基于永磁同步電機的LPV轉速觀測器設計

(江南大學 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

永磁同步電機(PMSM)具有結構簡單、功率密度高和高效節能等優點，在工業制造[1]、國防軍事[2]、電動汽車[3]、航空航天[4]、船舶工業[5]等領域具有良好的應用前景。高性能的PMSM調速系統一般都需要獲得準確的電機轉子速度和位置信息，可以通過加入機械傳感器直接獲取，但是由于傳感器的安裝，導致電機驅動系統的成本增加、可靠性降低和體積增大，使得PMSM的使用范圍受到了限制，一些特殊場合無法使用，因此電機的無位置傳感器控制方法受到學者們的廣泛關注[6-9]。

對于永磁同步電機控制系統，可從兩方面對電機轉子速度和位置信息進行估算。一是以電動機為控制對象，利用電動機本身的各種可測量物理量，來估算轉子速度和位置的策略，其代表性方法有基波反電動勢檢測法[10]、定子磁鏈估算法[11]、高頻信號注入法[12-13]等。文獻[10]采用基波反電動勢檢測法，利用繞組反電動勢與永磁轉子速度的相互關系進行估算，其原理簡單、設計方便，但在低速時容易失效。文獻[12]采用高頻信號注入法，通過注入特定形式的高頻電流，從而獲得出線端的負序電流，來估算轉子的位置信息。該方法優點在于調速范圍寬，但對于電機的凸極效應過于敏感，且對于高頻信號的要求過于苛刻，增加了設計難度。另一面是將轉子速度和位置看成一個狀態變量，利用控制理論的各種方法進行的轉子速度和位置估算策略，其主要方法是狀態觀測器法[14-15]。狀態觀測法不僅具有動態性能好、穩定性高的特點，而且狀態觀測器是一個在物理上易于實現的動態系統，它利用待觀測的系統可以量測得到的輸入和輸出信息來估算待觀測系統的狀態變量，以便用該組狀態變量的估計值來代替待觀測系統的真實狀態變量進行狀態反饋設計，對系統參數依賴性相對不高。

LPV方法是將非線性系統近似線性化的一種有效方法，通過在凸集內求解Lyapunov穩定性條件，能實現參數變化時的全局魯棒穩定性。本文結合LPV線性化方法，首先獲得永磁同步電機LPV數學模型，并以Lyapunov穩定性理論和線性矩陣不等式為基礎，獲得閉環系統的穩定性條件，然后借助奇異值分解，求取永磁同步電機的LPV觀測器反饋增益，設計LPV觀測器，實現電機的速度跟蹤控制，仿真結果表明，該觀測器能夠快速準確地跟蹤上電機轉速。

1 永磁同步電機數學模型

1.1 永磁同步電機傳統數學模型

永磁同步電機在旋轉d-q參考坐標系下定子電壓和定子磁鏈方程為

(1)

式中，ud、uq分別為d軸、q軸的定子電壓；id、iq分別為d軸、q軸的電樞電流；Ld、Lq分別為d軸、q軸的電樞電感；ψd、ψq分別為d軸、q軸的定子磁鏈；Rs為定子相電阻；ψf為永磁體磁鏈；ω為電機電角速度，有ω=pωe，其中p為電機極對數，ωe為電機轉子角速度。

由式(1)可以得出：

(2)

永磁同步電機在旋轉d-q參考坐標系下電磁轉矩方程為

Te=1.5p[(Ld-Lq)id+ψf]iq

(3)

永磁同步電機的轉子動力學方程為

(4)

式中，Te為電機的電磁轉矩；TL為電機的負載轉矩；B為電機的阻尼系數；J為電機的轉動慣量。

綜上可得，永磁同步電機在d-q參考坐標系內的數學模型方程為[16]

(5)

1.2 永磁同步電機LPV數學模型

選取轉子角速度ω為調度變量，選取狀態變量x=[id,iq,ω]T，控制輸入u=[ud,uq,TL]T，在表貼式永磁同步電機中Ld=Lq，則永磁同步電機的LPV凸多胞形模型可以表示為

(6)

其中，

如果轉子角速度ω的取值范圍已知，且ω∈[ωmin,ωmax]，滿足ω=ρ1ωmin+ρ2ωmax，其中ρ1,ρ2為權重比系數，且滿足ρ1,ρ2∈[0,1]，ρ1+ρ2=1，則以調度變量ω的取值邊界為LPV凸多胞形頂點的PMSM的LPV模型可寫為

(7)

其中，

2 LPV觀測器設計

考慮以下LPV系統：

(8)

式中，u∈Rm和y∈Rn分別為系統的控制輸入和控制輸出；θ為調度變量；A(θ)、B(θ)、C(θ)、D(θ)均為系統矩陣。

假定系統矩陣均在凸集Ω內變化，即：

[A(θ),B(θ)]∈Ω=Co{[A1,B1],[A2,B2],…,[Ak,Bk]},k≥0

(9)

當系統狀態量不可直接獲取時，可以選擇以下形式的狀態觀測器估計其狀態向量：

(10)

圖1為狀態觀測器結構框圖，利用原系矩陣A(θ)、B、C，實現對系統狀態信息的重構，并通過增益矩陣L(θ)調節輸出誤差，使得觀測系統與原系統的逐步逼近。

圖1 狀態觀測器結構框圖

根據式(8)和式(10)，則系統的狀態誤差的動態方程可以描述為

(11)

因此，觀測器的設計問題可以轉化為一個尋找能夠使系統(11)魯棒漸進穩定收斂于零的參數L(θ)的問題。

定理1 對于給定的正可調參數γ∈R，如果存在對稱的正定矩陣P(θ)、矩陣Y(θ)以及單位矩陣I∈Rs×s和一個正定因子ε∈R，滿足下列不等式條件[17-18]：

P(θ)=PT(θ)，ε>0

(12)

(13)

其中,

Π(θ)=P(θ)A(θ)+AT(θ)P(θ)-Y(θ)C-CTY(θ)+εγI

則設計的LPV觀測器能夠確保觀測矩陣A(θ)-L(θ)C穩定，同時具有較快的估計速度和估計精度。其中，* 表示矩陣對稱，從而得到LPV觀測器增益為

L(θ)=P-1(θ)Y(θ)

(14)

證明:根據式(10)中狀態誤差表達式，結合式(8)，并對其求導可得：

=[A(θ)-L(θ)C]ex

(15)

考慮誤差擾動φ，式(15)可重寫為

(16)

(17)

將式(16)帶入式(17)，有：

(18)

引理1[19]如果存在適維矩陣M、N和不確定矩陣F，以及正定標量ε，且對于F有FFT≤I，則

(MFN)T+MFN≤ε-1MMT+εNTN

(19)

令φ=γex，γ是正可調參數，使用引理1，不等式

(20)

等價于：

(21)

其中ε>0。

則只要：

AT(θ)P(θ)-CΤLΤ(θ)P(θ)+P(θ)A(θ)-
P(θ)L(θ)C+ε-1P2(θ)+εγI<0

(22)

3 仿真分析

針對永磁同步電機數學模型，設計LPV觀測器，其觀測器模型為

(23)

以永磁同步電機轉速范圍邊界為工作點的觀測器LPV頂點模型為

(24)

式中，L1、L2分別為凸多胞頂點ω=ωmin和ω=ωmax處的觀測器反饋增益矩陣，ρ1、ρ2表達式為

永磁同步電機參數表如表1所示，根據表1參數，帶入式(24)，利用定理1中的不等式條件式(12)和式(13)，分別求得電機工作在ωmin=-1000 r/min和ωmax=1000 r/min處的反饋增益矩陣：

表1 永磁同步電機參數設置

仿真選取期望轉速n=1000 r/min，在t=0.25 s時跳變為n=-1000 r/min，負載轉矩初始值為1 N·m，在t=0.1 s時跳變為4 N·m，仿真時長0.4 s，并在工作點處設計線性觀測器進行比較，對兩種方法觀測到的跟蹤曲線進行比較分析。其仿真系統框圖如圖2所示。

圖2 仿真系統框圖

圖3、圖4分別為所設計無LPV結構的線性觀測器的轉速跟蹤曲線和誤差曲線，圖5、圖6分別為LPV觀測器的轉速跟蹤曲線和誤差曲線。

圖3 無LPV結構觀測器轉速跟蹤曲線

圖4 無LPV結構觀測器轉速跟蹤誤差曲線

圖5 LPV觀測器轉速跟蹤曲線

圖6 LPV觀測器轉速跟蹤誤差曲線

由圖3、圖4可以看出，無LPV結構的觀測器在負載擾動變化時，觀測轉速誤差峰峰值在4 r/min左右，轉速變化時轉速誤差峰峰值可達10 r/min以上，能較為準確地觀測出電機轉速信息，且恢復穩定時間較長。由圖5、圖6可以看出，所設計LPV觀測器觀測到的轉速在負載擾動變化時轉速誤差峰峰值僅在1 r/min，轉速變化時轉速誤差峰峰值在4 r/min以內，不僅觀測誤差小，而且在負載變化和轉速變化時也能快速跟蹤上實際轉速，且超調小。通過圖7兩種方法的觀測誤差比較，更能直觀地看出所設計LPV觀測器在t=0.1 s轉矩變化和t=0.25 s轉速變化時依然保持對轉速的高精度跟蹤，且調節時間短，達到設計要求。

圖7 轉速跟蹤誤差對比曲線

4 結束語

針對永磁同步電機無速度傳感器矢量控制，提出了一種基于LPV結構的轉速觀測器設計方法。所提出的基于LPV模型的觀測器相對于傳統觀測器而言，有效解決了系統參數不確定性問題，提高了抗負載擾動能力，且通過仿真結果表明，該觀測器在負載擾動變化、轉速變化時依然能保持系統魯棒性，可快速、準確地觀測出系統轉速信息。