投影尋蹤Robust主成分在經濟評價中的應用

王玥 孫德山

摘要：選取2017年遼寧省14個城市的相關經濟數據，首先對數據進行歸一化、標準化處理，然后進行投影尋蹤分析、主成分分析和Robust主成分分析，并根據降維后的數據進行聚類分析，觀察各個城市的經濟發展狀況。根據投影方向，對各個影響因素進行分析，為經濟發展提供參考。

關鍵詞：投影尋蹤;Robust主成分分析;聚類分析;經濟評價

改革開放40年，中國逐步走向了富強的道路，社會發展水平和綜合實力不斷提高，生活水平也不斷提高。但是，由于不同地區發展受到自然條件、人口、位置、資源的影響，不同地區出現了發展不平衡的問題。如何正確的、客觀的評價地區發展情況，了解各個地區的發展價值成為了人們的研究對象。

投影尋蹤（project pursuit）作為70年代中期發展起來的一種用來分析和處理高維觀測數據的技術，可以有效的把高維數據投影到低維子空間上。投影尋蹤可以排除與數據結構無關的或關系很小的變量的干擾，通過分析低維空間的投影特性來研究高維數據的特征，是一種處理復雜問題的統計方法。文獻建立投影尋蹤模型，對2004～2014年的全國各省經濟轉型做出研究。文獻通過投影尋蹤分類模型對地區節能消耗程度做出了評價。

主成分分析作為重要的降維方法之一，被廣泛用于各個領域，它通過一個線性變換，將數據變換到一個新的坐標系統中。主成分分析保持數據方差最大化，并提取相應的貢獻特征，這些特征可以盡可能的保留較多的原始數據的信息。

一、投影尋蹤模型構建

投影尋蹤的基本原理是將高維數據通過一定的線性組合，投影到1～3維子空間上，通過構建指標函數，并尋找指標函數的最大值來計算最佳投影方向。在低維空間進行分析，以達到研究高維數據的目的。具體步驟如下：

1. 為了消除量綱性的影響，對指標進行歸一化，對越大越優的指標有

其中，Xmax（j）和Xmin（j）為第j列指標的最大值和最小值，X*（i，j）為指標數值，X′（i，j）為歸一化后的序列，將X′（i，j）進行標準化處理，即

其中，Ez為z（i）序列的均值。本文通過投影后的數據，進行主成分分析，Robust主成分分析，并對結果進行分析。

二、Robust主成分分析介紹

Robust是把Robust統計的思想與多變量分析方法相結合，使多變量分析方法出現的統計量具有穩健性。而主成分分析通過分析少數主成分，來掌握和維持數據的結構，將少數主成分代表數據中的所有變量。但是，在實際過程中，數據中往往存在一定的噪聲點，因此，Robust主成分分析被廣泛使用。

根據投影的低維度和噪音的稀疏性，Robust主成分分析模型可以被定義為以下優化問題：

其中，X=X（i，j），i=1，2，…，n，j=1，2，…，p是數據矩陣，L和E分別是低秩矩陣和噪聲矩陣，‖·‖0是指矩陣的零范數，表示矩陣中非零個數，λ為折中因子，可以平衡L和E的比重。

三、實證分析

選取2017年遼寧省14個城市的11個主要經濟指標，分別為生產總值（單位：億元）、年末總人口（單位：萬人）、在崗職工平均工資（單位：元）、固定資產投資（單位：億元）、地方公共財政預算支出（單位：億元）、城鎮常駐居民人均可支配收入（單位：元）、農林牧漁業總產值（單位：億元）、社會消費品零售總額（單位：億元）、進出口總額（單位：億美元）、國內旅游收入（單位：億元）、金融機構存款余額（單位：億元）。數據來源于2017年遼寧省統計年鑒，實驗使用軟件為matlab2018a和r語言。

對數據進行分析，根據上述步驟計算出目標函數最優值為Q（a）=9.3548，投影向量為：

α=（-0.3261，-0.2909，-0.2920，0.3118，

0.3236，0.2386-0.2895，0.3158，0.2923，0.3026，

0.3231）

從投影向量來看，影響經濟的主要指標依次為：地方公共財政預算支出（0.3236）、金融機構存款余額（0.3231）、社會消費品零售總額（0.3158）、固定資產投資（0.3118）、國內旅游收入（0.3026）、進出口總額（0.2923）、城鎮常駐居民人均可支配收入（0.2386）、農林牧漁業總產值（-0.2895）、年末總人口（-0.2909）、在崗職工平均工資（-0.2920）、生產總值（-0.3261）.

根據投影尋蹤結果，提取前3個投影向量，計算各個主成分，并計算各個樣本的綜合評價得分，將得分進行排名。同時，選用基于Croux &RuizGazen算法的Robust主成分和基于網格搜索的Robust主成分分析進行排名，結果表1所示。

由表1可知，大連和沈陽為遼寧經濟最好的2個城市，阜新和鐵嶺的經濟相對比較落后。將經濟狀況做等級劃分，使用聚類分析中的k-均值聚類，將上述主成分分析的結果分別進行聚類，結果如表2。

根據表1和表2可知，第一類地區，沈陽和大連為遼寧省內較為發達的地區，這兩個地區資金較其他地區充足，人口較多，GDP較高;第二類地區在三種分類結果中包含鞍山、錦州、營口、盤錦，此類屬于發展中地區，經濟發展速度一般;第三類地區發展較為落后，主要包含丹東、阜新、鐵嶺、朝陽，這些地區應該加快發展速度，引進外資，與其他較發達地區增加交流。

四、結論

通過建立投影尋蹤模型，對遼寧省2017年數據進行分析，可知遼寧省發展中心在沈陽和大連兩個城市，其余城市的發展和這兩個城市相比相差較大。沈陽和大連應該著重于周邊發展，從而帶動整個省的發展。第三類城市的發展相對落后，遼寧省應該著重致力于發展不平衡的問題治理。將遼寧省城市進行主成分排名，可以有效的觀察各個城市經濟情況，方便進一步了解經濟走向。

參考文獻：

[1]李祚泳.投影尋蹤技術及其應用進展[J].自然雜志，1997（04）.

[2]方必和，程志宏，劉慧萍.投影尋蹤模型在國民經濟綜合評價中的應用[J].運籌與管理，2005（05）.

[3]陳治，張媛.基于投影尋蹤的省域經濟轉型評價[J].統計與決策，2017（23）.

[4]高大偉，姚奕，仵雁鵬.基于投影尋蹤分類模型的各地區節能降耗評價研究[J].數理統計與管理，2010（03）.

[5]王玥，任靚.基于主成分聚類的地區綜合評價[J].中國科技信息，2018（10）.

[6]付強，趙小勇.投影尋蹤模型原理及其應用[M].科學出版社，2006.

[7]Croux C， Filzmoser P， Oliveira M R. Algorithms for Projection–Pursuit robust principal component analysis[J].Chemometrics & Intelligent Laboratory Systems，2007（02）.