平面曲線的雙切圓問題

孫建紅

（忻州師范學院五寨分院 數學系，山西 忻州036200）

本文是一個源于形狀識別的數學問題.在諸多的研究方法中，選擇平面內簡單光滑閉曲線M作為研究對象.參考文獻［1-2］中給出了結論：曲線M（M的所有點）能被雙切圓恢復，則曲線是雙切圓切點的閉包.這里的問題是：對于平面上的一條光滑閉曲線和曲線上任一點是否一定存在一個切于此點和曲線上的別的點的雙切圓.參考文獻［3-5］中作者詳細地分析了以上問題，得出了與之相關的定理：對于平面上的一條光滑閉曲線和曲線上任一點一定存在一個切于此點和曲線上的另一點的雙切圓或雙切線.基于以上的討論，本文給出了平面曲線M的切割函數（曲線M與圓的一個切點和一個割點所確定的圓半徑的倒數）的定義并且進行了擴展；并利用切割函數的幾何意義對其進行研究，得到了平面上簡單光滑閉曲線M存在雙切圓或雙切線的條件；并且在對切割函數討論的基礎上，對雙切圓進行了更細致的研究，建立了切割函數偏導數與雙切圓之間的關系，從而得到了平面簡單光滑閉曲線存在最大和最小雙切圓的等價條件.

1 預備知識

定義1

定義2

在曲線上的每一點處定義伏雷內標架，先沿曲線（C）作它的單位切向量場然后按逆時針方向把繞切點旋轉則得到曲線（C）的單位法向量場于是得到了沿曲線的伏雷內標架場，對于這個伏雷內標架場來說，伏雷內公式［6］277-287有如下形式：

其中：k（s）是平面曲線的相對曲率.

定義3

如果直線與曲線至少相切于兩點，則稱直線是曲線在該點的雙切線.

如果圓與曲線至少相切于兩點，則稱圓是曲線在該點的雙切圓.

由切線［7］的定義可得，曲線的雙切線一定是曲線的切線.

2 切割函數的定義

為了研究平面曲線的雙切圓，我們需要建立曲線與雙切圓之間的一個映射關系，這個映射就是文章的核心概念——切割函數.

定義4

定義5

命題1

圖1 切割函數的幾何表示

我們進一步對f（s0，s1）進行分析：

其中：ξ在s0和s0＋Δs之間，k（s0）為曲線在p0點的相對曲率.，其中：k（s）為曲線在p點的相對曲率.11

因此，我們可以定義拓展的切割函數：

由以上計算得：

從而由拓展函數：

得到拓展的切割函數在（s0≠ml＋s1，m∈Z）有不相同的一階偏導數.

3 切割函數的幾何性質

在定義4和命題1中，我們給出了切割函數的概念，并且得出了切割函數與雙切圓半徑之間的關系.下面將對切割函數的幾何性質做更進一步的討論.

命題2

證明：直 線p0p1切 曲 線于等 價 于（s0≠ml＋s1，m∈Z），即）＝0（s0≠ml＋s1，m∈Z），由此可得：f（s0，s1）＝0（s0≠ml＋s1，m∈Z），因此，命題得證.

命題3

證明：∵p0≠p1?s0≠ml＋s0，m∈Z，∴直線p0p1切曲線于等價于＝0且＝0（其中為曲線在點處的單位法向量）等價于f（s0，s1）＝f（s1，s0）＝0.

命題4

又∵

由于F（s0，s1）在R2-｛p0｝上可微，曲線是閉合的，因此，F（s0，s1）在曲線上可取到最大值或最小值，當f（s0，s1）＝0時，這樣的切線是存在的.由以上命題我們可得到：曲線存在雙切線p0p1（p0≠p1）的充要條件是或＝0且f（s，s）＝0.

01

命題5

證明：當f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s1，m∈Z）時，圓C是存在的.

討論必要性：

由圓C與曲線切于點p1，可得

由于F（s0，s1）在R2-｛p0｝上可微，M 閉［277-287］，因此F（s0，s1）在 M-｛p0｝上可取到最大值或最小值.當F（s0，s1）≠0（p0≠p1）時，這樣的點總會存在，充分性顯然.

命題6

當f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s1，m∈Z）時，圓 C切曲線于點的充要條件是存在圓C與 M 的交點使得

證明：當f（s0，s1）≠0（s0≠ml＋s0，m∈Z）時，圓C是存在的.

又∵圓C與曲線切于點p0.∴圓C切曲線于點

命題7

命題8

由命題6和命題7可知命題8的結論是顯然的.

定理1

注意：事實上，若F（s0，s1）的最小值等于0時，此時曲線存在R＝＋∞的雙切圓，換句話說，此時的雙切圓為曲線在該點的雙切線.