振動響應傳遞率及其工作模態分析方法綜述

李星占， 岳曉斌， 黃 文， 董興建， 彭志科

(1.中國工程物理研究所 機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621900；2. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

模態分析在實際的工程應用中有著重要的意義，它可以評價現有結構的動態特性，避免共振，控制噪聲，為結構的優化設計提供指導[1]。傳統上獲得結構模態特性的實驗方法為實驗模態分析(Experimental Modal Analysis, EMA)。通常使用模態力錘或激振器激勵結構，使用傳感器采集結構的響應；根據定義，計算結構的頻響函數；根據辨識算法，獲得模態參數(固有頻率、模態阻尼和模態振型)。在實際應用中，EMA的應用有很大的局限性：需要結構的激勵信號。但是，鑒于結構的特點與工作環境，一些結構很難人為的激勵或者激勵信號無法測試，如橋梁由于結構太大無法人工激勵[2-3]，海上風力發電機的風載和波浪激勵無法準確測量[4-5]，高速旋轉的主軸由于危險無法錘擊激勵[6-7]。此時，工作模態分析(Operational Modal Analysis, OMA)方法被提出，在未知輸入的情況下，辨識結構的模態，如峰值提取(Peak Picking, PP)法、頻域分解(Frequency Domain Decomposition, FDD)法、多參考點最小二乘復頻域(Poly-reference Least-squares Complex Frequency Domain, PolyMAX或PolyLSCF)法、隨機子空間(Stochastic Subspace Identification, SSI)法和特征系統實現(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)法等[8-9]。OMA方法的優勢在于無需已知輸入信號，能在工況下在位測量，但對于輸入的類型有一定的限制：在所關心的模態分析區間，激勵信號必須為平穩隨機信號。因此，當激勵信號為有色噪聲或者混有諧波信號等時，OMA方法無法準確的區分結構自身的模態頻率和由激勵信號帶來的虛假模態頻率，需要通過其它算法來辨識虛假模態，這增加了OMA方法應用的難度，降低了辨識結果的可信度。

基于振動響應傳遞率的OMA方法由Devriendt等[10]在2006年提出。該方法最大的特點就是辨識結果可以不受輸入類型的影響，無論是有色噪聲、正弦掃頻，還是錘擊激勵，被激勵模態的參數都能被正確的辨識，虛假模態能被有效的區分。該優勢使得基于振動傳遞率的OMA方法能夠在其它方法不適用的情況下應用，但在該方法中也存在缺陷。基于傳遞率的OMA方法需要兩次及以上不同激勵情況下的響應，且響應參考點的個數必須大于激勵源的個數。

基于以上原因，為更好的利用基于傳遞率的OMA方法，近十年來，國內外許多學者對該類方法進行了大量的研究和拓展，并將其應用于多個領域。為了深入的分析該方法，將從以下三個方面對振動傳遞率及其OMA方法進行了綜述。首先，對振動傳遞率概念的發展及研究現狀進行介紹；其次，對傳遞率的估計方法進行了介紹；然后，對基于傳遞率的各種模態辨識方法進行了綜述，重點分析方法的原理，比較方法之間的優缺點，并為以后該類方法的發展進行展望。最后，在綜述的基礎上，選擇四種代表性的辨識方法，對不同激勵情況下的多自由度系統模型進行了模態辨識，比較了參數辨識的結果及各方法的局限性。

1 傳遞率的概念

在20世紀90年代之前，振動傳遞率的概念通常限定在單自由度系統中，分為響應傳遞率和力傳遞率。如圖1所示的單自由度集中質量-彈簧-阻尼系統，集中質量與系統的基座之間響應的關系可以用傳遞率的形式表示為

(1)

式中：TAB為A，B之間的響應傳遞率;Y(s)為響應y(t)的Laplace變換;m,c,k分別為單自由系統的質量、阻尼和剛度。

圖1 單自由度系統Fig.1 Single DOF system

單自由度系統中響應傳遞率的定義表示了振動在通過系統前后的響應比，可用來表示振動的衰減情況，調節系統的參數，可控制振動的衰減。力傳遞率與響應傳遞率相似，定義為集中質量與系統基座之間受力的比值。Ungar[11]通過分析和推導證明，在單自由度、線性、單軸系統中響應傳遞率與力傳遞率是相等的。

隨著結構的大型化、復雜化，以及人們對結構監測要求的提高，如何根據測試獲得的部分響應或力去估計和預測未測試或者無法測試部分的響應或力成為困擾研究人員的一個難題。因此，將振動傳遞率從單自由度系統推廣到多自由度系統變得非常有意義。Paipetis等[12-15]對特定形式的多自由度系統中振動傳遞率的定義進行了探索。1998年Ribeiro等[16]首次提出了通用化的多自由度系統中傳遞率的概念，通過頻響函數建立已知響應矩陣和未知響應矩陣之間的關系。Maia等[17-18]對多自由度系統中傳遞率的概念進行了進一步的闡述，并提出了傳遞率矩陣的計算方法。第一種方法是通過結構的導納矩陣運算，第二是通過結構的響應矩陣直接獲得。Fontul等[19]對傳遞率矩陣在隨機和諧波振動過程中的特性進行了解析和仿真驗證，結果再一次證明振動傳遞率矩陣不受激勵力類型的影響，而取決于激勵、已知響應和未知響應所處的位置。Maia等[20]對多自由度系統中傳遞率概念的發展進行了綜述。Lage等[21]對力傳遞率和位移傳遞率之間的關系進行了研究。

如圖2所示的多自由系統，A,K,U,C分別為激勵力、已知響應、未知響應和其它響應的坐標集合。依據頻響函數，激勵和響應之間的關系可表示為

(2)

式中：Y,H和F分別為響應向量、頻響函數向量和力向量。

圖2 多自由度系統及其坐標集合Fig. 2 MDOFs system and its coordinates sets

通過矩陣運算，消除力向量，獲得多自由度系統中已知響應與未知響應之間的關系

YU=TUKYK

(3)

其中，

TUK=HUA(HKA)+

(4)

即為未知響應與已知響應之間的傳遞率矩陣。(*)+為矩陣的偽逆矩陣，為使矩陣有意義，需滿足K的個數大于等于A的個數，即已知響應的個數不能少于激勵點的個數。

多自由度系統中傳遞率概念的提出與完善，促進了傳遞率在結構響應估計[22]、損傷檢測[23]、頻率響應函數的估計[24]、力辨識[25]和傳遞路徑分析[26]等方面的應用。特別是在OMA領域，基于振動傳遞率的特性，該類方法得到的迅速的發展。同時，在多自由度系統傳遞率的框架下，一些新的傳遞率的概念被提出。圖3展示了傳遞率概念的發展和衍化。

圖3 傳遞率概念的發展和衍化Fig.3 Concept development of transmissibility

1.1 單參考點傳遞率

當系統中參考輸出點的個數只有一個時，傳遞率矩陣可以進行簡化，任意非參考點L與參考點R之間的單參考點傳遞率(Single Reference Transmissibility Function, STF)可表示為[27]

(5)

式中：Ni為激勵的個數。

1.2 多參考點傳遞率

當系統中參考輸出點的個數大于一個時，多參考點傳遞率(Poly-reference Transmissibility Matrix, PTF)可表示為[28]

(6)

式(6)與式(4)的定義完全一樣。因此，嚴格意義上來說，多參考點傳遞率并不是一個新的概念，而是多自由度系統傳遞率從參考點個數角度的重新命名。

1.3 功率譜密度傳遞率

以上兩種傳遞率的定義都是從響應譜的角度，依據多自由度系統傳遞率的概念直接演化獲得的?？紤]從能量的角度重新定義傳遞率，在非參考輸出點和參考點之外，增加一個系統性的輸出參考點P，功率譜密度傳遞率(Power Spectrum Density Transmissibility, PSDT)可表示為[29]

(7)

式中:Syy為響應之間的互功率譜密度。

1.4 多變量功率譜密度傳遞率

考慮多個傳遞輸出參考點，將功率譜密度傳遞率推廣到多變量功率譜密度傳遞率(Multivariable Power Spectrum Density Transmissibility, MPSDT)[30]

(8)

式中：Z為傳遞輸出參考點的集合；(*)T為矩陣的轉置。

1.5 連續小波變換傳遞率

傅里葉變換可以將信號從時域轉換到頻域，但其分析的分辨率是固定的。與之相比，小波變換的多尺度分析可以對信號的特征進行更好的提取。將小波變換替代傅里葉變換，與功率譜密度傳遞率的概念相結合，提出連續小波變換傳遞率(Continuous Wavelet Transmissibility, CWTR)的概念[31]

(9)

式中：av為尺度因子；CSyLyP和CSyRyP分別為L和P，R和P響應之間基于連續小波變換的互功率譜密度。

2 傳遞率的估計方法

從傳遞率的定義可知，振動傳遞率可以由系統的動力學參數或傳遞函數獲得。但在實際應用中，動力學參數或傳遞函數很難直接獲得，振動傳遞率通常由系統的響應計算，且考慮到系統中噪聲的影響，需采用估計類的算法。

2.1 非參數化估計方法

在經典的振動理論中，H1,H2和Hv估計算子可以用來估計傳遞函數。傳遞率的非參數化估計方法建立在這些經典算子的基礎之上。

Fontul等對諧波激勵和隨機激勵下傳遞率矩陣的計算方法進行了研究，提出僅通過響應之間的互功率譜矩陣即可計算傳遞率矩陣，并將通過該方法與通過頻響函數計算獲得的傳遞率進行了比較，驗證了方法的準確性。Devriendt等[32]提出單參考點傳遞率可以通過參考點和非參考點之間的互功率譜和自功率譜，采用H1估計算子進行計算。Mao等[33]指出通過H類估計算子進行傳遞率估計時，功率譜密度的估計會給結果引入計算誤差，因此提出采用參考點和非參考點自功率譜比值的均方根來估計傳遞率的幅值。Leclere等[34-35]認為輸出之間的信噪比接近，因此采用Hv估計傳遞率。仿真和實驗結果的對比發現，Hv估計要比H1和H2估計的結果更好。張永年[36]提出可以用H1,H2,H3,H4和Hv對傳遞率進行估計，并對幾種估計方法的計算結果進行了對比，發現Hv估計在含噪聲情況下的估計效果最佳。

通過以上介紹，傳遞率通常有以下幾種估計方法。

H1估計

(10)

H2估計

(11)

Hv估計

(12)

式中：Nr為參考點的個數；No為輸出的個數；V(s)為響應矩陣SVD分解的右矩陣。

2.2 參數化估計方法

另一類估計傳遞率的方法是使用參數化估計算子。與非參數化估計方法相比，參數化方法不需要將時域響應進行分段，也不需要對數據進行任何形式的加窗。盡管這會造成一定程度的泄露，但是參數化模型會對這些泄露進行補償。張昱[37]通過分析指出，在輸入不完全相干的情況下，激勵之間的不相干性會大大降低估計結果的可靠度，因此通過參數化系統辨識方法要比非參數化估計方法更加準確。

Devriendt等[38]提出可以采用最小二乘類估計方法對傳遞率的公分母模型進行參數化估計。與頻響函數的估計方法類似，通過該參數化估計可以求解系統的模態參數。張永年等[39]提出采用冪多項式有理分式的形式估計傳遞率，基于Forsythe正交多項式可減少求解過程方程的病態性并解耦系統矩陣，進而通過最小二乘擬合獲得系統的模態參數。

由以上分析，傳遞率的參數化模型可以表示為左矩陣分式的形式[40]

D(s)yL(s)=N(s)yR(s)+τ(s)

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

式中：Nd為分母矩陣多項式的模型階數；Nn為分子矩陣多項式的模型階數。

基于獲得測量數據，采用最小二乘法、總體最小二乘法和極大似然估計法等[41]方法，可以對模型中的未知系數Ai和Bi進行估計。獲得估計的系數后，傳遞率的參數化模型即可表示為

(17)

由式(17)，即可獲得參數化估計的傳遞率。

以上兩種傳遞率的估計方法主要針對幅值類的傳遞率。對于能量類和小波類的傳遞率，在傳遞率的定義中都給出了準確的估計方法，因此，其計算過程主要依據概念的定義進行。

3 基于傳遞率的工作模態辨識方法

根據圖3所示的傳遞率概念的發展過程，將依據傳遞率進行工作模態分析的方法分為三類：基于幅值類傳遞率的OMA方法、基于能量類傳遞率的OMA方法和其它基于傳遞率的OMA方法。

3.1 基于幅值類傳遞率的OMA方法

Devriendt等[10]在2006年提出采用單參考點傳遞率進行工作模態分析。通過對傳遞率的分析，發現兩點之間響應的傳遞率在系統極點處趨近于兩點之間該階模態的振型向量之比，在不同激勵情況下同樣位置之間的傳遞率在極點處的差值趨近于零?；诖?，提出了最原始的基于傳遞率的工作模態分析方法。

(18)

(19)

式中：A，B，C分別為不同的激勵情況。該方法與FDD方法中采用響應的功率譜密度矩陣進行SVD分解，進而指示模態位置的思路是一致的。之后，Devriendt等對基于傳遞率的方法在同時受到多個激勵，且激勵中帶有諧波頻率的情況進行了實驗分析和驗證。結果顯示，模態參數的辨識結果沒有受到激勵中諧波成分的影響，在辨識的過程中無需對系統中的頻率成分有先驗知識。

(20)

在對單參考點傳遞率的深入分析中，Devriendt等[45]發現，當系統中只有一個激勵時，單參考點傳遞率是確定的，激勵中的隨機成分都被消掉；而當系統中存在多個激勵時，雖然在極點處傳遞率趨近于模態振型向量的比值，但激勵并沒有完全消除，單參考點傳遞率受到激勵中隨機成分的影響，不再是確定性的。因此，在模態辨識的過程中存在不確定性。由此，提出采用多變量傳遞率進行模態辨識。多變量傳遞率又稱為多參考點傳遞率，獨立于系統的輸入，不受激勵的影響，但不再相交與系統的極點。通過分析，采用類似于空間投影的方法，由多變量傳遞率求解新的單參考點傳遞率，該傳遞率只與響應點的位置有關，不受其它激勵和位置的影響。由此，基于多變量傳遞率的工作模態分析方法可以表示為

(21)

基于多變量傳遞率投影的方法雖然解決了在多激勵情況下，基于多變量傳遞率的模態識別問題，但在計算的過程中需要至少三種不同的激勵狀態，這在實際的應用中是非常困難的。為此，Weijtjens等[46]提出了一種新的基于多參考點傳遞率的辨識方法。該方法對多參考點傳遞率進行重新構造，使其與模態向量矩陣正交。由此，基于參數化估計方法，將系統極點的求解轉換為一個非線性特征值問題

γ(λm)φm=0

(22)

式中：λm為系統的特征值點；φm為系統的特征向量；γ為由多參考點傳遞率的參數化估計系數重構的矩陣。應用PolyLSCF方法，求解特征值問題，即可獲得系統極點的穩定圖。與之前基于多變量傳遞率的方法相比，多參考點傳遞率方法只需兩次不同激勵情況下的響應，且基于穩定圖的算法結果更加穩定。之后，Weijtjens等[47]又對該方法進行了進一步的闡述。與SSI方法對比發現，基于多參考點傳遞率的OMA方法中系統特征值的偏差和標準差更小，辨識結果更加準確。周思達等[48]提出了一種改進的基于多參考點傳遞率的模態辨識方法?；谧缶仃嚪质蕉囗検侥Ｐ停谜齽t方程Jacobi矩陣的分塊性質對最小二乘問題矩陣形式進行縮減，降低了計算量；通過高維伴隨矩陣方法解決了矩陣多項式的特征值求解問題；并通過兩個數值算例對方法進行了驗證。

在應用傳遞率進行OMA分析時，一個重要的問題是如何獲得兩次以上不同激勵的響應，即如何確定存在不同的激勵。針對這一問題，Weijtjens等[49]提出了一種基于時變單參考點傳遞率的OMA方法。方法認為系統的輸入為時變載荷，而在任意一個時刻，瞬態傳遞率可以看做某一特定激勵下結構的傳遞率，因此獲得多個瞬態傳遞率即可利用單參考點傳遞率的方法辨識系統的極點

(23)

式中：t1，t2為兩個任意的瞬時時間；TLR(s,t1)和TLR(s,t2)為兩個時間點的瞬時單參考點傳遞率。該方法的優點在于無需再去區分不同的激勵狀況，不足之處是只能在單個輸入或單個分布輸入下基于單參考點傳遞率進行模態辨識。之后，Weijtjens等[50]結合時變單參考點傳遞率與多參考點傳遞率，將該時變傳遞率的方法推廣到時變多參考點傳遞率。通過在有色噪聲激勵下的仿真分析，證明該方法能夠很好的辨識出結構的參數，且不受激勵中有色噪聲成分的影響。

另一個在OMA中普遍存在的問題是，由OMA計算獲得的振型并不是真正的振型[51]，只是結構的工作變形形狀(Operational Deflection Shape, ODS)。當結構的模態分布比較離散，沒有耦合時，ODS主要有單一的模態振型決定，可視為等比例的模態振型；當結構存在密集模態時，模態存在耦合，ODS受到相鄰的兩個或者多個模態的影響，是多個模態振型的線性疊加，此時ODS無法視為等比例的模態振型。Devriendt等[52]提出了一種基于傳遞率的模態振型求取方法。將兩次不同激勵下的傳遞率矩陣，通過轉化，構造為與FRF形式類似的偽頻響函數矩陣

(24)

其中，

(25)

然后利用頻域參數化估計方法對公分母矩陣模型進行模態參數的識別，獲得結構的模態振型。Weijtjens等[53]提出了一種依據多參考點傳遞率進行模態振型求解的方法。建立多參考點傳遞率與比例因子之間的關系，利用總體最小二乘方法求解，并將比例因子應用于重構偽傳遞函數方程。仿真和實驗對提出的算法進行了驗證，并分析了在測量和任意噪聲下偽傳遞函數的辨識誤差。

3.2 基于能量類傳遞率的OMA方法

Yan等[29]在2012年提出了采用PSDT進行OMA的方法。在系統的極點處，PSDT趨近于模態向量的比值?；诖耍貌煌瑓⒖键c下PSDT的差值，計算傳遞率差值函數倒數的平均正則方程(Averaged Normalized Inverse Transmissibility Subtraction Function, ANITSF)，即可辨識系統的模態頻率。

(26)

其中，

(27)

與采用幅值類傳遞率進行OMA的方法不同的是，基于PSDT的OMA方法只需單次激勵下的振動響應即可，解決了幅值類傳遞率方法中關于不同激勵情況的分析和選擇難題。

但是，類似于經典的PP方法，ANITSF方法存在兩個缺點：首先，方法只能獲得系統的模態頻率和離散模態振型，無法計算系統的模態阻尼；其次，極點選擇具有主觀性，容易出現虛假極點。Araújo等[54]提出了一種改進的基于PSDT矩陣的OMA方法。該方法將基于不同參考點的PSDT組集為一個矩陣，矩陣在系統的極點處趨近于秩為一的振型向量比值矩陣，對該矩陣進行SVD分解，獲得奇異值，指示系統的極點。

(28)

類似于經典的FDD方法，該方法充分利用測試數據，能夠避免錯誤計算極點的識別，但還是只能識別模態頻率與振型。之后，Araújo等又提出了一種新的基于MPSDT的OMA方法。類似于多參考點傳遞率，該方法將PSDT矩陣推廣到基于不同參考點的多變量PSDT矩陣。在極點處，多變量PSDT矩陣趨近于秩為一的振型向量乘積矩陣。構建基于不同參考點的多變量PSDT矩陣，對該矩陣進行主分量裁剪，消除矩陣中的噪聲成分；求矩陣的偽逆矩陣，利用PolyLSCF擬合，辨識系統的固有頻率、阻尼和模態振型。相比于之前的兩種PSDT方法，該方法獲得了模態辨識的穩定圖，辨識結果的穩定性、可靠性更高。

此外，Yan等[55]也提出了一種參數化的基于PSDT-LSCF的OMA方法，對ANITSF方法進行了改進。該方法將不同參考點下的單參考點PSDT組成矩陣，利用公分母模型，基于PSDT差值函數倒數的有理方程，利用LSCF方法擬合求解頻率和阻尼，基于PSDT矩陣留數的SVD分解求解振型。仿真和實驗結果表明該方法計算的參數更加準確，對噪聲的魯棒性更強。最近，Araújo等[56]提出將PSDT與盲源分離相結合辨識低信噪比下結構的密集模態。

3.3 其它方法及應用

以上基于幅值類傳遞率和能量類傳遞率的OMA方法是目前基于傳遞率進行模態分析的主要方法。此外，Yan等[31]在2013年提出了一種基于CWTR的OMA方法。對CWTR的特性進行了分析研究，建立了以ANICWTSF(Averaged Normalized Inverse CWTR Subtraction Function)為基礎的OMA指示因子，辨識結構的頻率和振型。通過仿真和實驗，基于不同的小波函數對結構的模態進行了辨識，且與PP，SSI和有限元方法進行了對比，結果顯示該方法能夠很好的辨識出結構的模態參數。

在以上基于傳遞率的OMA方法的基礎上，針對傳遞率及其OMA方法的特性，許多學者也進行了相應的研究。張昱等[57-58]對多自由度系統中傳遞率的特性及PSDT的作用原理進行了研究和分析。證明了多激勵作用下多自由度系統中標量傳遞率在某些條件下具有不變性，提出了該性質統一的適用模型；探討了PSDT與模態參數和激勵中有色成分的關系，分析了不同荷載條件下能夠對PSDT產生影響的因素。Mao等[33]研究了振動傳遞率幅值估計過程中的不確定性。根據卡方二重檢驗分析方法，建立了傳遞率與估計方法、噪聲之間的不確定性關系，采用蒙塔卡洛方法進行了不確定性分析。分析結果表明，傳遞率的估計方法對不確定性不敏感，但傳遞率對于噪聲的不確定性較為敏感。Yan等[59-61]對傳遞率的統計學特性進行了分析，發現在系統的極點附近，傳遞率方程僅受信號信噪比和模態振型向量的對比，再次說明信噪比對傳遞率的估計存在重要的影響。

基于以上傳遞率的OMA分析方法和特性分析，該類方法在許多工程實踐中得到了應用。Devriendt等[62]將基于傳遞率的方法應用于橋梁的OMA分析，與基于功率譜密度進行OMA分析的方法相對比，由傳遞率獲得的模態更加準確，識別出了更多的模態。De Sitter等[63]將基于傳遞率的OMA方法應用于聲學系統的模態辨識中，提出一種增強的穩定圖，對圖書館的聲學模態進行了辨識。王澤飛等[64]將傳遞率法應用在高速齒輪箱箱體工作模態分析中，可用于齒輪箱箱體在線模態監測。周思達等將基于多參考點傳遞率的OMA方法應用于空間飛行火箭的模態辨識中。韓杰[65]分析了基于傳遞率的OMA方法，并通過對懸臂梁的振動測試，驗證了基于傳遞率和PSDT兩類方法進行OMA分析的有效性。Tsai等[66]將基于傳遞率的OMA方法應用于機床直線導軌滾珠軸承預緊力變化的監測。Maamar等[67-68]利用基于傳遞率的OMA方法對切削狀態下的機床等的動力學特性進行了辨識，消除了激勵中諧波信號對辨識結果的影響。Yan等和Araújo等將基于PSDT的方法應用于橋梁結構的模態測試與狀態監測。Khodaygan[69]將PSDT和PolyLSCF方法相結合對非對稱主軸系統的模態參數進行辨識。

4 數值算例

為進一步對比分析基于振動傳遞率的工作模態分析方法，及其與傳統OMA方法的不同，以圖4所示的一維四自由度彈簧-阻尼-質量系統為計算模型，選擇Weijtjens等提出的基于傳遞率矩陣的PTOMA方法、Araújo等提出的基于PSDT矩陣的PSDTM-SVD方法、傳統OMA方法中常用的FDD方法[70]和PP方法[71]，分析在不同輸入情況下各個模態辨識方法結果的準確性，以及其受輸入成分的影響情況。

圖4 四自由度系統Fig.4 Four DOFs system

四自由度系統中，m=1 kg，k=1 000 N/m，c=0.5 N/(m/s)，采用Newmark方法計算梁的響應，系統的理論固有頻率分別為3.11 Hz,5.92 Hz,8.14 Hz,9.57 Hz。

表1所示為五種不同的激勵情況。Case 1中激勵為白噪聲，圖5所示為白噪聲激勵下系統的響應頻譜，響應中清楚的顯示出四個峰值；Case 2中激勵為有色噪聲，諧波頻率為4 Hz，圖6所示為有色噪聲激勵下系統的響應頻譜，響應中清楚的顯示出五個峰值，系統響應中的頻譜顯示為系統自有模態特性和激勵信號特性的綜合。采用四種OMA方法對以上兩種情況進行模態辨識，其辨識的結果如圖7和圖8，虛線指示理論模態頻率的位置。

表1 不同的激勵情況及屬性

圖5 Case 1白噪聲激勵下響應的頻譜圖Fig. 5 Response spectrum under white noise excitation of Case 1

圖6 Case 2有色噪聲激勵下響應的頻譜圖Fig.6 Response spectrum under colored noise excitation of Case 2

圖7 Case 1情況下不同OMA方法的辨識結果Fig.7 OMA results with different methods under Case 1

圖8 Case 2情況下不同OMA方法的辨識結果Fig. 8 OMA results with different methods under Case 2

Case 3中采用多點激勵，激勵為白噪聲，如在和處同時用白噪聲激勵下系統；Case 4中激勵為有色噪聲，諧波頻率為4 Hz，在多點同時采用不同信噪比的有色噪聲激勵系統。采用四種OMA方法對以上兩種情況進行模態辨識，其辨識的結果如圖9和圖10。

對以上四種情況下的辨識結果進行提取，獲得的OMA辨識的系統模態頻率如表2～表5。對比表2和表3，在單個白噪聲激勵的情況下，四種方法都能準確的辨識結構的模態頻率；而當受到有色噪聲影響時，只有PTOMA方法能夠將系統的模態和激勵成分中的虛假模態辨別出來。對比表4和表5，在多個白噪聲激勵下，四種方法都能準確的辨識出系統的模態頻率，基于振動傳遞率的PTOMA和PSDTM-SVD方法在高頻段受到噪聲信號的影響；在多個有色噪聲信號的激勵下，只有PTOMA能夠完全正確的辨識系統的模態頻率。

圖9 Case 3情況下不同OMA方法的辨識結果Fig.9 OMA results with different methods under Case 3

圖10 Case 4情況下不同OMA方法的辨識結果Fig.10 OMA results with different methods under Case 4

模態階次PTOMAPSDTM-SVDFDDPPf/Hzf/Hzf/Hzf/Hz13.113.113.113.1125.925.895.915.9238.138.168.068.0649.539.679.59.53

表3 Case 2中不同OMA方法辨識的模態頻率

表4 Case 3中不同OMA方法辨識的模態頻率

表5 Case 4中不同OMA方法辨識的模態頻率

對以上四種情況綜合分析發現：(1) Araújo等提出的PSDTM-SVD方法雖然基于功率譜密度傳遞率，但在本算例中，其辨識的結果受到了激勵中有色噪聲的影響，不能區分系統的模態和虛假模態；結合文獻中對該方法的應用，認為該方法的辨識結果不穩定，可能受到系統輸入的影響。(2) 基于系統輸出功率譜密度的PP和FDD方法受到輸入的影響，不能正確的辨識系統的模態頻率，但通過幾個算例，發現兩種方法的計算結果非常穩定。(3) 在四個算例中，只有PTOMA方法能完全正確的辨識系統的模態，再次證明基于單參考點傳遞率的OMA方法適用于多激勵的情況。

5 結 論

針對振動響應傳遞率及其在工作模態分析領域的發展現狀進行了綜述，包括振動響應傳遞率的概念及其發展過程、振動響應傳遞率的估計方法和振動響應傳遞率在OMA領域的研究現狀。綜合數值算例對四種不同OMA方法的對比可知，基于振動傳遞率的工作模態分析方法能夠準確的辨識系統的模態參數；鑒于傳遞率在極點處的特性，在多次不同情況激勵下，利用振動傳遞率進行工作模態分析可避免受到激勵中非白噪聲成分的影響，適用于工作狀態下存在諧波激勵的系統的模態分析。

但是，目前基于振動傳遞率的方法也存在不足，仍需進一步的研究和探索：

(1) 基于PSDT的工作模態分析方法雖然可以在單次激勵的情況下辨識系統的模態參數，但在辨識的過程中算法并不穩定，可能受到激勵成分的影響，需進一步改進該類算法，提高辨識結果的穩定性。

(2) 在工況下，系統的模態可能隨著時間的變化發生改變。將時頻分析方法和基于傳遞率的OMA方法相結合，研究針對非平穩系統的工作模態分析方法在結構健康監測中有非常大的應用價值。

(3) 系統的物理參數、邊界條件等可能存在不確定性，將不確定分析與基于傳遞率的OMA方法相結合，研究針對不確定性系統的工作模態分析方法具有很大的實用意義。