高溫作業專用服裝設計探析

歐偉銘 皇甫曉相

摘 要：借2018年全國大學生數學競賽A題的背景與數據，探討了高溫作業專用服裝設計問題，對于人體與外界對流換熱的情況，導出對應熱傳導方程及其初邊值條件并利用差分法進行數值求解，分別得出熱防護服內部溫度隨時間和空間的分布。從減輕防護服重量角度出發，解得在相關約束下熱防護服各層的最優厚度。

關鍵詞：熱傳導方程;差分法;廣度優先;窮舉法;初邊值問題

中圖分類號：TB 文獻標識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.27.107

1 問題重述

（1）根據已知條件建立數學模型，計算溫度分布。

（2）在環境溫度、IV層厚度、工作時間確定，皮膚外側的溫度低于47℃，且高于44℃的時間不超過 5 分鐘時，求II層最優厚度。

2 模型的建立與求解

2.1 問題一模型的建立與求解

問題一已知各層織物的厚度、環境溫度、工作時間及皮膚外側的測量溫 度，要求計算溫度分布。求解步驟如下：

（1）以熱防護服 I 層與外界環境的邊界為原點，熱量傳遞方向為 x 軸建立坐標系。

（2）根據熱傳導方程建立各層織物的非穩態熱傳導方程并確定各層織物的邊界條件建立溫度分布模型。

（3）通過顯式歐拉法逐步迭代，求出皮膚外側溫度關于空間位置及時間關系，從而得到溫度分布。

（4）假人中心抽象為恒溫熱源，將皮膚內層環境看作流體，增加對流換熱的情況考慮，來精確皮膚表層溫度的分布。

在環境-熱防護服-皮膚外側系統中，原點為I層與外界環境的邊界，x的正向為熱量傳遞的方向。由于本題已假定熱傳遞僅沿垂直于皮膚方向進行，可視為一維導熱問題，故可忽略y、z方向分量。又假人體內的溫度控制在37℃恒定，故為0。

因此，在本題中熱傳導方程可簡化為：

a為熱擴散率。

熱傳導方程組的構建：熱量從環境中以熱傳導的方式由I層逐步向內層傳遞，每層織物材料均有兩個導熱界面。根結合初始、邊界條件建立各層織物的熱傳導方程組。

I層熱傳導方程：因本題僅考慮熱傳導一種傳遞作用，由 0 時刻的初始溫度，得到初始條件及邊界條件，對于 I 層：

II 、III層熱傳導方程組：

II層既與I層相鄰，又與III層相鄰，且兩種導熱界面均只有熱傳導一種作用。而IV層是空氣層，在狹小的空間內，我們可以忽略空氣的流動，即不考慮熱對流作用，則III層的導熱情況與II層類似。對于II 、III層有：

其余層對于邊界條件的處理基本相同，不再贅述。

在假人體內中心，存在37℃的恒溫熱源，以熱對流形式向周圍“吹著 37℃的熱風”，使皮膚內層溫度穩定在 37℃。

附件數據的分析：

用Excel 對附件5400組數據進行分析。1645s前，皮膚外側溫度隨時間變化而上升;1645s后，皮膚外側溫度不隨時間的變化而改變。故前者為非穩態導熱過 程，后者為穩態導熱過程。

皮膚邊界節點離散方程的建立：

考慮皮膚表層邊界及外側部分。皮膚表層受到內部流體的熱對流作用，對流換熱系數為h。此時邊界點 N 代表寬度為x/ 2 的元體。

對該元體應用能量守恒定律：

對流換熱系數h的求解：

本題存在穩態和非穩態導熱兩個階段，針對不同的階段，對流換熱系數具有不同形式：

以上兩式分別為穩定導熱和非穩態導熱情況下對流換熱系數的表達式。

在問題一中，由于1645 秒后傳熱即達穩態。故皮膚外側溫度分布模型取為第一式。由附件二中皮膚表層的數據 t（i） 及皮膚外側溫度分布模型，可解得對流換熱系數h=8.612。代入式（*） 可求出皮膚表層溫度。

如圖1所示，隨著位置不斷接近皮膚表層，溫度由 48℃ 穩定到 37℃，這與 附件2數據一致 。

2.2 問題二模型的建立與求解

問題二已知熱防護服I、III、IV層的厚度、環境溫度、工作時間，要求II層的最優厚度。本題將最優厚度理解為達到該厚度時，熱防護服滿足工作條件且質量最輕。

2.2.1 單層織物優化模型的建立確定對流換熱系數h

問題二要求皮膚外側溫度不超過47℃，且超過44℃的時間不超過5分鐘。易知：

只有在非穩態導熱的情況下，皮膚外側的溫度才會隨時間的變化而改變，故應選擇非穩態傳熱的對流交換系數。

由附件二中皮膚表層的數據t（i）N 及皮膚外側溫度分布模型，可解得對流換熱系數h 。

10830時間節點時，h為8.025且之后不再變化。即在該節點前為非穩態導熱過程，之后為穩態導熱過程。本題考慮非穩態導熱階段，對該時間節點之前對流交換系數取平均值得 h 為 9.932。

下面進行目標函數的確定。

目標函數：II 層織物厚度最小。

由于織物材料密度確定，熱防護服質量與該層織物厚度成正相關，故只需 滿足II 層織物厚度 δ2最小，而δ2等于Δx2乘 n 。

約束條件的確定：

2.2.2 單層織物優化模型的求解

廣度優先窮舉搜索法在本題應用設計算法如下：

（1）通過附件一中II 層厚度的范圍，結合給定的空間步長，求出迭代次數的范圍。

（2）在迭代次數的范圍內，根據 II 層厚度與空間步長及迭代次數的關系：δ2= Δx2×n， 結合第一問中的差分方程與邊值條件，對皮膚外側前 60 分鐘的溫度進行迭代。

（3）判斷此次迭代是否滿足約束條件。若滿足則記錄本次迭代次數，并進行下一次迭代，若不滿足則直接進行下一次迭代。

（4）不斷重復上述過程直到遍歷迭代次數范圍內所有的數。

（5）選取記錄的有效迭代次數中最小的值，這個最小值對應的厚度即最優厚度。

2.2.3 單層織物優化模型的結果

由以上算法得最小的厚度為4.91mm。

2.3 模型的改進

對I層織物與環境通過熱對流交換熱量的改進如下：

根據文獻，實際中空氣存在流速，若忽略空氣流速對熱傳遞的影響，會對結果造成偏差，因此在分析外部空氣與I層防護服熱交換時要熱的對流交換，即在外部空氣與I層防護服熱交換中，得新邊界條件：

h為空氣對流換熱系數，t0為初始時刻外部空氣的溫度，t（τ，x） 為τ時刻，x位置處的溫度。

其余的方程與邊值條件與之前相同。對新方程利用差分法進行離散，得迭代公式：

參考文獻

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