精度試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)方法研究*

張志輝

（91404部隊(duì) 秦皇島 066001）

1 引言

在對(duì)探測(cè)類設(shè)備的測(cè)量精度進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)收時(shí)，由于陪試目標(biāo)的速度越來(lái)越快，獲得的數(shù)據(jù)樣本量越來(lái)越小，特別是光學(xué)探測(cè)設(shè)備，由于作用距離較近，一次進(jìn)入獲得樣本極少［1～6]。因此我們需要在少量試驗(yàn)樣本條件下，研究對(duì)測(cè)量精度試驗(yàn)數(shù)據(jù)的科學(xué)統(tǒng)計(jì)方法。

2 常用統(tǒng)計(jì)方法

對(duì)測(cè)量精度的統(tǒng)計(jì)方法常用有兩種，一種為采用樣本2階中心距對(duì)方差σ2進(jìn)行估計(jì)［7～9]：

該方法是利用已獲試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)的方差估計(jì)總體樣本方差，方法直觀，易于理解，較為常用。但該估計(jì)量的期望為

即用2階中心距S2對(duì)方差σ2估計(jì)不滿足無(wú)偏估計(jì)要求。

為使估計(jì)量的期望為σ2，從2階中心距S2演變出另一種對(duì)方差σ2估計(jì)量［7，10～11]為

3 從風(fēng)險(xiǎn)角度分析2種統(tǒng)計(jì)方法優(yōu)劣

假設(shè)探測(cè)設(shè)備的精度指標(biāo)要求為1，探測(cè)設(shè)備按照精度1進(jìn)行設(shè)計(jì)。假設(shè)探測(cè)設(shè)備驗(yàn)收試驗(yàn)測(cè)量值為X，X滿足標(biāo)準(zhǔn)正太分布：

可知［7，12]：

使用2階中心距S2對(duì)方差σ2進(jìn)行估計(jì)時(shí)，研制方風(fēng)險(xiǎn)為α1，使用方風(fēng)險(xiǎn)為β1，則：

圖1 用2階中心距S2估計(jì)方差σ2時(shí)研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)

從圖1可以看出，當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)較小時(shí)，研制方風(fēng)險(xiǎn)很小，使用方風(fēng)險(xiǎn)較大。即對(duì)一個(gè)測(cè)量設(shè)備驗(yàn)收試驗(yàn)時(shí)，采用1000以下樣本數(shù)對(duì)的測(cè)量精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)使用方不利，對(duì)研制方有利。圖中由于縱軸間隔不等，造成風(fēng)險(xiǎn)曲線有拐點(diǎn)。

使用無(wú)偏估計(jì)S*2對(duì)方差σ2進(jìn)行估計(jì)時(shí)，研制方風(fēng)險(xiǎn)為α2，使用方風(fēng)險(xiǎn)為β2，則：

圖2 用無(wú)偏S*2估計(jì)方差σ2的研制方使用方風(fēng)險(xiǎn)

同樣可以從圖2看出，當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)較小時(shí)，研制方風(fēng)險(xiǎn)很小，使用方風(fēng)險(xiǎn)較大。即對(duì)一個(gè)測(cè)量設(shè)備驗(yàn)收試驗(yàn)時(shí)，采用100以下樣本數(shù)對(duì)的測(cè)量精度進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)使用方不利，對(duì)研制方有利。

對(duì)比圖1和圖2可以看出，相同試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)情況下，無(wú)偏估計(jì)方差σ2的研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)差距更小，即試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)小于1000時(shí)，用S*2對(duì)方差σ2估計(jì)更優(yōu)，試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)大于1000時(shí)，兩種統(tǒng)計(jì)方法相當(dāng)。因此，用S*2對(duì)方差σ2估計(jì)更優(yōu)。

4 改進(jìn)統(tǒng)計(jì)方法

既然用S*2對(duì)方差σ2估計(jì)更優(yōu)，我們不禁要問(wèn)，該統(tǒng)計(jì)方法是否為最優(yōu)？最否有更優(yōu)的統(tǒng)計(jì)方法？

我們同樣從風(fēng)險(xiǎn)角度出發(fā)，最優(yōu)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)當(dāng)是研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)均為0.5時(shí)。

參照S2到S*2演變的過(guò)程，最優(yōu)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)當(dāng)為如式（3）：

則：

可得：

圖3 δ隨試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n變化情況

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可取δ=5/3，得：

圖4 用估計(jì)方差σ2的研制方使用方風(fēng)險(xiǎn)

從圖4可以看出，除試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n=2時(shí)外，其余試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)時(shí)研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)接近0.5，滿足雙方風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)原則。研制方風(fēng)險(xiǎn)約大于使用方，且差距較小，滿足探測(cè)設(shè)備的精度指標(biāo)驗(yàn)收試驗(yàn)要求。因此用對(duì)方差σ2進(jìn)行估計(jì)優(yōu)于S*2，當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n大于2時(shí)，均可使用；當(dāng)試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n=2時(shí)，可選用對(duì)方差σ2進(jìn)行估計(jì)。

5 仿真驗(yàn)證

采用Matlab軟件工具，通過(guò)仿真試驗(yàn)的方式，驗(yàn)證三類統(tǒng)計(jì)方法優(yōu)劣。每次試驗(yàn)取試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n=10，試驗(yàn)10000次。每次試驗(yàn)分別采用三類統(tǒng)計(jì)方法對(duì)方差σ2進(jìn)行估計(jì)。其中每次試驗(yàn)的各點(diǎn)測(cè)量結(jié)果用Matlab軟件工具randn函數(shù)生成均值為0，方差為1的正太偽隨機(jī)數(shù)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表10。

表1 三類統(tǒng)計(jì)方法試驗(yàn)結(jié)果比較

6 結(jié)語(yǔ)

從試驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)角度出發(fā)，分析了現(xiàn)有2階中心距S2和無(wú)偏估計(jì)S*2兩種常用的統(tǒng)計(jì)方法，推導(dǎo)計(jì)算了兩種統(tǒng)計(jì)方法的研制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)，比較了兩者之間的優(yōu)缺點(diǎn)，確定了兩者的適用范圍。同時(shí)根據(jù)試驗(yàn)雙方的風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)原則，參照S2到S*2演變的過(guò)程，在無(wú)偏估計(jì)S*2基礎(chǔ)上，改進(jìn)統(tǒng)計(jì)方法，適用于少量樣本時(shí)對(duì)方差σ2估計(jì)。