圖像復(fù)原用的一種改進(jìn)的最大熵法

文/王吉會(huì)

1 圖象退化模型

所研究的圖象復(fù)原是圖1的模型為基礎(chǔ)的。

當(dāng)H為一線性算子時(shí)，有：

其 中：h(x,α,y,β)=H〔δ (x —α，y—β)〕當(dāng)h(x,α,y,β)是位置不變的時(shí)，則：

為了方便清楚明了，將二維圖象分解為一維序列。這樣（1）式可以表示為：

其中：{ej}是均值為零的白噪聲。 {fi}為原始圖象。

{dj}污染后的圖象。{Aij}是傳遞函數(shù)。

2 傳統(tǒng)最大熵復(fù)原法

2.1 圖像的熵

圖像的熵是一種圖像信息量的表示方法，代表了圖像的平均信息量。離散分布（3）的熵為：

當(dāng)F=常數(shù)時(shí)，則H1=max與H= —Σfilogfi = max一致，因?yàn)镠= max，必然有H1=max。故令熵的

另外還有一種Burg熵，因其使用的狹隘性，本文就不在此贅述了。

2.2 傳統(tǒng)的最大熵復(fù)原方法

傳統(tǒng)的最大熵復(fù)原方法主要是從頻譜關(guān)系考慮和利用最大熵法復(fù)原。

設(shè)Sg(U，v),Sf(u,v)，Sη(u,v)分別代表模糊圖象、原圖象、噪聲的功率譜密度.

則它們有：

現(xiàn)在，我們要尋找一個(gè)譜均衡器P(u,v)，使g(x,y)通過(guò)它時(shí)，能得到輸出Sf(u，v)

不難看出，（6）式中要用到g(x，y）的功率譜，估計(jì)Sg(u,v)時(shí)，可以利用最大熵法。

第二：從時(shí)域，利用優(yōu)化方法來(lái)求。

值問(wèn)題3再利用#優(yōu)法求極值，得出最大熵法情況下的復(fù)原圖象。

以上兩種方法均有缺點(diǎn)。第一種方法Sf(u,v)較難求。第二種方法尋優(yōu)困難。用最速下降法尋優(yōu)，其步長(zhǎng)又難以選擇。用共扼方向法尋優(yōu)，復(fù)雜度高。用近視法，則降低了精度。

3 改進(jìn)的最大熵法

3.1 最大熵復(fù)原應(yīng)滿足的約束條件

而且，fi＞0 i=1、2、…、n

椐拉格朗日乘子法，我們建立目標(biāo)函數(shù)為：

其中：λ為拉格朗日除子。

下面我們求目標(biāo)函數(shù)的極大值。

令：J=max,則需使：J’=0 所以‘有

如式（8）（9）（10）（11）所示。

滿足（10），（11）的f即是J的駐點(diǎn)，是候選的最大值點(diǎn)。

3.2 J的凹凸性證明

定理：當(dāng)入＞0時(shí)，J是嚴(yán)格上的凸函數(shù)。據(jù)上述定理，當(dāng)入＞0時(shí)，滿足（10），（11）的f就是J最大值點(diǎn)，即我們要得的復(fù)原圖象。

3.3 遞推公式

因?yàn)楫?dāng)η很大時(shí)，我們不能直接由（10），（11）解出f,所以，要通過(guò)別的途徑。在此我們利用遞推法。將（10）式兩邊求引，并賦以遞推序號(hào)，得：如式（12）所示。

由（12）得遞推公式為：

綜上，遞推求f時(shí)應(yīng)先按（13），后按（11）式求。即滿足：

3.4 初值

令入=0，由（10）得出f的初值為=e-1，i=1、2、…n

用此數(shù)值作為迭代初值復(fù)原出來(lái)的圖象精度高。而任選一初值，則或者迭代后產(chǎn)生的圖象精度太低，或者得出負(fù)圖像，等等。

3.5 算法的收斂性

圖1

據(jù)泰勒公式，有：如式（15）所示。

上式兩邊分別轉(zhuǎn)置，得：

代入（15），得：

令：x1=ΔfTPΔf

則可知，X1＞0，當(dāng)ΔL＞0,ΔN＜0,∴x2＜0

因此，這時(shí)（16）式成為：

綜上，當(dāng)Q（fk）＞G時(shí)（這時(shí)ΔL＞o),下一步要求λk + 1比λk大，才能保證,Q(fk+1）比Q（fk）更接近于門限值G。而Q(f°)＞G,(因?yàn)閒i≤1),所以此算法收斂。因此，我們得到結(jié)論： 若我們選擇門限值m1＜G＜m2，按（11），（13）式我們一定可得到復(fù)原圖象。其中：mi =m- m /10。 m2==m + m/10,這是我們實(shí)驗(yàn)中得到的。mi,m2不能選得間隔太大或太小。如果太大，則復(fù)原精度低；而太小，則復(fù)原速度慢。

4 算法與結(jié)論

根據(jù)以上理論指導(dǎo)，我們編寫了相應(yīng)的程序，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)我們得知，“改進(jìn)的最大熵法”比傳統(tǒng)的最大化熵法復(fù)原速度快，精度高。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如照片如圖1所示。