高溫服裝熱度分布的研究

何笑笑 劉可盈 王吉桓 王蒙蒙 趙陽君

摘? ?要：在高溫環境下，為避免灼傷，穿專用服裝對人身安全至關重要。首先，文章利用Matlab繪制出溫度變化圖，獲得其變化規律;其次，根據密度等專用服裝材料的參數值，建立傅里葉熱傳導方程模型;再次，利用拋物型方程的差分解法以及對溫度分布條件進行離散化，求出方程優化結果;最后，得到I～IV層溫度分布的離散化函數，并得出結論：顏色區域越深，表示溫度越高。以此幫助更好地設計高溫專用服裝。

關鍵詞：Matlab;傅里葉熱傳導方程模型;偏微分方程

1? ? 問題提出和分析

1.1? 問題提出

為了設計高溫專用服裝，將體內溫度為37 ?C的假人放置在實驗室的高溫環境中，測量假人皮膚外側的溫度。為了降低研發成本、縮短研發周期，本研究利用數學模型來確定假人皮膚外側的溫度變化情況[1]。

1.2? 問題分析

考慮到工作者在不同溫度的環境以及穿著不同材料的服裝，人體溫度和部位的皮膚溫度不同，首先，本研究基于溫度和時間的變化規律，繪制出溫度變化圖;其次，利用擬合得到溫度與時間的關系函數;最后，根據每個織物材料層都有熱傳導率ki（i=1，2，3，4）、密度等參數值，建立傅里葉熱傳導方程模型。但鑒于穩態之前有一個過程，故利用拋物型方程的差分解法以及對溫度分布條件進行離散化，求出方程優化結果。

2? ? 模型建立和求解

2.1? 模型建立

首先，根據熱量守恒定律，計算單位時間內從單位體積內放出的熱量Q，則從t1到t2這段時間內熱源所提供的熱量為：

（1）

其中，F（x，y，d，t）表示熱源強度，Q表示熱源提供的熱量。

又由于各織物材料層是均勻的，但厚度不一樣，因此，各織物材料層則轉化為三維熱傳導方程為：

（2）

其中，u=u（t，x，y，d）表示溫度，它是時間變數i與空間變數（x，y，d）的函數;ki為此材料層的熱傳導率，ci為比熱ρi（i=1，2，3，4）為密度，都是已知的常數，且，。

其次，通過對數據擬合得到假人皮膚外側的測量溫度關于時間的函數關系式，建立拋物型方程，利用差分的方法求出其近似的數值解[2]。

在網格內點（k，j）處，一維熱傳導方程可分別表示為：

基于以上模型分析，用x，y，d表示I，II，III織物層，根據如下的計算方法得出：

故將原問題轉化為：

2.2? 模型求解

首先，能夠明確知道的是，環境溫度即為第I層左側開始傳導的溫度，第IV層右側即為假人皮膚的溫度，對90 min實驗數據進行觀察，可知初始時刻人體溫度為37 ℃，時間在1 745 s人體溫度變為48.08 ℃，并在此以后保持不變。我們對0 s和1 745 s這個過程的數據利用Matlab軟件進行九階擬合，皮膚溫度與時間擬合關系如圖1所示。

由圖1可知，粗線為原始數據曲線，細線為擬合的九階曲線圖，可以看到擬合曲線很好地進行了擬合，得出假人皮膚外側的測量溫度隨時間的變化函數為：

（8）

最后，綜合考慮以上建立的模型和數據擬合方程，對溫度分布條件進行離散化，求出方程優化結果：

（9）

將優化結果代入上述的優化函數中，得到I層到IV層離散化溫度區域分布散點圖[3]，如圖2所示。

根據圖3可以得到I層到IV層溫度區域的三維分布散點圖，對應不同的時間和材料距離，對應的溫度也不同，其中，溫度由淺綠到深藍，顏色越深，溫度越高。

2.3? 結果分析

通過對時間與溫度的數據進行擬合，得到溫度與時間的關系函數，建立傅里葉熱傳導方程模型，利用拋物型方程的差分解法以及對溫度分布條件進行離散化，求出方程優化結果，并代入優化函數中，最后得到I層到IV層溫度分布的離散化圖像，得出不同的時間和材料距離，就會產生不同的溫度，并且顏色越深，溫度越高。

[參考文獻]

[1]runok工作室.2018年全國大學生數學建模競賽A題[EB/OL].（2018-09-14）[2019-06-10].https：//blog.csdn.net/sdwujk160507140150/article/details/82707400.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].3版.北京：高等教育出版社，2003.

[3]吳建國.數學建模案例精編[M].北京：中國水利水電出版社，2005.

Research on heat distribution of high temperature garment

He Xiaoxiao， Liu Keying， Wang Jihuan， Wang Mengmeng， Zhao Yangjun

（School of Computer and Information Engineering， Henan Normal University， Xinxiang 453000， China）

Abstract：In high temperature environment， in order to avoid burns， wearing special clothing is important to personal safety. First of all， the paper uses Matlab to draw the temperature change chart and get its change rule. Secondly， the Fourier heat conduction equation model is established according to the parameter values of special clothing materials such as density. Secondly， using the differential solution of parabolic equation and discretization of temperature distribution conditions， the optimization results of equations are obtained. Finally， the discretization function of the temperature distribution of I～IV layer is obtained， and it is concluded that the deeper the color area is， the higher the temperature is. This helps to better design special high-temperature clothing.

Key words：Matlab; Fourier heat transfer equation model; partial differential equation