塔吊防擺LQR最優控制器研究

(西安工程大學 電子信息學院，陜西 西安 710048)

塔吊也稱塔式起重機，屬于非連續性搬運重型機械，是一種起重臂安裝在機身頂部，并且起重臂可以旋轉工作的機械。它常用于房屋建造和橋梁建造等場所，可以有效地節省人力、降低成本、提高速率[1]。塔式起重機主要包含一個小車，可在水平面上平移。有效載荷通過電纜連接到小車上，然后將物體掛在繩索上，其長度可以通過提升機構來改變。在很早的時候，主要靠有技術的人員通過駕駛來最小化擺動的幅度，但是人力操作難免會有誤差，有時會造成很大的損失[2]。

近些年來，人們越來越重視塔吊的安全系統，文獻[3]對塔吊防碰撞算法進行研究，增加了時間域，建立了四維模型，利用ZigBee技術實現防碰撞；文獻[4]對塔吊工作時的圖像進行跟蹤，使用Camshift技術實時跟蹤圖像；文獻[5]對塔吊進行了模糊化的防擺動控制，雖然可以對擺動進行抑制，但會導致控制精度降低。為了更加高效地抑制塔吊工作時的擺動現象，本系統設計了LQR(Linear Quadratic Regulator)塔吊防擺動控制器，增加了系統的精度，對塔吊消擺有著十分重要的意義。

1 塔吊系統模型建立

塔吊的工作對于物體的穩定度和準確度要求很高，通過控制塔吊的變幅和回轉將物體送往指定的地點。物體在進行垂直運動時擺動基本為零，在進行水平運動時不僅小車準確定位，還要實現物體到達指定位置時的擺動為零。從動力學的方面考慮塔吊的模型，通過對物體受力分析，建立變幅運動時的簡化模型,利用拉格朗日方程對其進行分析，拉格朗日對于多自由度的系統研究十分方便[6-7]，如圖1所示。

圖1 塔吊模型圖

設圖中小車的質量為M,載荷的質量為m。參考點到小車的距離為X,懸掛物體的繩長為l，物體與YOZ面的夾角為α，與XOZ面的夾角為φ，塔吊旋轉角為θ。不計風力和空氣阻尼，塔吊系統是一個多變量動力學模型，采用拉格朗日方程如式(1)所示。

(1)

式中,L被稱為拉格朗日算子；q表示x(t)和φ(t)的自由度；T表示系統的動能；V表示物體的勢能；Q表示在自由度q所產生的力。由圖1所示，在系統中，負載和小車位置向量為

r={X-lcosαsinφ,lsinα,-lcosαcosφ}

(2)

rx={x,0,0}

(3)

系統的動能為

(4)

系統的勢能為

V=-mglcosαcosφ

(5)

(1) 由于滑軌的摩擦力較小，忽略系統的摩擦力，q(t)=x(t)廣義坐標下的拉格朗日方程為

mφ″lcosαcosφ)+Mx″=F(x)

(6)

(2)q(t)=α(t)廣義坐標下的拉格朗日方程為

x″lsinα-lφ′2sinαcosαcos2φ+lφ′2sinαcosαsin2φ-

lα′φ′cos2α-2x′lφ′sinαcosφ+2α′xlφ′sinαcosφ+

mglsinαcosφ=0

(7)

(3)q(t)=φ(t)廣義坐標下的拉格日方程為

φ″lcosαcosφ+2x′lsinαcosφ+x″cosαsinφ-

2x′lφ′2·cosαsinφ-2α′xlφ′2cosαsinφ+gcosαsinφ=0

(8)

由于現實生活中塔吊在變幅運動時的角度α一般特別小，且在平衡位置的角度為0。所以在式(8)中α∝0，sinα=α,cosα=1;系統研究中進行簡化，只研究自由度x(t)和φ(t)的情況。得到方程組

(9)

對式(9)進行變換得到

(10)

建立系統狀態方程：

(11)

式中，X=[x,x′,φ,φ′]T,u=F；Y=[x,φ]T。有

(12)

2 LQR最優控制

2.1 塔吊線性二次最優控制器

如果所研究的系統是線性的，且性能指標為狀態變量和控制變量的二次型函數，則最優控制型問題被稱作是控制型問題。由于線性二次型問題的最優解具有統一的解析表達式，且可導致一個簡單的線性狀態反饋控制律，易于構成閉環最優反饋，便于工程的實現，所以在實際生活中被普遍應用[8]。如式(11)所示，本系統的狀態方程是一個標準的線性二次型問題，構建最優性能指標函數如式(13)所示。

(13)

塔吊控制系統是一個單輸入雙輸出的系統，如果采用經典控制的PID控制需要兩個控制器反饋校正裝置，本系統用LQR只需一個即可，只要是上述的J函數在最小處[9]。控制結構框圖如圖2所示。

圖2 LQR控制結構框圖

2.2 塔吊線性二次最優控制器設計

線性二次型最優控制是基于空間設計優化的動態控制器，具有狀態反饋的線性最優控制系統，在Matlab中調用形式為

[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)

(14)

式中，A為系統的狀態矩陣；B為系統的輸出矩陣；Q為給定的半正定實對稱矩陣;R為給定的正定實對稱矩陣；N代表一般大加權矩陣；K為最優反饋矩陣；S為最Riccati的唯一正定解P；E為矩陣A-BK的特征值[10]。通過設計比較，本系統采用輸入反饋，系統的性能指標為

(15)

(16)

3 系統仿真

由圖3(a)可以看出，當時間到達18 s時，系統的擺動距離基本趨于穩定在5 m處，擺角在-1°～1°之間徘徊。所以選取的Q11陣依舊有問題，應當繼續修改，通過不停的修改，Q12設定為x=100，y=30000時的圖像如圖3(b)所示,當時間為13 s的時候擺動具體曲線趨于穩定在0.5 m，擺角曲線在12 s的時候便穩定在了0，超調量和穩定時間也符合設計要求，所以選取Q12為下面實驗采用的LQR最優控制器參數。

LQR控制器設計完成后，對PID控制和LQR控制時系統擺動長度和擺角的性能進行比較。對PID參數進行選取，經過不停整定，得到一組最優參數，其中KP=12，Ki=0.23，KD=0.01[11]。首先選取m=20 kg，l=5 m,分別用兩種方法進行控制，得到圖4所示的控制曲線；然后再選取m=20 kg，l=10 m，分別用兩種方法進行控制，得到圖5所示的控制曲線。

根據仿真結果(圖4和圖5)，對兩種控制方法進行性能匯總，得到匯總表如表1所示。其中物體的質量選取為20 kg,通過擺長觀察性能指標。

由表1中的數據分析可得，PID控制控制位移超調量雖然很小，但是這種控制方式擺動角度過大，穩定時間也過長，實際運用時會導致塔吊無法快速穩定下來，且角度相比于LQR控制明顯增加許多，所以LQR最優控制器為理想的控制器。

圖3 LQR控制器設計圖

圖4 m=20 kg，l=5 m時控制曲線圖

圖5 m=20 kg，l=10 m時控制曲線圖

控制方法擺長距離/m擺長超調量/rad擺動最大角度/rad擺動穩定時間/s控制條件l=5l=10L=5l=10l=5l=10l=5l=10PID性能指標0.590.600.110.270.700.422726LQR性能指標0.580.570.340.350.350.211817

4 結束語

針對復雜的塔吊控制系統，利用拉格朗日方程對其模型進行分析，得到了系統狀態變量方程，然后對系統設計LQR最優控制器，通過仿真實驗，得到預期結果。本系統的優點有以下3點：

① 使系統的結構更加簡化，建模更加簡單清楚；

② PID控制建模簡單，但最優參數選擇困難，LQR最優控制器參數容易整定選取；

③ 應用LQR這種方法對系統進行防擺抑制，精度更高，擺角抑制更加明顯。