基于Laguerre模型的數字電源預測控制器設計

(中國科學技術大學 自動化系，安徽 合肥 230022)

數字開關電源具有靈活性好、適用性廣等特點，受到人們的廣泛青睞。其常用的控制方法包括比例積分微分(PID)控制、自適應控制、滑模變結構控制和預測控制。其中，PID控制算法因簡單、技術成熟、穩定可靠、控制快而應用廣泛。但由于開關管、二極管、電感等非線性器件存在，開關電源系統非線性較強；且考慮到工業現場環境復雜，系統模型也面臨著發生改變的風險，因此傳統的PI控制往往捉襟見肘。

加拿大杜蒙特等研究了基于Laguerre 函數模型的自適應預測控制算法。該函數模型參數中包含系統時延和階次的信息，對系統時延和階次變化跟蹤效果好，從而對控制時延和階次慢時變的系統有較強的魯棒性[1-2]。

本文將基于Laguerre模型的自適應預測控制算法的性能指標函數與PI控制結合起來，獲得一種動態響應快、穩定性好的自適應預測比例積分(PI)控制算法[3-5]，來滿足控制要求[6]。本文首先介紹了基于Laguerre模型的自適應預測PI控制算法控制律，然后對該算法進行Matlab仿真及FPGA全硬件編程實現，最后在開關電源硬件平臺上實際證明，該算法相較于傳統比例積分(PI)控制，具有更快的動態響應和更穩定的輸出紋波特性。

1 開關電源平臺介紹

圖1為開關電源平臺系統結構圖，該結構包括主拓撲電路、電壓電流信號采集電路和FPGA控制電路三部分。輸出端的電壓電流信號送入控制器FPGA進行運算，輸出一定占空比的雙極性脈沖寬度調制(PWM)信號，控制逆變全橋，繼而改變輸出，信號采集電路采集負載端信號再反饋給FPGA，實現數字閉環控制。以下為開關電源平臺系統設計指標：

① 輸出電壓：DC 10～30 V；

② 輸入電壓：3/N/PE～380 V，50 Hz；

③ 電壓紋波：不大于200 mV；

④ 輸出電流：10～150 A；

⑤ 開關頻率：fs=50 kHz；

⑥ 濾波電容:C=34000 μF；

⑦ 濾波電感:L=12 μH。

圖1 開關電源系統結構

2 基于Laguerre模型的預測PI控制

2.1 Laguerre函數模型

離散型Laguerre 函數的定義為

(1)

式中，a為Laguerre函數的極點。因為任意的平方積分有限的函數f(k)，都可以展開為Laguerre級數線性組合的形式，則有限階次的Laguerre級數近似能夠將任何一個開環環境下穩定系統的輸出表示為

(2)

式中，li(z)=ψi(z)u(z)；ci為Laguerre函數加權系數；u(z)為系統輸入。

該系統的狀態方程用Laguerre函數構成的線性加權近似為

(3)

式中，L(k)=[l1(k),l2(k),…,lN(k)]T為狀態向量；u(k)和ym(k)分別為模型在k時刻的輸入和輸出;C=[c1,c2,…,cN]T為狀態向量的加權系數，N為系統設定的階次;矩陣A和向量B與參數a的設定有關。基于 Laguerre 函數近似模型的自適應預測控制系統結構如圖2所示。

圖2 基于Laguerre函數模型的自適應預測控制系統結構

2.2 增量型預測控制

相對于位置型狀態方程，具有增量型狀態方程控制結構的控制系統的靜態誤差較小。

增量型狀態方程為

(4)

式中，ΔL(k)=L(k)-L(k-1)，Δym(k)=ym(k)-ym(k-1)。

P和M分別表示系統的優化時域和控制時域,并假定M次控制之后的增量為零,即

Δu(k+M+i)=0(i=0,1,2，…)

則由狀態方程式(4)可得

ΔYm(k+1)=HlΔL(k)+HuΔUM(k)

(5)

式中，ΔYm(k+1)=[Δym(k+1)，…，Δym(k+P)]T為未來P步輸出增量;ΔUm(k)=[Δu(k)，…，Δu(k+M-1)]T為模型該時刻起M個的控制量；矩陣Hl、矩陣Hu的定義如下：

則模型未來P步的輸出量為

Ym1(k+1)=SΔYm1(k+1)+Φym(k)

(6)

Φ=[1 1 … 1]T為P×1向量。

即可得到模型的輸出Ym1(k+1)為

Ym1(k+1)=SHlΔL(k)+Φym(k)+SHuΔUM(k)

(7)

其中,自由項響應為

YP1=SHlΔL(k)+Φym(k)

(8)

式中,YP1=[yP(k+1) …yp(k+P)]T。

經過反饋校正后，自由項Yp為

YP(k+1)=YP1(k+1)+K[y(k)-ym(k)]

(9)

式中，y(k)、ym(k)分別為系統k時刻的實際輸出和模型估計輸出；矩陣K為反饋增益矩陣。經修正，未來P步的預測輸出Ym(k+1)為

Ym(k+1)=YP+SHuΔUM(k)

(10)

選取含有控制量增量加權的優化性能指標為

J=[Yr(k+1)-Ym(k+1)]TQ[Yr(k+1)-

Ym(k+1)+ΔUM(k)TRΔUM(k)]

(11)

式中，Yr(k+1)=[yr(k+1) …yr(k+P)]T為未來P步的參考輸出向量，如式(12)所示

yr(k+i)=αiy(k)+(1-αi)w,i=1,2,…,P

(12)

式中，w為設定值；Q,R為加權矩陣；α為柔化因子。取?J/?ΔUM(k)=0，化簡之后可以得到最優增量控制律為

(13)

取ΔUM(k)中的第一個元素作為系統當前的控制量，即

Δu(k)=DΔUM(k)

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

式中，D=[1 0 … 0]1×M。

2.3 增量型預測PI控制

預測控制采樣周期長，計算量大，對隨機干擾實時控制效果差。此外，預測控制算法參數的選取通常是按照經驗選取，而非實際的工程指標，而PI 控制與實際指標結合卻較為緊密。為了平衡兩種控制性能，可以將二者結合，引入增量預測變量，即基于Laguerre函數模型的自適應預測PI控制算法。設優化性能指標為

J=kp‖ΔYr(k+1)-ΔYm(k+1)‖2+

(14)

式中,ΔYr(k+1)=Yr(k+1)-Yr(k),ΔYm(k+1)=Ym(k+1)-Ym(k)；kp為比例系數；ki為積分系數。

取?J/?ΔUM(k)=0，經過化簡可以得到

ΔU(k)=KP[ΔYr(k+1)-ΔYm(k+1)]+

KI[Yr(k+1)-Ym(k+1)]

(15)

其中，矩陣KP和KI表達式分別如下：

取ΔU(k)中的第1個元素作為系統當前控制量，即Δu(k)=DΔU(k)，可以寫為

Δu(k)=KP[ΔYr(k+1)-ΔYm(k+1)]+

KI[Yr(k+1)-Ym(k+1)]

(16)

式中，D=[1 0 … 0]1×M；kP=DKP；kI=DKI。

2.4 模型參數在線辨識

模型參數a確定后，L(k)可通過式(4)計算得到。模型輸出ym(k)則可由式(17)得到：

ym(k)=CTL(k)

(17)

C可采用式(18)最小二乘辨在線辨識得到[7]。

(18)

式中，C(k)為k時刻對參數C的估計值；初始值C(0)通過線下計算或者系統辨識獲取：P(0)按照經驗公式設置為104～1010；λ為遺忘因子，設置為0.9～0.99。

3 仿真實驗

3.1 特種電源控制系統仿真建模

運用有效占空比[8]的方法，可以建立開關電源的等效數學模型，再利用Matlab的c2d函數將開關電源系統傳遞函數離散化，得到的離散型傳遞函數為

(19)

使用仿真軟件Matlab編寫了兩種控制算法程序，以仿真比較兩種控制方法下的控制效果。經過計算和實驗，確定比例系數kp=0.02，積分系數ki=0.01，其他的控制參數分別為：模型階次N=2，極點a=0.9，采樣周期T=0.001，預測時域長為P=3，柔化因子α=0.9，輸入加權矩陣R=I，遺忘因子λ=0.9。

3.2 系統響應時間的比較

給定一個階躍輸入作為參考，系統的總仿真時間為2000個采樣周期。仿真結果如圖3所示。預測PI控制相對于傳統PI控制超調量從10.7%降低到了幾乎無超調，穩定時間從19個采樣周期減少到了8個采樣周期，減少了57.9%。系統的超調量抑制以及動態響應有了較大的提升。

圖3 預測PI控制與傳統PI控制仿真比較

3.3 系統時延變化時的比較

當開關電源系統發生變化時，如開關管的老化、損傷，系統模型參數也將發生相應的變化。假設系統模型在300個采樣周期時發生變化，傳遞函數變為

(20)

繼續對兩種控制算法進行仿真，仿真結果如圖4所示。

圖4 預測PI控制與傳統PI控制在變階次系統中仿真比較

由圖4可以看出，當系統階次發生變化時，傳統的PI控制效果變差，系統處于振蕩狀態，振蕩幅值約為9.8 V。而自適應預測PI控制仍然較為平穩，穩定時間為10個周期左右，雖然系統存在5.2%左右的過沖，但是系統趨于穩定。

4 預測PI控制算法的FPGA實現

相對于DSP 串行處理機制，采用并行FPGA全硬件的方式實現自適應預測PI控制算法，可以大大提升算法運行速度[9-10]，并通過引入采樣速率高達10 MHz的數模轉換芯片AD9240，進一步提高控制算法的響應速度。

經FPGA程序綜合后，程序模塊如圖5所示，共有電壓電流信號采集模塊[11]、LED指示模塊、數字濾波模塊、算法控制模塊、脈沖寬度調制模塊以及串口通信模塊6個模塊。

圖5 預測PI閉環控制算法程序模塊

全硬件實現方式對FPGA的硬件資源提出了較高的要求，例如預測PI控制算法涉及到的矩陣計算和向量運算需要用到大量的乘加運算，這就需要足夠的寄存器來保存中間結果。并且硬件資源消耗隨著矩陣的維數的增長而發生指數式增長[12-13]，故在算法實現過程中，Laguerre模型向量系數C向量長度選用為2。FPGA采用了CycloneIII 系列的EP3C40Q240，它擁有40 KB的邏輯單元，252 個九位乘法器，滿足算法計算需求。

5 實驗結果分析

圖6為特種電源硬件平臺，包含EMI濾波模塊、全橋整流模塊、變壓器、控制模塊以及輸出整流模塊。測試負載為4個阻值為1 Ω，最大功率可達1 kW的大功率波紋電阻并聯。基于Laguerre模型的預測PI控制算法及PI控制算法程序在特種電源平臺上實驗比較結果如圖7、圖8所示。

圖6 特種電源硬件平臺

系統輸出為10 V(萬用表測量)時，負載紋波如圖7所示，為了便于觀察示波器選用交流擋。從圖7可知，采用傳統PI控制時輸出紋波約為200 mV，采用預測PI控制時輸出紋波約為100 mV。

圖7 負載紋波測試

圖8為兩種控制算法下，負載從半載到滿載時，系統的負載動態響應。負載由半載變為滿載時，采用傳統PI控制時動態響應時間為400 ms，電平變化幅度為0.5 V；采用預測PI控制時動態響應時間為僅為100 ms，電平變化幅度僅為0.4 V。

圖8 負載動態響應特性測試

由系統紋波還有負載動態響應特性實驗結果可知，預測PI控制算法控制效果要好于PI控制算法。

6 結束語

對于開關電源的控制要求，推導了一種具有比例積分結構的Laguerre模型自適應預測控制算法。詳細介紹了該算法控制律、Matlab仿真及FPGA程序實現。最終在開關電源平臺上的實際測試表明，該算法綜合了PI控制魯棒性好和基于Laguerre函數模型的自適應預測控制對模型建模誤差及外界環境干擾適應性強、系統慢時延變化魯棒性強等優點，具有更快的動態特性和更穩定的輸出紋波特性。