基于最大熵原理的有極分子電介質極化研究

田寶國　曲亮生　王　棟

(海軍航空工程學院基礎部，山東 煙臺　264001)

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基于最大熵原理的有極分子電介質極化研究

田寶國曲亮生王棟

(海軍航空工程學院基礎部，山東 煙臺264001)

本文從最大熵原理出發，研究了有極分子電介質的極化規律.結果表明，有極分子電介質的電極化強度與電場強度并非遵從嚴格的線性關系，只是當電場不很強時，電極化強度與電場強度近似成正比，而當電場強度非常大時，電極化強度將趨于定值.利用該原理同樣可以研究無極分子電介質的極化問題.

熵；最大熵原理；電介質極化；有極分子

熵概念作為描述熱力學系統的態函數，最早是由克勞修斯于1865年提出的，并可用之定量解釋熱力學第二定律.1877年，玻耳茲曼給出了熵的微觀意義(統計解釋)，把熵概念與宏觀系統所包含的熱力學概率聯系起來[1].1948年，Shannon提出了信息熵的概念，用熵概念來描述信息量的獲得[2].1958年，科爾莫戈羅夫發展了熵的概念，作為不確定性的數學度量，將其引入到非線性動力學中[3].目前，熵的概念在物理、化學、經濟、信息科學等自然科學以及工程技術等許多領域都得到了廣泛的應用，甚至被推廣到社會科學中[4-8].在文獻[6]中，作者用最大熵原理研究了電介質的極化問題，但文中分子的能量只考慮了分子在電場中所具有的電勢能.本文在考慮有極分子轉動動能的情況下繼續進一步深入研究.

1　熵及最大熵原理

在統計物理學中，熵是分子運動無序程度的度量，熵值越大，分子運動無序程度越高；熵值越小，分子運動無序程度越低.而在熵的一般化定義中，熵是系統狀態分布的一種量度.本文考慮系統狀態可連續取值的情況，設系統某狀態變量取值的概率密度為f(x)，則熵定義為S=-k∫f(x)lnf(x)dx

(1)

(2)

最大熵原理是1957年由E.T.Jaynes提出的[9]，原理的基本內容可以表述為：一個宏觀系統的熵在一組約束條件下將趨于最大值.按照此原理，對于一個宏觀系統，如果選擇合適的約束條件，然后計算其熵在此約束條件下的極大值，就可以求出該系統的微觀狀態的概率分布.這樣就把求系統的分布問題轉變為數學上求一定約束條件下的極值問題.因此其在物理、化學、交通甚至社會科學等很多領域都得到了廣泛應用.本文采用此原理研究有極分子電介質的極化問題.在統計物理教材中，有極分子電介質的極化問題通常采用玻耳茲曼分布理論或系綜理論解決，但是這兩個理論都是針對平衡態問題，而最大熵原理作為確定系統分布的重要方法，不僅適用于處理平衡態問題，同樣也適用于處理非平衡定態問題，所以采用此原理研究電介質極化問題更具有一般性，結果也更豐富.

2　有極分子電介質的極化研究

電介質也稱為絕緣體，其內部幾乎不存在自由電荷.如果把電介質放在電場中，它的表面或內部將出現束縛電荷，也稱為極化電荷；電介質在電場中出現極化電荷的現象，稱為電介質的極化.按照電介質極化的微觀機理解釋，每個分子所有負電荷對外影響均可等效為單獨一個靜止負電荷的作用，這個等效負電荷的作用位置稱為分子的“負電作用中心”.同理，分子中所有正電荷對外影響也可等效為一個正電荷的作用，其作用位置稱為分子的“正電作用中心”.根據正負電荷“中心”位置的相互關系可以把電介質分為兩類：一類電介質分子的正負電荷“中心”重合，這類分子叫做無極分子，由無極分子組成的電介質稱為無極分子電介質；另一類電介質分子的正負電荷“中心”不重合，而是形成一定的電偶極矩，這類分子稱為有極分子，由有極分子構成的電介質稱為有極分子電介質.

有極分子電介質中的每一個分子雖然都具有一個固有電矩，但由于分子的無規則熱運動，在沒有外場時，電介質中所有分子的固有電矩的矢量和為零，宏觀上不產生電效應.若加上電場，則在電場力的作用下，電介質分子的固有電矩將傾向于轉向電場方向，于是各分子電矩的矢量和不再是零，宏觀上表現為在電介質表面或內部出現了極化電荷，這種現象稱為有極分子電介質的取向極化現象.在有極分子電介質中，除發生取向極化外，還會發生位移極化，但是由于取向極化比位移極化效應要大得多，所以一般不考慮位移極化，因此可以認為分子的電偶極矩大小不隨電場變化.

有極分子介質中的每一個分子可以看作是一個用輕質剛性桿連接兩個點電荷的剛體模型.另外，極化后的電介質在宏觀上會出現極化電荷分布，這些極化電荷反過來又激發附加電場，疊加在原來的外電場上得到電介質內的實際電場.因此，分子所具有的能量應該包括分子的轉動動能和在電場中所具有的電勢能.設電介質內實際電場強度為E，電介質分子的瞬時電矩為p，當瞬時電矩與電場強度之間的夾角為θ時(見圖1)，分子能量表達式為

圖1　有極分子電介質模型

(4)

概率密度滿足歸一化條件，即

(5)

分子所具有的平均能量

(6)

這樣求分子分布的問題在數學上轉化為在滿足式(5)和式(6)約束條件下的最大熵問題.由于有約束條件的限制，與分子分布有關的坐標和動量并不獨立，為此，可通過引入兩個拉格朗日不定乘子α和β，將坐標和動量的不獨立性轉嫁到拉格朗日不定乘子上，而認為分子坐標和動量彼此獨立，但將是α和β的函數.為此，定義拉格朗日函數為

(7)

根據變分原理，由F對f的導數為零，可得

(8)

即

(9)

式(9)代入歸一化條件式(5)得

(10)

于是得到

(11)

把式(11)代入式(9)得到概率密度表達式為

(12)

設電介質單位體積內的分子數為n，則單位體積內所有分子的電矩沿電場方向的分量之和為

(13)

由式(13)可以看出， 轉動動能對電極化強度沒有貢獻，這是由于外部電場只改變了分子的電勢能，而對分子的轉動能量沒有影響.令y=βpE，ξ=cosθ，利用朗之萬函數

(14)

可得

(15)

而單位體積內所有分子的電矩垂直于電場方向的分量之和為

(16)

根據電極化強度的定義，電極化強度矢量等于單位體積內所有分子電矩的矢量和.綜合式(15)和式(16)，可得電極化強度矢量的大小為P∥的大小，方向與電場方向平行.

在大學物理教材中，所給出的電極化強度與電場強度之間的關系滿足線性關系，即

(17)

其中,χ為電介質的電極化率;ε0為真空電容率.

而由式(15)可以看出，在一定溫度下，電介質電極化強度與外電場并非滿足線性關系.我們作出朗之萬函數的圖像如圖2所示.由圖2可以看出，當y=βpE取值較小時，可以近似看作線性函數，而當y取值很大時，函數將趨于定值，這說明當電場強度非常大時，電介質的電極化強度將趨于不變，這是因為此時所有分子的固有電矩都趨向與外電場完全一致，電極化強度達到最大值.

圖2　朗之萬函數圖像

(18)

可見在此條件下，電極化強度與電場強度近似成正比，與一般物理教材教材的結論一致.比較式(17)和式(18)，進一步得到電介質的電極化率為

(19)

3　結論和討論

本文運用最大熵原理研究了有極分子電介質

在電場中的極化規律.結果表明，有極分子電介質的電極化強度與電場強度并非是嚴格的線性關系，只有當電場不很強時，電極化強度與電場強度近似成正比，而當電場強度非常大時，電極化強度將趨于定值.另外，論文只是針對有極分子電介質極化進行了研究，但這種方法也同樣適用于無極分子電介質的極化問題，因為無極分子電介質的極化屬于位移極化，此時分子的電偶極矩大小會隨著電場強度的大小變化而變化，分子的能量表達式及系統熵要考慮此因素的影響.

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STUDY TO THE POLARIZATION OF POLAR MOLECULE DIELECTRIC BASED ON MAXIMUM ENTROPY PRINCIPLE

Tian BaoguoQu LiangshengWang dong

(Department of Basic Sciences, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai Shandong 264001)

Polarization of polar molecule dielectric is studied based on maximum entropy principle in this paper. The result shows that its electric polarization intensity is not proportional to the electric field intensity. Only when electric field isn’t very strong, the electric polarization intensity is proportional to the electric field intensity. However, when electric field is very strong, the electric polarization intensity will tend to be constant. The polarization of non-polar molecule dielectric can also be studied based on this principle.

entropy; maximum entropy principle; dielectric polarization; polar molecule

2015-09-07;

2015-11-07

田寶國，男，教授，海軍航空工程學院基礎部.tbgzjp@sina.com

引文格式: 田寶國,曲亮生,王棟. 基于最大熵原理的有極分子電介質極化研究[J]. 物理與工程，2016，26(3)：20-23