Cornish-Fisher展開在VaR中的應用

魏正元，李素平，李 喬，余愈燦

(重慶理工大學 理學院, 重慶 400054)

隨著經濟全球化的不斷深刻演變，金融風險已不再是某個單一市場所面臨的問題；因此，風險管理已經成為社會經濟活動中必不可少的議題之一。隨著金融市場的發展，G30集團在研究衍生品種的基礎上，于1993年提出了度量市場風險的風險價值(value at risk，VaR)方法，該方法已成為目前金融界測量市場風險的主流方法。隨后由J.P.Morgan[1]在1994年推出的用于計算 VaR的Risk Metrics風險控制模型更是被眾多金融機構廣泛采用。此后，學者們對VaR進行了大量的研究，并取得了豐富的成果。

目前對于VaR的計算主要有3種方法：歷史模擬法，方差-協方差法， 蒙特卡洛法。根據歷史數據估算VaR的方法主要有兩種：第1種方法是選擇一個最優的參數分布擬合數據，然后將VaR作為該分布的分位數即可得到，例如Sun和Hong[2]采用重要抽樣的方法估計VaR；第2種方法是基于歷史數據的經驗分布或者核函數，運用非參數密度估計方法來擬合一個非參數的分布，然后從非參數的密度函數來估計VaR，例如Chang等[3]和Jeong等[4]運用非參數的方法估計了VaR。Abbasi等[5]運用蒙特卡洛法模擬Weibull、Burr XII、Birnbaum-Saunders和Pareto分布，計算了某保險公司數據的VaR并運用bootstrap方法構建了一個VaR控制圖方案。Lien等[6]將分布的前4階矩引入VaR的近似計算方法中，模擬比較了Cornish-Fisher、Edgeworth、Gram-Charlier和Johnson分布等4種方法下的VaR的近似效果。黃金波等[7]運用非參數核估計方法對資產組合的VaR進行了估計，并在大樣本下，與Cornish-Fisher展開法進行了比較。本文將基于有偏分布擬合、Cornish-Fisher展開和Bootstrap來計算小樣本情況下蘋果公司收益率數據的VaR。

被稱為函數f(x)的遞增重排。重排過程將函數f(x)變換成其分位數函數f*(x)。遞增重排的具體步驟為：將目標區間[a,b]進行充分小的等間距的劃分，計算f(x)在每個間隔點的值，最后將所有值按從小到大的順序排列。根據此方法來計算Cornish-Fisher展開的值。

1 VaR的計算

1.1 VaR的定義

VaR方法因其測量風險的定量性、綜合性、簡便性等優點，故而被諸多金融機構和監管機構廣泛使用，目前已成為金融界測量市場風險的主流方法。若用隨機變量L表示一個金融頭寸在某持有期l內的損失(空頭的損失為資產收益率，多頭的損失為資產收益率的相反數)，FL(x)為L的累積分布函數，p表示概率水平((p∈(0,1)),常取值為95%或99.9%)，定義持有期l內概率為p的某金融頭寸的VaR為

VaRp(L)=inf{x|FL(x)≥p}

在統計視角下，VaRp(L)即是損失隨機變量L的上側1-p分位數(或下側p分位數)。對于標準化損失隨機變量，若給定其分布函數為F(·)、概率水平p以及持有期l，那么根據隨機變量的位移尺度變換，有

VaRp=μl+σlF-1(p)

這里：μl和σl分別表示損失隨機變量在l期內的期望和標準差；F-1(p)為標準化損失隨機變量的分位數函數。

1.2 基于有偏分布分位數的VaR計算

金融資產收益率在呈現出尖峰厚尾特征的同時，又存在一定的偏態[9]，此時，t分布、廣義誤差分布等對稱分布將不能充分表現出數據的特征。Fernández等[10]定義了一種由對稱分布導出有偏分布的方法(F-S有偏)：由單變量、對稱的概率密度函數f(x)生成參數為ξ的有偏分布密度函數為：

分布函數為

這里ξ∈(0,∞)。當ξ>1時，f*(x|ξ)為右偏分布；當ξ<1時，f*(x|ξ)為左偏分布；ξ=1時，f*(x|ξ)退化為對稱分布(圖1)。因此，損失隨機變量基于分布分位數的VaR可表示為

圖1 對稱的廣義誤差分布(ξ=1)和有偏廣義誤差分布(ξ=2和ξ=0.5)

1.3 基于Cornish-Fisher 展開的VaR計算

Dasgupta[11]在其著作中給出了一種連續的標準化隨機變量分位數的漸近展開方法，即Cornish-Fisher展開。它是將一個真實分布的分位數函數展開為關于標準正態分布分位數函數的多項式函數，其前4階展開式如下：

其中：zα為標準正態分布在α處的分位數；κ3和κ4分別表示偏度和峰度。在此分位數展開式之下，損失隨機變量的VaR可表示為

μl和σl分別表示損失隨機變量在l期內的期望和標準差。可以看出：在無法得知損失隨機變量真實分布的情況下，通過樣本來估計偏度κ3和峰度κ4，從而得到分位數的漸進展開值和VaR值(圖2)。

1.4 基于Bootstrap抽樣的VaR計算

圖2 均值μ=1，標準差σ=2的正態分布累積分布函數和偏度系數ξ=0.75，均值μ=1，標準差σ=2以及形狀參數ν=1.5的有偏廣義誤差分布累積分布函數及其Cornish-Fisher展開

這里定義一種分位數的計算方法：假設x1,x2,…,xn為損失隨機變量，其次序統計量為x(1),x(2),…,x(n)，那么損失隨機變量的損失概率q的值近似為：

其中：l=nq；l1和l2表示與l相鄰的兩個整數；qi=li/n。

基于Bootstrap抽樣的VaR計算的步驟為：

2 實證分析

本文選取蘋果公司2018年3月1日到5月1日股票收盤價格Pt，共41個，進行實證分析。其中，Pt為股票在第t日的收盤價。將股票價格的對數收益率rt=log(Pt+1)-log(Pt)應用于上述的3種VaR計算方法。

如果僅從多頭的角度去計算其損失的臨界值，這里考慮的是收益率的負值。選取3種有偏分布來擬合負收益率數據，即有偏正態分布SN(μ,σ2,ξ)、有偏廣義誤差分布SGED(μ,σ2,ν,ξ)和有偏學生t分布SSTD(μ,σ2,ν,ξ)，見表1，有偏分布擬合的密度函數見圖3，不同損失概率下VaR估計和95%的Bootstrap置信區間見表2。

表1 3種有偏分布的參數估計

圖3 負收益率數據的擬合核密度函數圖及其3種有偏分布擬合的密度函數

圖4為負收益率數據累積分布函數的核擬合、Cornish-Fisher近似以及3種有偏分布擬合累積分布函數。從圖4可以看出：隨著尾部概率的增大，Cornish-Fisher近似的累積分布函數與核擬合分布函數非常接近。若以Bootstrap方法的結果作為參照，從表2的結果可以看出：當損失概率較大時，Cornish-VaR表現較差，而基于有偏分布擬合的VaR估計與Bootstrap-VaR的絕對誤差相對較小；但隨著損失概率的減小，Cornish-VaR估計與Bootstrap-VaR的絕對誤差逐漸變小，基于分布擬合的VaR估計與Bootstrap-VaR的絕對誤差卻在增加，而且一些值也已經超出了95%的Bootstrap置信區間。

圖4 負收益率數據累積分布函數的核擬合、Cornish-Fisher近似以及3種有偏分布擬合的累積分布函數

表2 不同損失概率下VaR估計和95%的Bootstrap置信區間

3 結束語

本文運用3種方法估計了小樣本情況下收益率數據的VaR值。實證分析結果表明：對于小樣本的收益率數據，以Bootstrap方法所得的VaR值作為參照，在一個較小的損失概率下，基于有偏分布擬合計算出的VaR值誤差較大，而Cornish-Fisher方法所得的VaR值則表現得更為精確和穩定。同時，Cornish-Fisher方法不需要對分布進行假定，僅用到數據的前4階矩，因此這種方法可以較理想地為人們提供一種可行的風險度量工具。