基于證據理論的直覺模糊群決策方法

常 政，項華春，陳云翔，羅承昆

（空軍工程大學裝備管理與無人機工程學院，西安 710051）

0 引言

近年來，多屬性群決策問題受到了越來越多的關注，在解決決策擇優［1-3］、威脅評估［4］、效能評估［5］等諸多問題有著廣泛的應用。在管理決策過程中，由于客觀事物的復雜性和不確定性，決策者通常難以用精確的實數值來表達偏好信息，直覺模糊數的提出和發展為解決此類問題提供了新思路。

目前已有很多文獻都展開了研究，采用的方法也較多，研究的關鍵問題主要體現在屬性權重的確定、專家權重的確定以及決策信息的集結。

1）屬性權重的確定

決策屬性權重的確定，通常結合熵理論對直覺模糊數進行處理。文獻［2］綜合考慮直覺性和模糊性對不確定信息的影響，提出了一種新的直覺模糊熵，并基于熵最小化的原理建立非線性規劃模型確定屬性權重；文獻［6］對直覺模糊熵進行了分類比較，按照直覺模糊熵的度量含義不同，分別從猶豫度、幾何距離、概率和不確定性框架4 個方面進行了歸納總結，并提出一種客觀權重的確定方法；文獻［7］根據直覺模糊熵的定義，在計算屬性權重時，考慮了猶豫度對權重的影響，對計算公式進行了改進，提出了新的度量方法，并證明了其合理性。

2）專家權重的確定

文獻［8］在對直覺模糊多屬性群決策中，提出了相似度的概念，把群決策轉化為單人決策；文獻［1］通過將各專家給出的直覺模糊集決策矩陣轉化為決策向量，提出基于直覺模糊決策向量的歐幾里得相似度的專家權重確定方法；文獻［9］通過單一專家的個人決策矩陣和其他所有決策者的決策矩陣之間的距離來確定決策者權重。結合以上研究確定專家權重的優勢，應用TOPSIS 法和Jousselme 距離，融合相似度與接近度來確定專家權重，使結果更加科學合理。

3）決策信息的集結

確定專家權重和屬性權重后，運用不同的集結方法便可得到各方案評價結果。文獻［1，10-11］通過TOPSIS 法來對專家群的決策信息進行綜合集成，根據個人評價信息與群體之間的距離信息進行評價，可能會過分削弱一些偏差度較大評價信息的影響權重，失去部分決策者信息；文獻［12］在提出了一系列的信息集成算子，并將其應用于多屬性群決策問題中，但是在運用這些算子處理決策問題之前，需要獲取屬性權重和自然狀態發生概率的相關信息，若用于處理屬性權重完全未知的情況，不一定可靠。因此，本文應用改進的證據理論進行信息集結，一方面Dempster 組合規則具有良好的信息聚焦性能，降低結果的不確定性；另一方面，可以運用證據權進行證據信息的修正，避免信息的不可靠造成證據之間重要程度的差異。

基于此，本文提出一種新的基于證據理論的直覺模糊群決策方法。將解決問題的關鍵分為屬性集信息集結和專家集信息集結兩部分，在計算屬性權重和專家權重后，運用證據權理論，分別對屬性集和專家集的Mass 函數進行修正，再通過Dempster 組合規則進行合成，最終得出方案集的Mass 函數向量進行方案排序，并結合算例驗證了方法的有效性。

1 預備知識

1.1 直覺模糊集

定義1［13］設X 是一個論域，則論域X 上的一個直覺模糊集定義為：

1.2 直覺模糊熵

1.3 證據理論

定義4［15］設Bel1，Bel2，…，Beln是同一識別框架Θ 的信任函數，m1，m2，…，mn為對應的Mass 函數，有

2 基于證據理論的直覺模糊群決策模型

2.1 問題描述與評價信息處理

對于屬性權重和專家權重完全未知的多屬性群決策問題，由K 名專家Pk（k=1，2，…，K）組成的專家集，針對由n 個備選方案的m 個屬性oi（i=1，2，…，m）組成的屬性集O，由n 個備選方案xj（j=1，2，…，n）構成方案集X 展開評價。

運用D-S 證據理論進行信息集結，首先需要構建各證據下不同方案的Mass 函數，主要利用記分函數和屬性的不確定度來構建。

運用證據理論進行決策，在求解各證據下不同方案的Mass 函數時，要合理地確定屬性不確定度，本文運用灰色關聯法，根據各屬性信息之間的相似或相異程度來衡量該屬性與其他屬性的匹配程度，某個屬性相對于其他屬性而言，越匹配屬性體系的平均信息，則該屬性包含的信息對決策越有利，即該屬性不確定度越低，反之亦然。屬性oik的q 階不確定度可定義為

其中，q 不確定度階數，為提高分辨率，采用歐式距離，取q=2，

則專家Pk對屬性oi關于方案集的Mass 函數可表示為

因此，專家Pk對屬性集關于方案集的Mass 函數矩陣為

2.2 屬性集信息集結

2.2.1 考慮直覺模糊熵的屬性權重計算

Atanassovd［6］等于1986 年提出直覺模糊集的概念后，直覺模糊熵也隨之發展起來，在處理模糊信息和不確定信息方面也更加靈活。文獻［7］根據直覺模糊熵的定義，在計算屬性權重時，考慮了猶豫度對權重的影響，對計算公式進行了改進，提出了新的度量方法，避免了隸屬度與非隸屬度相同的情況下計算失效的問題，并證明了其合理性。因此，本文采用文獻［7］中所構建的改進的直覺模糊熵計算公式：

結合本文的問題描述，即可由式（7）得到第i 個屬性的直覺模糊熵為

第k 個專家的第i 個屬性的權重為

2.2.2 屬性集證據信息修正與合成

構建Mass 函數后，為了避免信息的不可靠造成證據之間重要程度的差異，保證每條證據信息處于同樣重要的位置，需要進行修正。

綜合考慮屬性之間的差異，針對屬性權重，采用證據權將專家Pk對屬性集關于方案集的Mass 函數進行修正。

根據通過Dempster 組合規則，將修正后的專家針對屬性集關于方案集的Mass 函數進行合成。得到專家Pk關于方案集的Mass 函數向量為Mk。

2.3 專家集信息集結

2.3.1 考慮相似度和接近度的專家權重計算

在群決策過程中，由于專家之間知識、理解和背景等的不同，所提供的決策信息往往會有所差異，因此，有必要對各專家的重要性進行區別。專家的權重可以由專家集關于方案集的Mass 函數分析得出，主要考慮兩個方面，一方面是相似度，用于表示決策者Pk的個人決策矩陣和所有決策者構成的綜合群決策矩陣之間的相似程度；另一方面是接近度，用于表示決策者Pk的個人決策矩陣和除了決策者Pk的其他所有決策者構成的綜合群決策矩陣之間的接近程度。據此分析，在求解決策者權重時，主要包括3 個步驟：一是運用TOPSIS 法確定相似度，二是運用Jousselme 距離確定接近度，三是綜合確定專家權重。

1）運用TOPSIS 法確定接近度

采用TOPSIS 法來確定決策者權重，首先需要確定正負理想解：

設正理想解為

負理想解為

計算各方案到正負理想解的距離

計算各方案與總體方案理想解的接近程度

即可得出專家權重為

2）運用Jousselme 距離確定接近度

運用Jousselme 距離確定接近度，即運用兩兩證據間的Jousselme 距離計算證據相似性，進一步得出該證據被其他證據支持的程度，歸一化即得出專家權重。具體實現步驟如下。

定義5［16-17］設識別框架Θ 上有兩個Mass 函數m1和m2，兩者之間的距離可以表示為

對得到的證據計算距離，并表示成證據距離矩陣：

證據體之間的證據mi和mj之間的相似性測度表示為

用Sup（mk）來表示mk被其他證據支持的程度。若兩個證據的相似程度越高，其相互支持的程度越大，Sup（mg）的值也就越大；反之亦成立。其計算公式為

即可得到專家權重為

3）綜合確定專家權重

為了綜合地考慮相似度和接近度，通過折衷系數η（0≤η≤1）加以綜合，最終構造了決策者Pk關于方案集的組合權重

式（21）可以通過控制折衷系數η 的改變在相似度和接近度之間進行權衡。若更關注相似度，則取0.5＜η≤1，若更關注接近度，則取0≤η＜0.5，若無偏好則取η=0.5。為平衡相似度和接近度，取η=0.5。

2.3.2 專家集證據信息修正與合成

同理2.2.3，考慮專家之間的差異，針對專家權重，采用證據權將專家Pk關于方案集的Mass 函數進行修正

根據證據組合規則，將修正后的專家集關于方案集的Mass 函數進行合成，即可得到最終關于方案集評價向量

基于上述分析，基于證據理論的直覺模糊群決策流程如下：

步驟1：獲取專家意見得出判斷矩陣；

步驟2：屬性集Mass 函數的構建；

步驟3：屬性權重的確定；

步驟4：屬性集證據信息集結；

步驟5：專家權重確定；

步驟6：專家集證據信息集結；

步驟7：對方案進行排序。

3 算例分析

為了分析某型飛機大修能力水平，需要對3 個廠家的大修效能進行評估。經研究決定，邀請空軍維修保障領域的專家P1，P2，P33 人組成的專家集，對某3 家大修企業x1，x2，x3的大修效能進行評估，主要從任務完成率o1、人員技術水平o2、備件滿足率o3、設備完好率o4、信息化建設水平o55 個方面進行分析。具體的計算過程如下：

步驟1：專家P1，P2，P3給出的每家大修企業關于屬性集的直覺模糊評價值分別為

步驟2：運用式（1）、式（2）得到專家P1的記分函數矩陣為

運用式（3）、式（4）計算屬性不確信度為：

運用式（5）即可確定專家P1對屬性集關于方案集的Mass 函數矩陣為

步驟3：運用式（8）、式（9）計算專家P1的屬性權重向量為

步驟4：考慮屬性權重，運用式（10）對Mk進行修正，進而通過Dempster 組合規則進行合成。得到專家P1關于方案集的Mass 函數向量為

同步驟2～步驟4 分別得到專家P2，P3關于方案集的Mass 函數向量，組合得到專家集關于方案集的Mass 函數矩陣M

步驟6：運用式（22）對專家權重進行修正，進而通過Dempster 組合規則進行合成。得到專家P1，P2，P3關于方案集的Mass 函數向量為

步驟7：得出3 個方案的排序為

即第1 個大修廠的效能較好，驗證了方法的可行性和有效性。主要有以下優勢：一是通過計算相似度和接近度來確定專家權重，更加全面合理；二是通過屬性權重和專家權重對決策證據信息進行修正，有利于避免證據之間的潛在沖突，結果也更加客觀；三是通過Mass 函數向量對方案進行優劣排序，可明顯對比各方案的評價指標，有利于作出判斷。

4 結論

針對專家權重和屬性權重完全未知的直覺模糊群決策問題，首先，基于記分函數和屬性的不確信度構建Mass 函數，運用改進的直覺模糊熵計算公式確定屬性權重，并引入證據權進行修正，運用Dempster 組合規則展開屬性集信息集結；其次，基于TOSPSIS 法確定相似度，基于Jousselme 距離計算接近度，考慮相似度和接近度進行專家權重計算，引入證據權進行修正，運用Dempster 組合規則對專家集關于方案集的Mass 函數進行集結，得出專家集針對方案集對于屬性集的Mass 函數向量，即可進行方案優劣的判斷，最后通過算例計算驗證了方法的可行性和有效性。