考慮裂縫導流能力時效性的多級壓裂水平井產能半解析模型

李準 吳曉東 韓國慶 王瑞河 鄭磊

中國石油大學石油工程教育部重點實驗室，北京 102249

多級壓裂水平井是國內外油氣田開發過程中用于增產的一項關鍵技術，準確地評價和預測多級壓裂井的產能對實際生產過程具有十分重要的意義。裂縫導流能力是影響壓裂水平井產能和增產效果的關鍵參數，以往的產能模型總是假設裂縫導流能力為一定值，而室內實驗和礦場實踐表明，在實際生產過程中，裂縫導流能力隨時間不斷變化。對于裂縫導流能力隨時間的變化，國內外學者進行了大量研究。俞紹誠等(1987)在陶粒支撐劑和蘭州壓裂砂長期裂縫導流能力實驗的基礎上，給出了長期裂縫導流能力與時間的經驗關系式［1］。蔣廷學等(2004)開發了高溫條件下考慮壓裂液傷害的長時(8 h)導流能力測試技術，并結合前人關于長期導流能力的測試結果，由短期導流能力推導了長期導流能力的變化公式［2］。溫慶志等(2007)在研究20/40目陶粒支撐劑嵌入對裂縫長期導流能力的影響時，得到一定閉合壓力下導流能力與時間的關系表達式［3-5］。Gringarten等 (1973)、Ozkan等 (1991)分別用實空間和拉氏空間的源函數求解油藏滲流問題，并給出了用源函數方法求解滲流方程的方法和一定條件下油藏滲流問題源函數解庫［6-7］。廉培慶等利用紐曼乘積、源函數的方法，求解了耦合油藏、裂縫、水平井流動的產能計算模型，將裂縫內流體流動處理為裂縫內一點到井筒的平面徑向流，不符合裂縫的實際流動情況［8］。有關裂縫導流能力分布及其隨時間的變化對產能的影響，學者也做了大量的研究。劉宇、熊健、姚珊珊等考慮裂縫導流能力隨位置的變化對壓裂井的壓力和產能變化進行了計算，分析了不同導流能力分布方式下的壓裂井和裂縫內壓力變化規律，但都沒有考慮裂縫導流能力隨時間的變化［9-16］。焦春艷等(2011)建立了考慮人工裂縫導流能力隨時間變化的垂直壓裂井不穩定壓后滲流模型，分析了導流能力變化對壓后生產動態的影響并作了敏感性分析，但在模型求解的時候運用了有限差分的方法，存在著運算速度慢、需要對油藏進行網格劃分、收斂性差等問題［17］。謝麗沙等(2013、2016)利用半解析的方法，在無限大地層壓降公式的基礎上，運用復勢疊加原理，考慮了裂縫導流能力時變性的影響，建立了壓裂井的產能模型，分析了導流能力時變性對壓裂水平井產能和流場的影響，但是該模型將裂縫進行分段，每一段看成是一個點匯，將裂縫內的流動處理成端部到井底的平面徑向流，并沒有對壓裂井裂縫內的流動進行詳細的研究［18-19］。賈品等(2016)將裂縫內部的流動考慮為沿裂縫方向的一維線性流，流動方程用有限差分的方法處理，用拉氏空間點源函數求解油藏滲流，將兩者進行耦合，建立了各種復雜裂縫條件下的壓裂井的壓力分析和產能計算模型，但是并沒有考慮裂縫導流能力的時變性［20］。筆者在前人研究成果的基礎上，利用封閉邊界板源函數，結合紐曼乘積、疊加原理得到油藏滲流解析解，利用有限差分方法求解導流能力隨時間變化的裂縫滲流模型，通過裂縫交界面的流量和壓力相等，將油藏滲流解析解和裂縫滲流的數值解進行耦合求解，得到了考慮裂縫長期導流能力的多級壓裂水平井產能半解析模型，并分析了導流能力變化對產能的影響，本文的研究成果對生產實踐具有一定的指導意義。

1 模型描述

模型假設：

(1)有一均質各向異性箱狀油藏，6個外邊界封閉；

(2)油藏流體是單相微可壓縮的；

(3)在t=0時刻，整個油藏壓力處處相等，為初始油藏壓力；

(4)油藏中存在一口多級壓裂水平井，在水平段進行了壓裂，壓出n條垂直于水平井的裂縫，裂縫穿過整個油層厚度；

(5)在水平段沒有進行補孔，流體將先從地層流入裂縫，然后沿裂縫流入井筒；

(6)裂縫為有限導流裂縫，且導流能力隨時間變化，裂縫內部為垂直井筒的一維達西流，裂縫向井筒的流動為平面徑向流。

多級壓裂水平井示意圖如圖1所示。

圖1 多級壓裂水平井示意圖Fig.1 Sketch of multi-stage fractured horizontal well

2 油藏滲流模型

對于均質各向異性的油藏，其擴散方程為

其中

式中，ηx、 ηy、 ηz分別為x、y、z方向的傳導率，m2/s。

初始條件

邊界條件

內邊界條件

式中，kx、ky、kz分別為x、y、z方向儲層滲透率，m2；φ為儲層的孔隙度；μ為流體的黏度，Pa· s ；Ct為儲層的壓縮系數，Pa-1；pini為初始油藏壓力，Pa。

可利用源函數方法求解上述方程，根據Grington、廉培慶等［6-8］的結論可知，體積為xf×yd×h的裂縫可以看成是x、y、z方向的尺寸分別為xf、yd、h的封閉邊界板源的疊加，滿足Newman乘積定律，則位于(x0,y0,z0)單 位強度源在 (x,y,z)產 生的壓降A(t)可以用下式計算

式中， α = φμCt；S1、S2、S3分別表示點 (x0,y0,z0)處的3個方向的Green函數；a、b、h分別為油藏的長度、寬度和厚度，m。

3 考慮裂縫長期導流能力的縫內流動模型

由于裂縫的高度和寬度相對裂縫的長度來說較小，裂縫內的滲流可以看成裂縫長度方向的一維達西流動，不考慮裂縫導流能力在空間分布上的差異性，即認為裂縫內部導流能力處處相等［21-22］。

考慮油藏向裂縫流入的裂縫內的一維擴散方程［20］

式中，φ為人工裂縫的孔隙度；CFt為人工裂縫的壓縮系數，Pa-1；kF(t)表示t時刻人工裂縫的滲透率，m2；yd為人工裂縫的寬度，m；qF(x,t)為t時刻油藏流體流向裂縫的單位長度上的線流量，m2/s。

Cinco等指出人工裂縫的壓縮性可以忽略，因為裂縫的體積很小，裂縫內的流動可以認為是不可壓縮的［21-22］。在這種假設下，上述公式可以簡化為

利用中心差分方法，對裂縫內的一維達西流采用點中心網格進行離散(圖2)，得到方程(8)的全隱式差分格式為

對直角坐標系里的等距網格有

圖2 裂縫內部的線性流Fig.2 Linear flow inside the fracture

根據溫慶志等的研究［5］，隨時間變化的裂縫導流能力計算模型為

式中，β為裂縫導流能力變異系數，無因次，取值一般為0.2～0.3；kF0yd0為初始裂縫導流能力，m2· m 。

將公式(11)代入到公式(10)將得到考慮考慮裂縫長期導流能力的裂縫流動模型的離散形式

4 油藏與裂縫流動耦合模型

假設油藏和裂縫交界面處的油藏節點壓力p1,p2,···,pN，裂縫的節點壓力pF1,pF2,···,pFN，從油藏節點到裂縫節點的流量qF1,qF2,···,qFN。由于在交界面處的壓力和流量的連續性，油藏節點壓力和裂縫節點壓力相等，pi=pFi。

式(6)給出了單個裂縫塊對油藏中任意點壓力降的大小，在多個裂縫同時生產時(如圖3)，使用空間疊加原理，點 (xi,yi,zi)處的壓力降可以表示為

式中，pi(t)為t時 刻裂縫網格i的 壓力，Pa；pi((xi,yi,zi),(xj,yj,zj),t)為 受第j個 裂縫網格影響時t時刻裂縫網格i的壓力，Pa；Aij(t)為t時 刻第j個裂縫網格以單位產量生產時在裂縫網格i處產生的壓降，Pa； (xi,yi,zi)，(xj,yj,zj)分 別為第i、j個 裂縫網格的中心坐標；qFj為第j條裂縫的流量，m3/s。

圖3 油藏與裂縫流動耦合模型Fig.3 Coupling model of flow in oil reservoir and fracture

對變質量流，應用Duhamel原理，可得到地層中任意處的壓力降為

式中，N為裂縫塊的總數，選取適當的時間步長 Δt，結合式(13)并把式(14)寫成關于時間步的數值積分形式［8］，對每一個裂縫塊i應有

5 定解條件離散

式(10)和式(12)給出了裂縫內部線性流的表達式，而裂縫到水平井筒的流動可以看成是半徑為h/2 的平面徑向流［11-12］(圖4)。

圖4 裂縫流向井筒平面徑向流Fig.4 Radial fluid flow from the fracture to the well

考慮可能產生的表皮因數，其定產條件為［20］

式(16)可以用于計算單個與井筒相連的裂縫網格流入井筒的流量，對多級壓裂水平，其總流量為各個裂縫流入井筒的流量之和，可表示為

式中，Nw為與井筒相連的裂縫網格的編號；pNw為與井筒相連的裂縫塊的網格壓力，Pa；qNw為網格節點Nw流向井筒的流量，m3/s；q為裂縫井的總流量，m3/s；pwf為井底流壓，Pa；S為表皮因數。本文假設水平井筒為無限導流，因此可認為井底流壓處處相同。

在前述油藏滲流模型、裂縫滲流模型以及定解條件離散的基礎上，先根據壓裂水平井基本參數，將裂縫網格劃分(圖2)，將裂縫塊從一個端部向另一個端部依次編號，并將多條裂縫的編號進行疊加，如圖3所示。假設網格總數為N，對每一個裂縫塊利用油藏內的壓力響應公式(15)和全隱式塊中心差分公式(12)分別建立方程，可以得到關于qF1,qF2,···,qFN，pF1,pF2,···,pFN的 2N個方程，再結合定產公式(17)，便得到關于2N+1個 未知變量：qF1,qF2,···,qFN，pF1,pF2,···,pFN，q的 2N+1個方程組成的封閉方程組，可以采用Gauss全主元消去法快速求解該方程組。

以一條裂縫，每個半長被分成4段來說明耦合方程組具體的形式，網格從裂縫一端到另一端依次編號，共8個網格，其中與井相連的網格為第4、第5個網格，如圖2所示。

假設總方程為

M代表前N個方程組成的未知量qF1,qF2,···,qF8對應的系數矩陣，根據公式(15)可得到

根據式(15)還可以得到未知量pF1,pF2,···,pF8對應的系數矩陣為單位對角矩陣I。

根據式(15)知，前N個方程中不含總流量q，因此未知量q對應的系數矩陣為

根據式(12)可以得到N+1到2N個方程組成的未知量qF1,qF2,···,qF8對應的矩陣為N+1到2N個方程組成的未知量pF1,pF2,···,pF8對應的矩陣P為

第N+1到2N個方程組成的未知量q對應的系數矩陣為

矩陣A的最后一行由定產條件(17)得到

多條裂縫矩陣P的系數分布如圖5所示。

圖5 4條裂縫矩陣P系數分布圖示Fig.5 Diagram corresponding to the matrix P of 4 fractures

矩陣B由各個方程的常數項組成。Δpi代表公式(15)的右端項，需要注意的是，第一個時間步時Δpi=0，其余時間步n(n＞1)只需將前n-1個時間步對應的裂縫塊流量帶入公式(15)右端就可以計算出 Δpi。

多條裂縫對應的矩陣形式，只要先按照圖3對裂縫進行離散編號(從一端到另一端，多條縫從左到右編號依次累加)，按照上述方法進行離散，很容易獲得對應的方程以及對應位置的系數矩陣M、P、A、B，從而建立對應的方程組求解即可。

6 模型驗證

為驗證模型的準確性，利用文獻［19］中的相關數據、實際數據和本文的模型計算結果進行對比，文獻中的基礎數據如表1所示。

表1 A20基礎參數Table 1 A20 basic parameters

從圖6對比結果可以看出，本文模型的計算結果與實際數據以及文獻模型的計算結果都較為吻合，從而說明了本文模型的準確性。本文的模型和文獻［19］結果有一定的差別，這主要是因為本文和文獻［19］對裂縫的處理方式不同，文獻［19］簡單將裂縫到井筒內的流動處理為端部到井筒的平面徑向流，而本文在處理裂縫滲流的時候，參照文獻［23］將其處理為線性流和近井地帶的平面徑向流，本文對裂縫流動的處理更符合實際情況，因此更接近實際生產數據。

圖6 模型結果和生產數據對比圖Fig.6 Comparison between model results and production data

7 實例分析

7.1 導流能力變異系數敏感性分析

采用文獻［19］中的油藏參數取值，對一口多級壓裂水平井進行滲透率變異系數的敏感性分析，相關的取值見表2。

表2 基本參數取值Table 2 Value of basic parameters

分別對考慮裂縫導流能力隨時間變化和裂縫為常導流能力時壓裂井的產量進行計算，并考慮不同的滲透率變異系數取值，進行對比和分析。由圖7可以看出當考慮導流能力隨時間的變化時預測的產量要低，這是因為裂縫導流能力的降低，增加了流體在油層中的滲流阻力，在生產壓差一定時，油藏的產量就會降低。說明了對壓裂井來說裂縫導流能力的變化對產量的影響較大，在進行產能預測時應考慮裂縫導流能力隨時間的變化，從而更準確地預測產能。從不同導流能力變異系數下產能的計算結果可以看出，導流能力變異系數的變化對產量的影響極為敏感，準確地確定導流能力隨時間的變化規律是確定多級壓裂水平井產量變化規律的前提。在實際生產應用中，根據文獻［17］、［19］可以通過對裂縫長期導流能力實驗數據進行回歸分析來確定導流能力變異系數，從而更加準確地預測產能。

7.2 裂縫內流量和壓力變化分析

圖8和圖9為一口4級壓裂水平井在常導流能力和考慮導流能力隨時間變化時的計算結果。圖8(a)、圖9(a)表明，兩種情況下，流體都是主要通過近井處的裂縫節點流入井筒，裂縫節點的流入剖面在近井處出現明顯的“凸峰”，但是隨著時間的增加，裂縫間的干擾變強，在定井底流壓的情況下，凸峰的值逐漸減小。圖8(b)和圖9(b)表明兩種情況下縫內壓力都是從裂縫的頂端井筒處逐漸降低，并且在距離井筒較近處壓力梯度明顯高于距離井筒較遠處，裂縫壓力分布呈現明顯壓降漏斗特征。

圖10是單條裂縫不同時刻考慮裂縫導流能力隨時間變化和常導流能力時流量變化曲線。兩種情況下，都是在近井帶 (-10～10 m)和裂縫頂端處(90～100 m，-90～-100 m)的流量要大于裂縫中間處(30～60 m、-30～-60 m)的流量分布，近井帶產量高的原因是裂縫內存在壓力損失，越靠近井筒附近，生產壓差越大，使得裂縫產量越高。遠端處裂縫的產量要高于中間處是因為其有著更大的泄油面積，且中間處裂縫節點受到的縫間干擾較強。

圖8 常導流能力裂縫內流量和壓力分布規律Fig.8 Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with constant flow conductivity

圖9 變導流能力裂縫內流量和壓力分布規律（β=0.3）Fig.9 Distribution law of flow rate and pressure inside the fracture with variable flow conductivity (β=0.3)

圖10 單條裂縫流量分布變化Fig.10 Change of flow rate change in single fracture

通過進一步比較近井處（-10～10 m）流量占總流量的比例(圖11)可以發現，定流壓生產情況下，常導流能力時，近井帶流量占總流量的比例隨著生產時間延長而降低，而當考慮裂縫導流能力隨時間的變化時近井帶流量占總流量的比例卻隨生產時間延長而增加，并且二者數值上差別也較大，后者明顯大于前者。這說明裂縫長期導流能力的損失導致更多的流體通過近井地帶裂縫流入井底，裂縫內壓降更多地發生在近井地帶，這和文獻［16-17］的結論具有較好的一致性。

8 結論

(1)本文基于油藏滲流模型的解析解和裂縫滲流模型的離散數值解，考慮裂縫導流能力隨時間變化這一重要影響因素，建立了多級壓裂水平井的半解析產能計算模型，并通過和實際生產數據的對比驗證了本文模型的正確性。

(2)裂縫導流能力時效性會降低壓裂井的產量，裂縫導流能力變異系數的變化對產量的影響較為明顯，裂縫導流能力時效性對產能的影響不可忽略，實際生產中應先通過裂縫長期導流能力實驗數據來確定導流能力變異系數，在此基礎上更加準確地預測產能。

(3)裂縫導流能力的降低會改變裂縫井附近滲流場分布，影響裂縫內的流量和壓力的分布，使裂縫產量在井筒附近的峰值更加明顯，會使流體更多地沿井筒附近的裂縫處流入井底。