考慮溫黏熱效應的滑動軸承-轉子系統動態響應分析

趙道利， 馬曉棟， 孫維鵬， 萬天虎， 羅興锜

(1. 西安理工大學 水利水電學院，西安 710048； 2. 西安理工大學 省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室，西安 710048；3. 國網陜西省電力公司電力科學研究院，西安 710100)

滑動軸承-轉子系統在高速運轉工作時，軸承裝配部件和潤滑系統的復雜性影響著潤滑油熱量的逸散，油溫的不穩定變化會引起黏度的變化，這種溫黏熱效應很容易引起潤滑油油膜的不穩定工作，危害到機組的安全運行[1]。

近些年學者們在關于滑動軸承的熱力學建模，計入熱效應的油膜潤滑性能的分析方面進行了諸多研究[2-7]。童寶宏等[8]對徑向滑動軸承進行試驗發現，荷載變化對軸承溫度的影響較小，而轉速變化對軸承溫度的影響較為顯著。張永芳等[9]基于多參數原理求解了紊流滑動軸承的油膜承載力，分析發現此方法在較大偏心率和荷載條件下最為適用。于桂昌等[10]采用Fluent軟件計算了雙油槽圓形軸瓦滑動軸承中油膜的壓力分布，發現進油壓力對油膜力影響較大，而油膜力與轉速呈現出明顯的非線性關系。張彥梅等[11]采用新的非穩態油膜軸承-轉子系統，發現該系統在臨界轉速附近的主共振區和超臨界轉速的油膜振蕩區內分別存在碰摩現象，但當超臨界轉速足夠高時碰摩會消失。劉長利等[12]研究了碰摩和油膜耦合故障的轉子系統在不平衡量-轉速、碰摩間隙-轉速參數域內的分岔和失穩規律，發現碰摩會使得發生油膜渦動的失穩轉速較高。

在滑動軸承非線性油膜力的主要計算方法中，解析法是在Gumbel油膜邊界條件假設下，推導出一種無限長或無限短軸承非線性油膜力具體的數學表達式，便于從理論上對轉子-軸承系統動態響應進行分析[13]。張偉忠等[14]對無限短軸承模型、無限長軸承模型、非穩態短軸承模型和直接采用有限差分數值法解Reynolds方程的計算結果進行了對比分析后發現，在長徑比很小的情況下,采用無限短軸承和非穩態短軸承兩種模型與數值有限差分法計算出的非線性油膜力數值相比誤差很小。Sun等[15]采用非穩態短軸承模型研究了單種潤滑油在溫度變化下的轉子動態響應，但未分析不同潤滑油型號對轉子二階臨界轉速附近運動形態的影響。因此，本文擬采用無限短軸承模型，利用Walther黏度-溫度經驗公式[16]，建立考慮油膜溫度影響的轉子-軸承系統的數學模型，推導出短軸承油膜力的計算公式，研究滑動軸承使用不同型號潤滑油以及油膜溫度變化時轉子-軸承系統的動態響應，并著重分析系統在二階臨界轉速附近由油膜力引起的非線性現象，為旋轉機械的非線性動力學分析提供參考。

1 系統模型

圖1為經典的采用滑動軸承支承的對稱單質量彈性轉子力學模型，其中Or為轉子的幾何中心，Om為轉子質心，r為軸頸半徑，c為軸頸軸承間隙，e為圓盤的質量偏心距，R和L分別是滑動軸承的內徑和寬度。

圖1 轉子-軸承系統示意圖Fig.1 The schematic of rotor-bearing system

為了簡化方程，不考慮轉軸運動中的扭轉振動和陀螺力矩，軸承-轉子系統采用兩端軸對稱結構，將轉軸假設為無質量彈性軸。則轉子軸承系統運動的微分方程為

(1)

式中：Xb，Yb和Xr，Yr分別為軸承和轉子在X，Y方向的位移；Mb為單個滑動軸承質量；Mr為轉子質量；cb為軸承的結構阻尼；cr為轉子的結構阻尼；ks為轉軸剛度；Kb為軸承剛度。FX和FY是非線性油膜力在X和Y方向的分量，對方程進行無量綱化處理，令

可得無量綱化之后軸承-轉子系統的微分方程

(2)

2 短軸承油膜力

采用Gumbel油膜邊界條件，即油膜間隙收斂區存在完整油膜，擴散區油膜完全破裂，油膜壓力、厚度和壓力范圍示意圖如圖2所示。其中：Ob，Oj分別為軸承內瓦和軸頸的幾何中心；ω為轉子轉速；δ為軸頸偏心距；φ為油膜的最大最小厚度線對應的角度；θ為油膜上某一點與最大最小油膜厚度線的夾角；h為油膜厚度；p為油膜壓力。

圖2 油膜壓力、厚度和壓力范圍示意圖Fig.2 Schematic diagram of the oil-film pressure, thickness and pressure range

研究中用到雷諾方程和短軸承原理，先給出直角坐標系下的雷諾方程[17]

(3)

式中：X=rθ；U=rω；h=c(1+εcosθ)；ε=δ/c。

應用短軸承原理，假設油膜壓強p在軸向的變化率要遠大于周向的變化率，且忽略滑動軸承潤滑油的端泄影響，可以近似認為

可得油膜壓強分布的表達式

(4)

油膜對軸頸的徑向和切向上產生的油膜力通過在軸頸上的積分區域來計算，則可得到軸頸上所受的徑向油膜力和切向油膜力的表達式

(5)

將軸頸上所受的油膜力轉化在X，Y坐標系上，再由軸頸所受力的平衡條件可得

(6)

結合式(5)和式(6)，再進行無量綱化處理后可以解得[18]

(7)

(8)

3 潤滑油溫度-黏度關系表達式

早在19世紀80年代開始，學者們對潤滑油黏度隨溫度的變化進行了廣泛的研究，至今由試驗數據總結的經驗公式已有數十個[19-20]。本文采用Walther公式來研究潤滑油的溫黏熱效應，其表達式為

lg·lg(v+0.7)=a-b·lgT

(9)

式中：v為潤滑油運動黏度；T為潤滑油的溫度；a，b為由潤滑油品類決定的常數，油膜力中所用的動力黏度μ等于運動黏度v與潤滑油密度ρ0的乘積。圖3為應用該理論公式得到的HKD-1型航空潤滑油，4019型合成航空潤滑油和143AA型航天潤滑油的動力黏度和溫度之間的理論關系圖。對比文獻[21]中的實驗數據發現，該理論能很好地和實驗吻合，適用于研究潤滑油溫變對滑動軸承-轉子系統動態響應的影響。

圖3 三種潤滑油運動黏度隨溫度變化曲線Fig.3 Kinematic viscosity curves of three lubricants with temperature

潤滑油品類ab143AA9.689 93.811 8HKD-18.974 73.554 440198.526 13.382 1

4 結果及分析

采用四階Runge-Kutta法對該軸承-轉子系統微分方程式(2)、式(7)和式(8)聯立進行數值求解，得到轉子系統的軸心軌跡圖、Poincaré圖、頻譜圖、瀑布圖以及分岔圖，研究油膜溫度變化對軸承-轉子系統的影響，尤其是考慮油溫變化對系統發生油膜渦動和油膜振蕩的影響。為了避免由初始條件造成的瞬態擾動，本文采取500～700周期的穩定解來對系統的非線性現象進行研究。

4.1 不同品類潤滑油對轉子振動特性的影響

滑動軸承在實際工作中的潤滑油進油溫度約為T=20 ℃左右，出油溫度不宜高于T=60 ℃。本文首先研究滑動軸承工作中潤滑油溫度較高的情況，分析油膜溫度在T=50 ℃時不同品類潤滑油對轉子系統的影響。

圖4為隨轉子質量變化的轉子無量綱化橫向振幅圖，轉子質量取25～40 kg時，發現三種潤滑油作用下的轉子橫向振幅的變化趨勢是一致的。即隨著轉子質量的增大，轉子橫向振動幅度先是逐漸減小，之后隨著轉子質量的增大而增大。但使用143AA、HKD-1和4019型潤滑油的轉子振幅達到最小值時各自對應的轉子質量約為32.1 kg，28.4 kg，28.1 kg。

圖4 隨轉子質量變化的轉子振幅圖Fig.4 Amplitude diagram of the rotor with the rotor mass

圖5是隨轉子質量偏心距變化的轉子無量綱化橫向振幅圖，從圖中可以看出質量偏心距從零開始增加，轉子振幅先不斷增大。但質量偏心距作為重要的系統參數，它的改變會對支承轉子運行的非線性油膜力產生很大影響，進而影響整個系統的穩定性。所以隨著質量偏心距的繼續增加，在接下來很小的范圍內，轉子振幅會下降，系統會有一個達到局部最優狀態的趨勢，最終在最優狀態時振幅最小。此后，隨著質量偏心距的進一步增加，轉子振幅又與質量偏心距呈線性關系持續增大。但使用143AA，HKD-1和4019型潤滑油的轉子振幅達到最小值時，對應的無量綱化轉子質量偏心距約為1.54×10-4，1.91×10-4和1.92×10-4，可見使用不同溫黏常數潤滑油的轉子運動時對應的最優工作參數不同。

圖6為油膜溫度在T=50 ℃時分別使用143AA、HKD-1和4019型潤滑油的轉子位移隨轉速變化的分岔圖。經對比發現，使用HKD-1和4019型潤滑油的轉子系統運動形態比較相近，而使用143AA型潤滑油因為在同等溫度下比其他兩種潤滑油的黏度要大得多，潤滑油黏度較大會使得油膜過厚，油膜的承載能力下降，使得轉子在較低轉速運行時的運動會更加復雜，呈現出圖6(a)中所示的擬周期運動狀態。

圖5 隨轉子質量偏心距變化的轉子振幅圖Fig.5 Amplitude diagram of the rotor with the rotor mass eccentricity

當轉速在二階臨界轉速附近時，轉子運動開始變得極不穩定，而此后連續的一段轉速范圍內轉子還將處于混沌或者擬周期運動，具體的運動形態還要根據時域圖、軸心軌跡圖、Poincaré圖、頻譜圖來確定。而使用溫黏常數較大的143AA型潤滑油的轉子經歷的不穩定區間要小得多，可見溫黏常數較大的潤滑油有利于轉子提早渡過在二階臨界轉速附近的不穩定狀態。所以轉子的工作轉速若在高轉速范圍時，選用溫黏常數較大的潤滑油比較適宜。

圖6 油膜溫度T=50 ℃時使用不同型號潤滑油的轉子隨轉速變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the rotor response varied by the rotational speedwith different oils at T=50 ℃

本文將著重對使用143AA型潤滑油的轉子動態響應進行研究。經綜合考慮后，軸承-轉子系統使用的主要參數如表2所示。

表2 軸承-轉子系統模型參數

4.2 潤滑油溫度變化對轉子系統運動的影響

143AA型潤滑油溫度T=50 ℃時軸承和轉子系統隨轉速變化的分岔圖，如圖7所示。從圖中明顯看出，轉子在0 rad/s<ω<240 rad/s低轉速范圍內的運行并不穩定，而軸承運動相對穩定。此后轉子的運動形態與軸承類似，在240 rad/s<ω<770 rad/s轉速范圍內，轉子-軸承系統在做穩定的1-T周期運動。隨著轉速增加，轉子-軸承系統進入一個半分岔運動。隨著轉速的升高，系統在轉速區域約為1 360 rad/s<ω<1 750 rad/s內發生混沌或擬周期運動。

圖7 油膜溫度T=50 ℃時軸承、轉子隨轉速變化分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of the bearing/rotor response varied by the rotational speed with the oil-film temperature T=50 ℃

結合圖8中的軸承和轉子的瀑布圖可以看出轉速在0 rad/s<ω<240 rad/s時轉子出現油膜渦動現象，這也是轉子會在這段轉速范圍內發生不穩定運動的內在原因。隨著轉速繼續升高，系統在轉速ω=770 rad/s開始出現油膜渦動現象，并且一直延續到ω=1 360 rad/s，而后系統在轉速1 360 rad/s<ω<1 750 rad/s時出現油膜振蕩現象。圖9是ω=1 450 rad/s時轉子的時域圖、軸心軌跡圖、Poincaré圖和頻譜圖，明顯看出轉子運行的軸心軌跡并不規則，Poincaré圖中呈現很多不規律分布的點，頻譜圖中出現0.5倍頻和1倍頻，并且0.5倍頻附近出現了很多分頻，表明轉子由于油膜振蕩的內在原因而處于混沌運動狀態。

圖8 油膜溫度T=50 ℃時軸承和轉子隨轉速變化瀑布圖Fig.8 Cascade spectrum of the bearing/rotor response varied by the rotational speed with the oil-film temperature T=50 ℃

圖9 ω=1 450 rad/s時轉子的時域圖，軸心軌跡圖，Poincaré圖和頻譜圖Fig.9 Time history, phase portrait, Poincaré section and power spectrum of the bearing response at ω=1 450 rad/s

當潤滑油溫度下降至T=30 ℃時，軸承和轉子位移隨轉速變化的分岔圖如圖10所示。從圖中明顯看出，和油膜溫度T=50 ℃條件下運行狀態相比，低轉速運行時轉子進入穩定的1-T周期運動的轉速從ω=240 rad/s上升至ω=350 rad/s，說明當油膜溫度較低時不利于轉子在低轉速下運行。隨著轉速的升高，轉子發生混沌或擬周期運動的轉速區域約為1 360 rad/s<ω<1 430 rad/s。圖11是轉速在ω=1 420 rad/s時轉子的時域圖、軸心軌跡圖、Poincaré圖和頻譜圖，此時轉子運行的軸心軌跡并不穩定，但是呈現出一定的規律性，Poincaré圖中點的分布呈現為一個圈，頻譜圖中僅出現0.5倍頻和1倍頻，這是典型的擬周期運動特征，即轉子在轉速ω=1 420 rad/s時便進入擬周期運動，其經歷混沌和擬周期運動的高轉速范圍大大縮減。圖12是T=30 ℃時軸承和轉子的瀑布圖，從圖中看出在0 rad/s<ω<350 rad/s和1 360 rad/s<ω<1 430 rad/s內，轉子發生油膜渦動現象，和油膜溫度T=50 ℃條件下運行狀態相比，油膜振蕩消失，表明一定的低溫有利于系統提早渡過二倍臨界轉速附近的不穩定狀態。結合圖13可以看出當轉子在低轉速下運行，轉速ω=300 rad/s時，建議潤滑油溫度保持在38 ℃以上時較為適宜。

圖10 油膜溫度T=30 ℃時軸承、轉子隨轉速變化分岔圖Fig.10 Bifurcation diagrams of the bearing/rotor response varied by the rotational speed with the oil-film temperature T=30 ℃

圖11 ω=1 420 rad/s時轉子的時域圖，軸心軌跡圖，Poincaré圖和頻譜圖Fig.11 Time history, phase portrait, Poincaré section and power spectrum of the bearing response at ω=1 450 rad/s

圖12 油膜溫度T=30 ℃時軸承和轉子隨轉速變化的瀑布圖Fig.12 Cascade spectrum of the bearing/rotor response varied by the rotational speed with the oil-film temperature T=30 ℃

圖13 轉速ω=300 rad/s時轉子隨溫度變化分岔圖Fig.13 Bifurcation diagram of the rotor response varied by the oil-film temperature at ω=300 rad/s

隨著油膜溫度升高到T=100 ℃，軸承和轉子位移隨轉速變化的分岔圖如圖14所示。從圖中明顯看出轉子在低轉速下進入穩定的1-T周期運動的臨界轉速降低，約為ω=110 rad/s，說明油膜溫度的升高時有利于轉子在低轉速下運行。隨著轉速的升高，轉子發生混沌或擬周期運動的轉速區域約為1 530 rad/s<ω<3 610 rad/s。圖15是轉速在ω=2 220 rad/s時轉子的時域圖、軸心軌跡圖、Poincaré圖和頻譜圖，顯然轉子運動的軸心軌跡較為復雜，不具備規律性，Poincaré圖中點的分布呈現出花朵狀，頻譜圖中出現0.3倍頻、0.5倍頻和1倍頻，說明此時轉子-軸承系統在做介于擬周期和混沌之間的概周期運動。

圖14 油膜溫度T=100 ℃時軸承、轉子隨轉速變化分岔圖Fig.14 Bifurcation diagrams of the bearing/rotor response varied by the rotational speed with the oil-film temperature T=100 ℃

圖15 ω=2 220 rad/s時轉子的時域圖，軸心軌跡圖，Poincaré圖和頻譜圖Fig.15 Time history, phase portrait, Poincaré section and power spectrum of the bearing response at ω=2 220 rad/s

圖16是軸承和轉子在油膜溫度T=100 ℃的瀑布圖，可以看出此時發生了油膜振蕩現象。相比于油膜溫度T=50 ℃條件下系統的運行狀態，高溫下轉子經歷混沌運動的高轉速范圍大大延長，可見過高的油溫對高轉速運行轉子系統的有很大危害。結合圖17可以看出當轉子的運行轉速ω>1 400 rad/s時，潤滑油溫度保持在27 ℃以下時較為適宜。

圖16 油膜溫度T=100 ℃時軸承和轉子隨轉速變化瀑布圖Fig.16 Cascade spectrum of the bearing/rotor response varied by the rotational speed with the oil-film temperature T=100 ℃

圖17 轉速ω=1 400 rad/s時轉子隨溫度變化分岔圖Fig.17 Bifurcation diagram of the rotor response varied by the oil-film temperature at ω=1 400 rad/s

5 結 論

本文建立了滑動軸承-轉子系統的動力學模型，采用修正后的Walther經驗公式作為研究潤滑油黏度隨溫度變化的理論公式，應用數值方法分析了油膜溫度變化對轉子系統運動的影響，研究了不同品類潤滑油作用下轉子運動的非線性動力學行為，得到了如下結論：

(1) 比較三種不同品類潤滑油在變參數情況下的轉子橫向振幅圖和分岔圖，發現溫黏系數較大的潤滑油對轉子在二階臨界轉速附近的擬周期和混沌運動有很好的抑制作用。

(2) 在低轉速階段，隨著潤滑油溫度的升高，轉子發生擬周期運動的轉速范圍逐漸減小，即較高的潤滑油溫度有利于轉子在低轉速的穩定運行。

(3) 在二階臨界轉速附近，隨著潤滑油溫度的升高，轉子經歷擬周期和混沌運動的轉速范圍大大延長，即過高的油溫對高轉速運行轉子系統的運行有很大危害。