爆轟沖擊載荷作用下射孔段管柱動力響應分析

李明飛， 徐 緋， 竇益華

( 1. 西北工業(yè)大學 航空學院，西安 710072； 2. 西安石油大學 機械工程學院，西安 710065)

射孔作業(yè)過程中常發(fā)生射孔段管柱塑性彎曲、封隔器中心管斷裂及卡管柱等事故，影響勘探開發(fā)進程，威脅設備與人員安全。TLM油田DQ6井、DN2-27井、SC氣田L16井等重點探井射孔測試聯(lián)作結束后射孔段管柱出現(xiàn)了塑性彎曲；TLM油田KS101井、WC1井射孔測試聯(lián)作封隔器中心管斷裂；中石油重點風險探井JM1井、KS2井試油結束后，射孔段管柱和電子壓力計托筒卡在井下，被迫拔斷管柱，因此無法取得完整的試油資料[1-4]。美國Fort Worth盆地[5]、Arkoma 盆地[6]、墨西哥灣等的油氣開采也遇到射孔管柱失效事故。分析認為上述事故為聚能射孔爆轟壓力脈動及管柱振動所致。如何搞清射孔爆轟瞬間管柱的動力響應規(guī)律，搞清管柱的應力及其傳播規(guī)律，是亟待解決的問題。

由于問題的復雜性，爆轟沖擊作用下管柱動力響應方面的參考文獻較少，火炮動力學分析與后坐力分析的方法可以提供參考思路[7-8]，但是其研究基于的初始條件和邊界條件與射孔爆轟管柱動態(tài)響應均不相同，取得成果無法直接應用。文獻[9-10]在準確計算爆轟參數(shù)的基礎上，應用熱力學相關理論，分析射孔段峰值壓力、井底“口袋”處峰值壓力和封隔器處峰值壓力，得到射孔瞬間沖擊荷載，作用于管柱，基于管柱屈曲理論分析射孔段管柱的強度安全性，對射孔壓力、沖擊載荷及強度安全研究做了初步探索。Schlumberger公司采用非連續(xù)HP(H法-通過將誤差大的網(wǎng)格單元加密成多個子單元實現(xiàn)自適應，P法-保持網(wǎng)格不變，通過改變基函數(shù)的階實現(xiàn)自適應)自適應型有限單元法求解不可壓縮流體歐拉方程(Euler equation)和納維-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)，采用HP型伽遼金數(shù)值方法解決爆轟流體對流擴散問題，結合第一原理求解質量、動量和能量守恒方程，模擬射孔液運動及壓力脈動[11-13]。文獻[14-15]介紹了Halliburton公司在射孔壓力脈動方面的研究——用時間推進有限差分法模擬射孔液與管柱的流固耦合，預測射孔壓力脈動。

射孔段管柱的振動分析多集中在有限元模擬及地面實驗方面。文獻[16]設計了一套射孔段管柱動態(tài)載荷地面綜合測試系統(tǒng)，文獻[17]建立了地面模擬試驗測試系統(tǒng)，對射孔段管柱端部壓力和加速度響應進行測試。文獻[18]研究了射孔測試聯(lián)做工況下油管-減震器-射孔槍的動態(tài)響應機理，將減振器等效為有阻尼和彈簧的系統(tǒng)，根據(jù)力連續(xù)條件模擬三組件之間的相互作用，并通過水下模擬射孔實驗驗證。分析了射孔彈裝藥量、減震器數(shù)量、油管長度對油管和封隔器動態(tài)響應的影響。Schlumberger公司的Baumann等人利用數(shù)值模擬方法分析了沖擊載荷下井下管柱和工具的動力響應規(guī)律，但是，Schlumberger公司將其射孔壓力分析與實測技術視為核心機密[19-20]，其研究的可行性和適用性有待進一步確認。文獻[21]采用空間梁單元與彈簧單元求解油套間的非線性接觸問題，建立了管柱結構動力模型。應用 ANSYS 軟件分析射孔爆轟波作用下管柱徑向位移、軸力隨井深的變化規(guī)律。文獻[22]采用理論經(jīng)驗公式和 ANSYS/LS-DYNA有限元軟件，分析沖擊載荷下射孔管柱動力響應。文獻[23]采用時間推進有限差分法對射孔瞬間載荷沖擊及管柱動力響應進行了數(shù)值模擬分析，指出管柱動力響應以及由此引起的管柱失效是高溫高壓深井射孔技術面臨的重要問題。文獻[24]研制了與射孔槍相連的能量吸收減震器，并分析了減震器的存在對管柱振動特性的影響。

綜上所述，軍工和火工研究所基于的初始條件和邊界條件與射孔爆轟管柱動態(tài)響應均不相同，射孔爆轟工況更加復雜，取得成果無法直接應用。相關研究的核心技術是“黑匣子”，只提供商業(yè)軟件，無法獲取算法。本文首先基于振動力學懸臂梁理論，建立管柱管柱縱向振動微分方程并求解，得到管柱振動規(guī)律理論解。并應用Workbench模塊模擬射孔管柱動力響應過程，驗證理論算法，闡明射孔管柱動力響應規(guī)律，并通過固有頻率的對比來驗證有限元法的可靠性。分析得到射孔管柱速度、加速度和應力變化規(guī)律，可用以指導實際生產(chǎn)；并可為復雜邊界條件的水下爆炸理論研究提供參考。

1 射孔段管柱動力學模型建立

射孔段管柱在沖擊載荷下的動力響應是一個載荷劇烈、邊界條件苛刻、交界面多、流固耦合協(xié)同作用的復雜過程，本文應用振動力學懸臂梁理論[25]，考慮管柱自重及軸向沖擊載荷作用，建立管柱動力學模型，導出管柱縱向振動微分方程，應用分離變量法[26]求解，得到管柱振動固有頻率、主振型及位移響應表達式。

1.1 射孔段管柱物理模型描述

如圖1(a)所示，以封隔器處管柱端為固定端，管柱底端為自由端，射孔段管柱可簡化為懸臂梁模型。管柱軸線為x軸，原點在封隔器處，垂直向下為正方向。則由達朗貝爾原理可得

(1)

式中：橫截面上內力N=EA·?u(x,t)/?x，ρAdx·?2u(x,t)/?t2為微元上的慣性力；u(x,t)為管柱上距原點x處的截面在時間t時刻的縱向位移；f(x,t)為單位長度管柱的縱向作用力；L為管柱長度；c為黏性阻尼系數(shù)；v為相對速度，為x和t的函數(shù) 。如圖1(b)所示，在管柱上取長度為dx的微元體進行受力分析，ρ為管柱的密度；E為管柱材料的彈性模量；A為管柱橫截面積；N為截面上的內力。在式(1)左右兩邊同時除以ρAdx，得到管柱一維縱向振動微分方程

(2)

圖1 射孔段管柱動力學模型Fig.1 Mechanics model of perforating string

1.2 射孔段管柱邊界條件和初始條件的確定

封隔器處管柱受到約束作用，位移為零；管柱最底端為自由端，初始應力為零，管柱固定端和自由端處的邊界條件分別為

(3)

射孔之前管柱處于靜止狀態(tài)，初始速度為零；自重作用下的管柱會產(chǎn)生一定的伸長，若將自重視為外載荷，管柱處于原長的位置視為管柱的平衡狀態(tài)，則其初始位移為零，即初始條件為

(4)

2 射孔段管柱固有頻率與主振型分析

當管柱所受外載荷為零時，即令式(2)中的f(x,t)=0，得到管柱縱向自由振動方程

(5)

(6)

式中：k為常數(shù)。管柱邊界條件式(3)和式(6)構成了微分方程的特征值問題，只有當kρ/E>0(即k>0)時，式(6)才有非零解。令k=ω2，ω為正數(shù)，求解常系數(shù)齊次線性微分方程式(6)，可得管柱振動固有頻率和主振型分別為

(7)

(8)

式中：i為正整數(shù)(即i=1， 2， 3， …)；fi為各階固有頻率，Hz；ωi為各階固有角頻率，rad/s。

3 沖擊載荷下管柱動力響應基本方程分析

將爆轟沖擊波沿軸向作用于管柱自由端，將自重視為沿管柱軸向均勻分布的外載荷，則管柱的總外載為

f(x,t)=F(t)δ(x-L)+ρAg-cv(x,t)

(9)

式中：F(t)為沖擊載荷隨時間變化的函數(shù)；δ為單位脈沖函數(shù)。將式(9)轉化為正則坐標下的廣義力為

(10)

將管柱位移響應展開為正則振型無窮級數(shù)，可得沖擊載荷作用下射孔段管柱動力響應基本方程

(11)

式中：Ui(x)為主振型函數(shù)；fi為各階固有頻率；qi為沖擊載荷廣義力；τ為時間積分變量。結合式(10)和式(11)，可以用數(shù)值積分的方法求出管柱的位移響應。作者也考察了橫向沖擊載荷和扭轉沖擊載荷的影響，對管柱強度影響不大，從略。

4 射孔段管柱動力響應有限元分析

應用ANSYS有限元軟件的Workbench模塊，基于有限元瞬態(tài)動力學方法，以油田常用的27/8＂×5.51 mm P110油管為研究對象，建立射孔段管柱三維有限元模型，作用井下實測射孔沖擊載荷，應用后處理程序提取關鍵數(shù)據(jù)，分析管柱的動力響應規(guī)律，并通過固有頻率的對比來驗證有限元方法的可靠性。

4.1 射孔段管柱三維有限元模型的建立

模型管柱長度取20 m，管柱材料的彈性模量為2.06×1011Pa，泊松比為0.3，屈服極為758 MPa，密度為7.85 g/cm3。采用八節(jié)點六面體單元，用映射方式對劃分網(wǎng)格。封隔器下方3m處有2m長的減震器，作為一節(jié)彈簧考慮，如圖2所示。管柱有限元模型共有24 160個單元，169 200個節(jié)點。

初始時刻管柱僅受自重作用，不考慮射孔液對管柱振動的影響，速度和加速度均為零。通過井下射孔壓力監(jiān)測儀采集管柱脈動壓力，該壓力為實測得到?jīng)_擊載荷曲線經(jīng)線性回歸得到的載荷譜，施加于管柱，簡化后的載荷曲線如圖3所示。

圖2 射孔沖擊管柱有限元模型圖Fig.2 Finite element model of perforated impact string

圖3 射孔沖擊載荷曲線Fig.3 Curve of perforating impact pressure

4.2 射孔段管柱固有頻率解析解與有限元解對比與分析

運用ANSYS模態(tài)分析方法，如表1所示，得到射孔段管柱振動的前六階固有頻率，由式(7)計算得到固有頻率解析解。可以看出，管柱固有頻率的有限元解和解析解相近，平均相對差為4.18%。對于石油管工程，壁厚的制造誤差控制在12.5%以內就認為是合格產(chǎn)品[27]。也就是說，有限元解和解析解誤差不超過12.5%，即認為滿足工程精度要求。說明用有限元瞬態(tài)動力響應方法分析射孔段管柱動力響應，滿足工程精度要求。

表1 管柱振動固有頻率

4.3 射孔段管柱動態(tài)位移分析

圖4為管柱自由端與固定端位移隨時間變化曲線。固定端受到封隔器的約束作用，位移恒為零；自由端受到?jīng)_擊載荷作用，其位移隨時間周期性變化，周期約為15 ms，振動幅度隨時間逐漸減小。在0～30 ms，管柱處于壓縮振動狀態(tài)，隨后逐漸轉變?yōu)槔煺駝印? ms時，管柱壓縮長度達到最大值19.2 mm；95 ms時，管柱伸長達最大值9.1 mm，負號表示管柱壓縮，正號表示管柱伸長。Sanders等的分析結果表明，無減震器的射孔段管柱壓縮50.8 mm，安裝減震器后射孔管柱壓縮93.9 mm。將本文與Sanders等研究中的管柱截面尺寸、長度、射孔彈炸藥裝藥密度、裝藥質量、射孔彈數(shù)進行比例換算后，本文射孔段壓縮折算系數(shù)為2.49，射孔段折算壓縮48.1 mm，與Sanders等的研究誤差為5.3%。采用同樣的折算方法，本文與文獻[28]的管柱壓縮長度相差5.7%。

圖4 自由端與固定端位移Fig.4 Deformation of constraint end and free end

4.4 射孔段管柱速度與加速度對比與分析

圖5為管柱上不同位置振動速度隨時間變化的曲面，50 ms內出現(xiàn)了三個速度波峰和三個速度波谷，波峰之間的間隔約為16 ms，最大速度為9.5 m/s。同一時刻，管柱上位置從0 m變化到20 m，振動速度逐漸增大，越靠近封隔器端(0 m處)，管柱振動速度越小。在同一位置，速度隨時間周期性變化，越靠近管柱底端，幅值越大。Sofrygina等只是給出了位移隨時間的變化關系曲線，據(jù)此可以推算出管柱最大速度為1.9 m/s，應用與5.3同樣的這算方法，文獻[29]折算后的最大速度為8.8 m/s，二者相差7.4%。

圖5 管柱振動速度隨時間變化曲面Fig. 5 Curves of the vibration speed of pipe string with time

管柱上不同位置處加速度響應曲面如圖6所示，在50 ms內出現(xiàn)三個加速度波峰，加速度峰值約為3 500 m/s2，波峰之間的時間間隔約為16 ms。0 m處管柱受到封隔器的約 束作用，加速度一直保持為零；同一時刻，從0 m變化到20 m，振動加速度逐漸增大，在管柱底端加速度達到最大值。在同一位置，加速度隨時間周期性變化，越靠近管柱底端，幅值越大。同樣的，Sofrygina等只是給出了位移隨時間的變化關系曲線，據(jù)此可以推算出管柱最大加速度，采用同樣的折算方法，本文與Sofrygina等研究中的管柱加速度相差7.8%。

圖6 管柱振動加速度隨時間變化曲面Fig. 6 The vibration acceleration of pipe string with time changing surface

圖7和圖8分別為管柱自由端與固定端速度和加速度隨時間變化曲線。由圖可知，固定端受到封隔器的限制作用，其速度、加速度均為零；自由端的速度、加速度均隨時間按周期15 ms變化。45 ms時，自由端速度達到最大值5.45 m/s；10 ms時，加速度達到最大值2.85 km/s2；速度、加速度幅值均隨時間逐漸減小。

圖7 自由端與固定端速度Fig.7 Velocity of constraint end and free end

圖8 自由端與固定端加速度Fig.8 Acceleration of constraint end and free end

4.5 射孔段管柱等效應力分析

沖擊載荷作用于管柱后以彈性應力波的形式沿管柱傳播，引起管柱的應力變化。如圖9(a)所示，4 ms時，應力波傳到管柱約束端；如圖8(b)所示，23.6 ms時，等效應力達到最大值305.5 MPa，管柱截面上的應力分布并不均勻，等效應力沿徑向逐漸增大，在管柱外表面達到最大值。

圖10為管柱自由端和固定端最大等效應力隨時間變化曲線。自由端等效應力曲線與沖擊載荷曲線趨勢相同，數(shù)值差別不大。固定端最大等效應力遠大于自由端，按周期15 ms變化，幅度逐漸減小。4 ms以內，固定端最大等效應力由自重產(chǎn)生，變化不大；4 ms時應力波傳至此處，等效應力突然增大，23.6 ms達到最大值305.5 MPa。與本文相關的權威文獻[10-13]和文獻[25-26]給出了射孔液的壓力脈動規(guī)律，但是并未給出管柱各截面的應力變化規(guī)律，所以本文給出的應力變化規(guī)律可通過井下實測來獲取數(shù)據(jù)，驗證準確性，作為本文后續(xù)研究的重點。

圖9 t=4 ms和t=23.6 ms時約束端von-Mises應力云圖Fig.9 Von-Mises stress of the constraint end at the time of 4 ms and 23.6 ms

圖10 自由端與固定端最大等效應力Fig.10 Maximum von-Mises stress of constraint end and free end

4.6 射孔段管柱應力波傳播規(guī)律分析

如圖11所示，為搞清管柱內應力波的傳播規(guī)律，分析了0.01 ms，1 ms，2 ms，3 ms和4 ms時管柱最大等效應力的軸向分布情況。初始時刻，管柱只承受自重，等效應力較小，1 ms，2 ms，3 ms和4 ms時，應力波傳到14 m，9 m，4 m和0 m(封隔器)處，據(jù)此可估算應力波在管柱內的傳播速度約4 930 m/s，與前面分析的理論計算值5 123 m/s較接近。

5 裝藥質量和密度及射孔段長度的影響分析

以真實L101井為例，考察射孔彈裝藥密度、裝藥質量和射孔段長度對管柱和封隔器處的應狀態(tài)的影響。射孔段油管采用Ф73×7.82 mmP110級油管，油管外徑73 mm，油管內徑57.36 mm。射孔段套管外徑127 mm，內徑102.72 mm。L101井的射孔段深度為5 945～5 968 m射孔段長度23 m，距離封隔器距離為41.5 m。采用了DP36HMX25-6型射孔彈；單發(fā)裝藥量25 g；裝藥密度1.69 g/cm3；射孔參數(shù)為89槍、102彈、相位角：60°、孔密：16孔/m。

圖11 不同時刻管柱最大等效應力軸向分布曲線Fig.11 Curve of maximum von-Mises stress along the string at different time

5.1 裝藥密度對管柱強度安全性影響分析

其他參數(shù)保持不變，改變射孔彈裝藥密度，應用理論算法，分析裝藥密度對管柱強度安全性的影響規(guī)律。相關的計算結果如圖12所示。可以看出，裝藥密度增加，封隔器處峰值壓力和油管峰值應力增加，在射孔彈裝藥密度超過1.9 g/m3以后，封隔器處峰值壓力和油管峰值應力增幅變緩，裝藥密度影響變小。

圖12 裝藥密度影響分析曲線圖Fig.12 Diagram of influence analysis of charge density

5.2 裝藥量對管柱強度安全性影響分析

其余參數(shù)不變，分析裝藥量改變對管柱強度安全性的影響規(guī)律。相關的計算結果如圖13所示。可以看出，裝藥密度增加，封隔器處峰值壓力和油管峰值應力增加，射孔彈裝藥量超過40 g以后，封隔器處峰值壓力和油管峰值應力增幅變緩，裝藥量影響變小。

圖13 裝藥量影響關系曲線圖Fig.13 Influence relation diagram of loading capacity

5.3 射孔段長度對管柱強度安全性影響分析

其他參數(shù)保持不變，分析射孔段長度對管柱強度安全性的影響規(guī)律。相關的計算結果如圖14所示。可以看出，射孔段長度從15 m增加到27 m，封隔器處峰值壓力由299.6 MPa增加到335.4 MPa，增幅11.9%。油管峰值應力由745.1 MPa增加到790.6 MPa，增幅6.1%，增幅不大。

圖14 射孔段長度影響關系曲線圖Fig.14 Effect of the length of the perforation section

6 結 論

分析了管柱的動力響應規(guī)律，得到以下結論。

(1)應用振動力學懸臂梁理論，考慮管柱自重及軸向沖擊載荷作用，建立管柱動力學模型，導出管柱縱向振動微分方程，應用分離變量法求解，得到管柱振動固有頻率、主振型及位移動力響應表達式。

(2)管柱固有頻率有限元和解析解相近，平均相對差4.18%，不超過5%，說明用有限元瞬態(tài)動力響應方法分析射孔段管柱動力響應，滿足精度要求。

(3)位移、速度、加速度的變化幅值與文獻[10-13]和文獻[25-26]給出的變化幅值相差不超過10%，說明本文分析方法具有一定的適用性。

本文首次給出了沖擊載荷作用下射孔段管柱不同時刻的各個截面的應力及其變化規(guī)律，現(xiàn)有文獻均未給出。但是，包括管柱位移、速度、加速度、射孔液壓力脈動和管柱應力需要通過井下實測的方式來獲取實際參數(shù)。目前作者團隊正在研制射孔管柱震動井下測試器，以驗證本文算法。

考慮作為固壁約束的套管、彈性約束的射孔段管柱、射孔液、發(fā)生爆炸的射孔彈炸藥及發(fā)生固液相變的藥型罩之間的流固耦合，模擬爆轟、相變、大變形過程中的管柱位移、速度、加速度、射孔液壓力脈動和管柱應力變化規(guī)律，將是有意義的嘗試。