基于分形理論的齒輪結合面法向接觸剛度研究

趙林林，黃小平，周忠旺

(1.南京林業大學 機械電子工程學院， 南京 210037；2.江蘇財經職業技術學院 機械電子與信息工程學院， 江蘇 淮安 223003)

機械結合面參數會影響整機設備的性能，而齒輪接觸是最常見的一種接觸，廣泛應用于大型機械中，因此研究齒輪接觸性能將有利于提高大型機械設備的加工性能。

齒輪的嚙合面屬于運動結合面，當受到動載荷時，齒輪結合面間會產生微小的相對位移或角位移，使得結合面間既存儲能量，又消耗能量，表現出既有彈性又有阻尼，即存在接觸剛度和接觸阻尼，這種動態特性將對齒輪輪齒的動態特性產生很大的影響[1]。

雖然可以采用有限元法來實現齒輪的動態特性的仿真，其接觸單元為齒輪結合面的計算提供了一種方法，但是剛度、阻尼等物理參數的確定對結合面來說很困難，造成了結合面的精確計算是齒輪性能預估的瓶頸。

齒輪結合面的切向接觸剛度是機械結構整體剛度的重要組成部分，甚至稱為整體剛度的薄弱環節，因此需要對齒輪結合面的接觸剛度進行研究，而齒輪結合面的接觸剛度包含法向接觸剛度和切向接觸剛度。本課題組在文獻[2]中，已對齒輪結合面的接觸剛度進行過分析研究，本文重點對齒輪結合面的法向接觸剛度進行研究。

以前齒輪結合面的法向接觸模型[3-5]相對簡單，本文則考慮了域擴展因子Ψ的影響，并引入了微接觸截面積a′，研究齒輪的齒面形貌對齒輪法向接觸剛度的影響。

1 齒輪粗糙表面的分形模擬

齒輪的接觸表面大多數是通過各種機加工的方法來實現的，機加工的表面質量對齒輪結合面的接觸行為影響很大。文獻[6]給出了45碳鋼不同加工精度的磨削表面輪廓曲線。

利用W-M函數可以描述各向同性均勻粗糙表面[7-8]，其表達式為：

(11)

(1)

式中：D為分形維數，G為表面特征長度尺度參數，γn決定表面粗糙度的頻譜。其中，最低頻率與取樣長度有關，即γn=1/L，L為取樣長度，γ=1.5,能夠適應高頻譜密度和相位的隨機性[6,8]。在模擬齒輪粗糙表面時，利用Matlab軟件實現，n的取值為1～100。x為采樣長度(mm)，z(x)為輪廓高度(μm)。

2 齒輪粗糙表面微接觸點大小分布函數

Wang等[9]引入了微接觸截面積a′，并考慮了域擴展因子Ψ，得到粗糙表面的接觸點的大小分布函數，此分布函數假設為一個粗糙表面和一個光滑平面的接觸，而齒輪嚙合是曲面與曲面的接觸，因此引入表面接觸系數λ[3]，構造齒輪粗糙表面微接觸點的大小分布函數為

(2)

式中λ為表面接觸系數，

λ=λ0P′C2x

其中λ0為兩嚙合齒輪初始接觸時的表面接觸系數，

P′為兩曲面間的法向載荷;x為綜合曲率系數，

E為綜合彈性模量;B為兩齒輪嚙合時的有效接觸長度;R1、R2為兩齒輪在接觸齒廓處的曲率半徑無側隙安裝時即為分度圓半徑，+為外嚙合，-為內嚙合，C2為常數，C2=0.5，Ψ為微接觸大小分布的域擴展因子，與分形維數有關，滿足下列超越方程，其物理意義和取值可查閱文獻[6]，

Ar為結合面的真實接觸面積[10-11]。

圖1 齒輪副接觸模型[10，12]

3 齒輪結合面法向載荷與真實接觸面積的關系

在計算齒面接觸強度時，僅考慮在節點處嚙合。根據文獻[5]中提出的齒輪表面接觸系數來分析齒輪結合面的接觸問題。

(3)

式中：Pc為相互嚙合的兩齒輪的法向載荷；P為兩粗糙平面相互接觸時的法向載荷。

(4)

(D=1.5)

(5)

式中H為較軟材料的硬度，

k=H/σy

分別對式(4)(5)進行量綱為一化，得到：

(6)

(7)

(8)

4 齒輪結合面的法向接觸剛度分形模型

由文獻[13]可知，引入了微凸體的截面接觸面積，使得接觸模型更加接近于實際。在機械結合面上，單個微凸體的法向接觸剛度為：

(9)

根據齒輪粗糙表面微接觸點的大小分布函數，構造齒輪結合面彈性接觸區產生的法向接觸剛度為：

(10)

此模型構成了齒輪結合面法向接觸剛度的理論預估模型。對其進行量綱為一化得到：

(11)

5 仿真結果

參數取值分別為：材料特性參數φ=1，0.1，0.01；k=1；表面特征尺度參數G*=10-9，10-10，10-11；分形維數D=[1.1，1.9]；名義接觸面積Aa=1 mm2， 大齒輪分度圓的直徑R1=100 mm，小齒輪的分度圓直徑R2=20，50，100 mm；接觸寬度B=20 mm；綜合彈性模量E=130 GPa。

由式(3)(7)(8)和式(11)建立齒輪結合面的法向載荷與法向接觸剛度的關系式，通過模擬仿真分析，得法向接觸載荷與法向接觸剛度的關系，如圖2所示，并與文獻[7]和文獻[3]中的模型進行比較，分析得出，同樣的載荷下，文獻[7]模型得出的法向剛度最大，文獻[3]模型得出的法向剛度最小，這是因為文獻[7]模型假設為一個粗糙平面和一個光滑平面的接觸，而齒輪嚙合面的接觸為曲面接觸，因此文獻[7]模型得出的結果要高于其他兩個模型的結果。而文獻[3]提出的圓柱體結合面法向接觸模型，雖然已經考慮了曲面接觸，但是未考慮域擴展因子，在建立模型時將最大接觸面積與粗糙表面的接觸面積之比近似為1，得到的模型精度不高，因此得出的法向剛度低于本文提出的模型結果。而本文提出的齒輪結合面分形模型，既考慮了齒輪嚙合的曲面接觸，又考慮了域擴展因子的影響，并引入了微接觸截面積，使得模型更加準確。

5.1 分形維數D對齒輪結合面法向接觸剛度的影響

改變分形維數D，其余參數不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關系，如圖3所示?？梢钥闯觯悍中尉S數較低時，法向載荷與法向剛度之間近似呈線性關系，且隨分形維數的增加，法向剛度也隨之增加；而分形維數較高時，法向載荷與法向剛度之間呈線性關系。分形維數存在一個臨界值，當分形維數D>1.7時，法向剛度隨分形維數的增加而減??；當D<1.7時，法向剛度隨分形維數的增加而增加。同時可以看出，增加法向載荷有利于提高法向接觸剛度。

圖3 不同分形維數D的法向載荷與法向剛度之間的關系(G*=10-10，φ=1，R1=100 mm，R2=50 mm)

5.2 表面特征長度尺度系數對齒輪結合面法向接觸剛度的影響

改變表面特征長度尺度系數G*，其余參數不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關系，如圖4所示。通過圖4可以看出：法向接觸剛度隨著表面特征長度尺度系數的增加而減小，說明表面特征長度尺度系數越大，接觸的兩表面越粗糙，結合面的法向接觸剛度就越小，即可以通過減小齒輪結合面的粗糙度，提高齒輪結合面的法向接觸剛度。

圖4 不同表面特征長度系數的法向載荷與法向剛度之間的關系

5.3 材料特性參數對齒輪結合面法向接觸剛度的影響

改變材料特性參數φ，其余參數不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關系，如圖5所示。通過圖5可以看到：法向接觸剛度隨著材料特性參數的增大而增大，因為φ=σy/E，可以通過提高材料的屈服強度或減小彈性模量，來提高齒輪結合面的法向接觸剛度。

5.4 齒輪分度圓半徑對齒輪結合面法向接觸剛度的影響

改變小齒輪的分度圓直徑R2，其余參數不變，得出法向載荷與法向剛度之間的關系，如圖6所示?？梢钥闯?，增加齒輪的分度圓半徑，可以提高結合面的法向接觸剛度，根據d=mz，可以通過增加齒輪的齒數或是增加齒輪的模數來提高齒輪結合面的法向接觸剛度。

圖5 不同材料特性參數的法向載荷與法向剛度之間的關系

圖6 不同齒輪分度圓半徑的法向載荷與法向剛度之間的關系

6 結論

提出了一種新的齒輪結合面法向接觸剛度預估模型，考慮了域擴展因子的影響，并引入了微接觸截面積，使得模型更加準確。

仿真分析得出：分形維數比較小時，法向載荷與法向剛度之間近似呈線性關系，且隨分形維數的增加，法向剛度也隨之增加；而分形維數較高時，法向載荷與法向剛度之間呈線性關系。分形維數存在一個臨界值，當分形維數D>1.7時，法向剛度隨分形維數的增加而減小，當D<1.7時，法向剛度隨分形維數的增加而增加；增加法向載荷有利于提高法向接觸剛度。法向接觸剛度隨著表面特征長度尺度系數的增加而減小；法向接觸剛度隨著材料特性參數的增大而增大；增加齒輪的分度圓半徑，可以提高結合面的法向接觸剛度。

以上結論對于指導齒輪設計具有重要的實踐意義，在確定齒輪表面的參數時，需要根據齒輪實際的受載和工況，計算表面粗糙度的最優值；通過選取齒輪材料(提高屈服強度或減小彈性模量)；增加齒輪的模數或齒數，都能夠提高齒輪結合面的法向接觸剛度，在一定程度上能夠對齒輪結合面接觸特性進行理論預測，從而有效降低齒輪成本。