知其然，知其所以然

沈巧筠

一、教學(xué)后測與分析

《角的度量》是人教版四年級上冊第三單元的內(nèi)容。這一內(nèi)容，大家一般把它的教學(xué)定位為“技能訓(xùn)練課”。即通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠度量角的大小，并形成量角的操作技能。教過這節(jié)課的老師都有這樣的疑問：我明明已經(jīng)把角的度量方法講得很清楚了，為什么學(xué)生量角的正確率還是那么低？我在我們學(xué)校四年級的學(xué)生中隨機(jī)選取100名學(xué)生，進(jìn)行了一次度量角的專項(xiàng)測試，即度量角的后測。測試內(nèi)容為度量10個不同的角，每個角10分，測量誤差為±2度，總分100分。其中全對的只有6人，占6%。

從后測中可以看出，學(xué)生度量角中出現(xiàn)的錯誤有以下幾個因素：

（1）測量誤差偏大。

（2）混淆銳角和鈍角。

（3）度數(shù)不是5或10的倍數(shù)的角，其錯誤率明顯高于度數(shù)為5或10的倍數(shù)的角。

（4）估讀數(shù)據(jù)。當(dāng)所呈現(xiàn)的角的邊比較短時，有些學(xué)生不會將需要讀數(shù)的這條邊進(jìn)行延長，確切找到其在量角器上對應(yīng)的刻度線，而是采用估計(jì)的方法，致使所得度數(shù)有偏差。（見圖1）

（5）0刻度線與角的邊未完全重合。部分學(xué)生在測量角度的時候不嚴(yán)謹(jǐn)，只把量角器的0刻度線和角的一條邊大致對齊，而導(dǎo)致0刻度線與角的一條邊形成了一個小小的夾角，從而使測得的度數(shù)偏大或偏小。

（6）內(nèi)、外圈刻度混淆。這種錯誤是在角的度量中最常見的一種，引起的后果就是銳角和鈍角測量數(shù)據(jù)混淆。（見圖2）

（7）不良的思維定勢。平時例題和習(xí)題中提供的角的度數(shù)多為5度或10度的倍數(shù)，且角的一條邊多在水平方向，久而久之，學(xué)生便形成了思維定勢——碰到的角不是幾十度就是幾十五度，測量時就會有意無意地往5或10的倍數(shù)去靠。

基于以上的錯誤，我們不禁要思考：學(xué)生真的認(rèn)識量角器了嗎？真的理解量角的本質(zhì)了嗎？北京教育學(xué)院劉加霞教授就曾指出：學(xué)生理解角的度量的本質(zhì)有兩方面的困難：一方面，學(xué)生看不到量角器上的“角”，另一方面，即使看到了量角器上的“角”，也不知道怎樣才能使量角器上的“角”與所測量的“角”重合。

二、教學(xué)過程的實(shí)踐與研究

（一）從比較角的大小引入，體會統(tǒng)一度量單位的必要性

教學(xué)片段實(shí)錄1：

PPT課件演示：從一點(diǎn)引出無數(shù)條射線

師：你看到了什么，想到了什么？

生1：射線從一個端點(diǎn)出發(fā)。生2：看到了很多角。

PPT課件演示：抽取兩條射線，組成∠1，再抽取兩條射線，組成∠2

師：哪個角大？你是怎么知道的？

生：∠1大，我是看出來的。

師引導(dǎo)學(xué)生說出“角兩邊叉開的越大，角就越大”。

PPT課件演示：再次抽取兩條射線，組成∠3

師：∠1和∠3哪個角大？

生1：一樣大。生2：∠3大。

師：你是怎么認(rèn)為一樣大的？

生1：叉開的大小一樣。生2：∠1和∠3里面都有4條射線。

師：這4條射線把∠1和∠3分成了幾個小角？

生：分成了5個小角。

師：現(xiàn)在你認(rèn)為誰大？

生：一樣大。

師總結(jié)：原來角的大小除了看叉開的大小，還可以數(shù)小角，誰的小角多，誰的角就大。

師：現(xiàn)在老師這里還有2個角，你知道哪個角大嗎？

生一致認(rèn)為∠1大。

師公布答案。

師：你有什么想說的？

生1：里面小角的標(biāo)準(zhǔn)不一樣。生2：小角的叉開度不一樣。

師：能不能比？什么樣的情況下才能比？

生：要有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的小角。

師：今天這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)《角的度量》，數(shù)學(xué)家也統(tǒng)一了小角的大小，這個小角就是1度角。

比較角的大小，這樣看似一個可有可無的環(huán)節(jié)，實(shí)則意義非凡。不僅讓學(xué)生對1度角單位表象的認(rèn)識更加深刻，同時也感悟到了統(tǒng)一度量單位的意義所在。這也正是“量感”培養(yǎng)的基礎(chǔ)。量角的本質(zhì)是“比較”。量角器上有很多不同度數(shù)的角，能在量角器上找到一個與“被測角”大小一樣的角，通過這個問題的解決，就溝通了比較角大小的方法與量角之間的關(guān)系，也就理解了量角的本質(zhì)。

（二）挖掘“單位角”的價(jià)值，經(jīng)歷量角器的創(chuàng)造過程

教學(xué)片段實(shí)錄2：

師：將圓平均分成360份，相鄰兩條射線之間的角就是1°。

你可以找到幾個1°的角？

出示一個新的角。

師：你們覺得是幾度？

生1：10°。生2：15°。

師：到底是幾度？怎么辦？

生：數(shù)格子。（PPT課件演示數(shù)的過程——10°）

師：你還能找出其他的10°嗎？這個圓里能分出幾個10°？

師：剛才我們找出1°，10°，你能找出其他的角嗎？

組織學(xué)生活動：（1）找一找，你能在這個圖上找到其他度數(shù)的角嗎？（2）畫一畫，把你找到的角的兩邊用勾線筆畫出來。

生反饋找到的角。

師：我要知道一個角的度數(shù)，可以怎么做？

生：大角數(shù)幾個10°，小角數(shù)幾個1°。

師：老師也找了一些角，你知道是角的度數(shù)嗎？

學(xué)生的反映：學(xué)生用數(shù)的方法，第一個、第二個數(shù)得很快，第三個很慢。

師：有沒有辦法不用數(shù)，很快得出角的度數(shù)？

生提議直接用量角器量。

PPT課件演示：一個圓變成半個圓，增加內(nèi)外圈刻度，形成量角器。師介紹量角器。

通過創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置矛盾沖突，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的需求，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，逐步探索，實(shí)現(xiàn)了對量角工具的再創(chuàng)造。學(xué)生能夠理解量角器其實(shí)是由一個一個的1°角密鋪而成的，總共180個即180°。學(xué)生在找角的過程中就能明確量角器上的角是怎樣構(gòu)成的，中心點(diǎn)就是頂點(diǎn)，兩條刻度線構(gòu)成了兩條邊，為后續(xù)量角做好了準(zhǔn)備。至此，學(xué)生在探索和創(chuàng)造中完成了對量角工具的探索，較好地把握了量角器的原理，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。

（三）用動態(tài)的角，解決內(nèi)外圈讀錯的問題

教學(xué)片段實(shí)錄3：

在屏幕上呈現(xiàn)一個靜態(tài)的角，還原想象成動態(tài)的角。

師：屏幕上的這個角，你能想象出它是怎樣展開的嗎？

生1：可以看成是從右邊往左邊慢慢展開，也就是把右面的邊視為0刻度線慢慢展開。

生2：還可以把左面的邊視為0刻度線慢慢展開。

按照學(xué)生所答，課件演示將角移至量角器上，讓其中一邊分別與左右兩邊的0刻度線重合，并出現(xiàn)一支筆，讓筆尖順著數(shù)據(jù)增加的方向慢慢移動，邊移動邊顯示出整十、整五的數(shù)，直到接近角的另一條邊，將度數(shù)準(zhǔn)確讀出。

師：通過剛才的量角，你發(fā)現(xiàn)量角的時候要特別注意什么？

生3：一定要從0刻度線開始順著數(shù)下去。

生4：其實(shí)我從量角器上任何一個度數(shù)開始數(shù)也是可以的。就像剛才50°的角，我將左邊的邊對齊90°再往右數(shù)，數(shù)到40°的位置，就是90°減40°等于50°了。

師：剛才這種新方法好不好？

生5：雖然可以算出度數(shù)，但還是很麻煩，因?yàn)橐ㄟ^計(jì)算才能得出角的度數(shù)。

生6：我覺得有道理，只是他將90°的邊當(dāng)成了0刻度線。

師：是的，這正是量角的關(guān)鍵，選準(zhǔn)了起始邊，確定了張開的方向，讀出度數(shù)就是件容易的事了。

在上述每一個活動中，學(xué)生都把角從0刻度線展開，這就幫助學(xué)生確定了0度的邊，也就找到了度量的起點(diǎn)和標(biāo)準(zhǔn)。再者，學(xué)生按照開口方向讀數(shù)，不管0刻度線在左還是在右，也不管是內(nèi)圈刻度還是外圈刻度，只要從0刻度線開始，從小到大地順著往下讀，就一定不會錯。這其實(shí)是在把復(fù)雜問題簡單化、本質(zhì)化，有利于學(xué)生對量角方法的掌握。通過實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，要讓學(xué)生正確度量，必須建立刻度增加的動態(tài)表象，而動態(tài)的表象又有賴于直觀的感受，因此從最直觀的肢體語言到半抽象的角，最后到完全幾何化的角，應(yīng)當(dāng)是一個遞進(jìn)的過程。由于符合了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生學(xué)起來自然輕松、清楚。

探明知識之本源，然后方能取之不盡，要讓學(xué)生知其然，更要讓學(xué)生知其所以然。教師的教學(xué)要由表及里，由外而內(nèi)，撥動學(xué)生思維之弦，讓學(xué)生體會到思維的路上風(fēng)景這邊獨(dú)好，這樣方能奏出余音繞梁的動人之音。