例如，曲線B和C在15 Hz附近發生相斥偏轉；曲線C和F在45 Hz附近發生相斥偏轉。

圖11 箱梁頻散曲線Fig.11 Dispersion curves of the box girder

4.2 導波模態

頻散曲線中的每一個離散點都有對應的導波模態，在不發生曲線“相斥偏轉”的情況下，同一條曲線上的若干離散點所代表的導波模態相同。通過計算特征值(即波數)對應的特征向量(見式(9))，可以得到圖11中每一條曲線所代表的導波模態。圖12給出了圖11中標注的若干離散點所代表的典型導波模態。曲線A對應豎向彎曲波，在低頻段表現為橫截面的整體豎彎，在中高頻段則主要表現為兩側翼板的對稱彎曲；曲線B和C在低頻段分別對應橫向彎曲波和扭轉波，而曲線B在15 Hz附近與C發生相斥偏轉并互換波形后，在中高頻逐漸表現為兩側翼板的反對稱彎曲，曲線C則在15～45 Hz表現為與圖12(i)類似的截面橫彎，并在45 Hz附近與曲線F發生相斥偏轉后轉變為扭轉波；曲線D在120 Hz以下均對應縱波；曲線E從28 Hz左右開始傳遞，對應豎向彎曲波，主要表現為頂、底板的彎曲；曲線F從40 Hz左右開始傳遞，起初對應與圖12(f)類似的扭轉波，在45 Hz附近與曲線C發生相斥偏轉后逐漸轉變為橫向彎曲波；曲線G從55 Hz左右開始傳遞，對應橫向彎曲波；曲線H從60 Hz左右開始傳遞，對應豎向彎曲波，表現為頂、底、翼板的彎曲；曲線I從90 Hz左右開始傳遞，對應豎向彎曲波。

4.3 峰值導納的原因分析

通過式(23)計算頂、底板導納典型峰值頻率處(見圖9)箱梁導波的幅值向量，并將各峰值頻率處激發起的主要導波以列表的形式給出(見表1)。頂板計算導納最大值出現在88 Hz，與實測結果吻合，主要是由于豎彎波H被激發，波形與圖12(k)類似；另外，62 Hz, 109 Hz計算峰值(分別對應56 Hz，114 Hz實測峰值)同樣主要由于H波被激發；而31 Hz，38 Hz計算峰值(分別對應31 Hz，39 Hz實測峰值)則主要由于豎彎波E被激發，波形與圖12(h)類似。底板計算導納在59 Hz出現最大值，對應實測結果66 Hz峰值，79 Hz計算峰值則對應于實測結果的最大值(87 Hz)，這兩處峰值也是由于豎彎波H被激發； 97 Hz，120 Hz兩處計算峰值(分別對應101 Hz，116 Hz實測峰值)則主要由于豎彎波E被激發。

圖12 箱梁中傳播的導波模態Fig.12 Wave modes that propagate in the box-girder

通過以上分析，可以得出結論：兩種豎彎波E和H是引起箱梁中高頻振動峰值的主要波形。列車荷載同樣以豎向荷載為主，因而在列車荷載作用下，E和H兩種導波很容易被激發，導致箱梁中高頻振動和結構噪聲輻射峰值。在設計和施工時，可以采用單箱雙室梁取代單箱單室梁防止這兩種導波的出現，或者在單箱單室梁內增加橫隔板改變導波的傳遞路徑。

表1 峰值頻率處的主要導波

5 結 論

本文采用傳統有限元法、波導有限元法結合現場錘擊試驗研究了城市軌道交通混凝土箱梁的中高頻振動特性，分析了箱梁中導波的頻散特性及其對箱梁中高頻振動特性的影響。本文的主要結論如下：

(1)頂板導納的優勢頻段約為80～120 Hz，峰值出現在88 Hz左右；底板導納的優勢頻段約為60～120 Hz，峰值出現在87 Hz左右。

(2)在120 Hz以內，箱梁中共出現了9種導波模態，其中豎向彎曲波E和H是引起箱梁中高頻振動峰值的主要導波。

在軌道交通箱梁的設計和施工中，應針對箱梁中高頻振動的優勢頻段和引起箱梁中高頻振動的主要導波采取必要的減振降噪措施。